Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 80
Текст из файла (страница 80)
2к,/ !у В частности, при х = 0 имеем 1 1 1 51п!у /(О) =,— = —, ! ' у 2! 2к,! !у 523 ТаБлица 1 2(*) /(я, область ее определении -у /2 +е««1', — < с <+ нормальное распределение 1/а, если я б [О,а], О, если О и [О,а], равномерное распределение « у 1/(та), если у Е [-а, а), О, если у И [-а,а), равномерноа распределение ««я у 1- ).М, если я б [-а,а], г ' О, если с И [-а,а), 2 1-«р «к у треугольное раснределение 1 —, если у б [-а,а), О, если у б [ — а,а] — — — у —, -со ( с ( +оо а« я' ге , х > О, 1 > О, Г(Ц гамма-плотность -е М1, -оо<т<+со, 2 двустороннее показательное распределение 1 1+у'Г е <т<+, 1>О, ««+« распределение Коши е а .
-'.У«(к), я > О, 1 > О, бесселева плотность — -оо < я < +со, 1 «ь гиперболический косинус 1 «Ь (еу72) 10 Приведем таблицу часто встречающихся прямых и обратных преобразований Фурье (31). В правом столбце таблицы указаны плотности Дх) распределения вероятностей, т.е. функции /(х) с условиями /(х) > О, ) /(х)г(х = 1.
Преобразование Фурье от функции распределения вероятностей называется характеристической функцией. Класс характеристических функций среди всек преобразований Фурье выделяется тем, что различным распределениям вероятностей соответствуют различные характеристичесхие функции (теорема единственности), а также тем, что последовательность распределений вероятностей (г„) сходится к распределению вероятностей Р тогда и только тогда, когда последовательность соответствующих характеристических функций сходится к непрерывной предельной функции (теорема непрерывности). Эти важные теоремы теории вероятностей мы здесь доказывать не будем, так как они выходят за рамки нашего курса.
Перейдем теперь к формулировке и выводу достаточных условий представимости функции в виде интеграла Фурье. Эти условия аналогичны соответствующим условиям Дини и Дирихле — Жордана для рядов Фурье. При их доказательстве мы будем опираться на свойство непрерывности преобразования Фурье д(у) и его стремление к нулю при у -+ со. Обозначим через П = Ь'( — со, +со) класс функций, абсолютно интегрируемых по Риману на ( — оо, +со) и являющихся строго регулярными на любом конечном отрезке. Л е м м а 1.
Пусть функция у' Е Ь', Тогда ее преобразование Фурье д(у) является непрерывной функцией на всей числовой ося 1к. Д о и а з а т е л ь с т в о. Интеграл д(у) равномерно сходится на 2 по признаку Вейерштрасса, так как функция фх)~ является мажорантой длн его подынтегральной функции е'т*Дх). Рассмотрим сначала случай, когда у(х) непрерывна на м. Тогда функция р(х, у) = е'"*т (х) является непрерывной для всех точек (х,у) б ПС2. По теореме о непрерывности равномерно сходящегося несобственного интеграла функция д(у) в этом случае будет непрерывной.
В общем случае для строго регулярной функции 1(х) можно указать непрерывную функцию И(х), отличающуюся от у(х) только в некоторых малых 6„-окрестностях точек х = х„разрыва функции у(х), причем И(х) представляет собой линейную функцию с условием Щх) — И(х)(йх < —. Е 3 3»' ~»-е„!<д„ Следовательно, /~(х) — И(х)/йх < —. 3 Положим дт(у) = / И(х)е'"~ах. По доказанному выше д1(у) является непрерывной для всех у Е м'. Поэтому существует такое число б ) О, что для любого И с условием ~И) < 6 справедливо неравенство )тхд ~ = ~д (у+ И) — д (у) ~ < ~. 3 525 Оценим сверху модуль величины Ьд = д(у+ Л) — д(у).
Имеем е е ]Ад] < ]/хд,]+ 2 Щх) — Л(х)]ах < — + 2 — = е. Следовательно, д(у) непрерывна для всех и б й. Лемма 1 доказана. Л е м м а 2 (лемма, Римана). Пусть /(х) Е / [а,6]. Тогда при у -ь оо имеем д(у) = / Дх)е'У*ь(х -+ О. а Сделаем замену переменной ,'7о коз аоьельсеьео.
интегрирования х = 1+ -'. Получим у' а-х/у Счедовательпо, ~ь ь — а/у д(у) = — / /(х)е'у~ь/х — / /'~х+ — ] ееу Их а а-~С/у ь- /у /(х) — / х + — е'у*ь(х+ а +; / У(х)е'У'ь(х — — / /(х)е'У'а/х = А1+ Аз + Аз. 2,/ ь- /у а-м/у Поскольку /(х) — строго регулярная функция, отрезок (а,6] можно разбить на промежутки непрерывности функции /'(х).
И если на каждом промежутке непрерывности утверждение леммы будет доказано, то в силу того, что их число конечно, это утверждение останется справедливым и для всего отрезка (а,6]. Поэтому можно считать, что функция /(х) непрерывна на (а,6]. В силу непрерывности /(х) имеем, что для любого е > О существует С > О такое, что для всех у с условием ~у] > С выполняется неравенство у(*) — у х+ — ь] <— у/ 6 — а Так как непрерывная функпия на отрезке ограничена на нем, то существует такое число М > О, что )г(х)$ < М для всех х б (а, Ь).
Следовательно, )А2)+!Аз~ < кМ/(у(. Отсюда получим, что при ~у~ > ноак(С,2кМ/5) имеет место неравенство ~д(р)( < е. А это и означает стремление к нулю функции д(й) при д-+О, Лемма 2 доказана. Л е м м а 3. Пусть функция 2(х) Е Ь ( — оо, +со). Тогда ее преобразование Фурье д(у) стремится к нулю при у -+ оо. -А А / Л(х))й +~У(хМ <— 2 В силу леммы Римана существует У > О, такое, что при )д) > У | А ~ Дх)е'"'Ых <— 2 Следовательно, (д(у)( < е при )у) > У, т.е, д(у) -+ О при у -+ оо, Лемма 3 доказана. Т е о р е м а 1.
Пусть ~~(х)( является интегрируемой на (-сю, +ос) и на любом конечном отрезке функция г(х) строго регулярна. Пусть также при некотором б > О существует несобственный интеграл второго рода 6 Г ~~Ь)! „( Х( о+у)+У(~о — у) Во = у — о(у, 52(у) = у 2 — Х(хо) о Тогда интеграл Фурье функции г'(х) сходится в точке хо к значению Х(хо). ,.2 о к а з а яо е л ь с т е о.
Рассмотрим функцию я А СС 2я(х) = —, / д(у)е '"'йу = —,! е '"~Му / е'"'Д2)й. - 2.,( -2! 527 ,7 о к а з п я2 е л ь с т е о. Зафиксируем произвольное е > О. В силу 'абсолютной интегрируемости функции у(х) имеем, что существует число А > О такое, что В последнем интеграле поменяем порядок интегрирования. Это воз- можно сделать, так как Подынтегральная функция является непрерыв- ной и несобственный интеграл равномерно сходится на всем множестве значений параметров. Получим ~л(х) = — / )феН / е ьхр ~!о'у = 1 2я ./ Г еелй-е! е — еАО-е! 00 1 Г в!пАи . 1 У в|п Аи = — / 1(и+ я) — «(и = — / (1(и+ х) + 1(х — и)) Пи.
и и — 00 о Докажем, что !пп Ул(хо) = У(хо). А-~с э Для этого сначала вспомним, что о Поэтому 2 У е!пАи ул (хо) — У(хо ) = — / У(и) — ее и. и о В силу сходнмости интеграла Ве имеем, что для любого е > О существует Ь > О такое, что — !у( М(у)! у 2 о — в!и АиНи (и) . и е ( —.
2 Отсюда имеем, что !пп )л(хо) = У(хо). Теорема 1 доказана. зов Из леммы Римана следует, что существует У > О такое, что для всех А > У справедливо -неравенство Т е о р е и а 2. Пусть у(т) Е Л ( — со,со) и пусть также в некоторой б-окрестности точки ко функция Дк) имеет ограниченную вариацию, б > О. Тогда ее интеграл Фурье сходится в этой точке к значению Дко).
Д о к а э а в1 е л ь с я е о. Из доказательства предыдущей теоремы получим, что 2 Г япАи Ух(иа) — 7(ио) = — ( 'Р(п) — й~. о Поскольку последний интеграл сходится, для любого е > О существует число В > О такое, что 2 / в1пА« к1' и в Я = — оэ1(и) ои о стремится к нулю при А -+ со. Сначала из условия !пп р1(и) = О имеем, что существует число . «-эо Ь > О такое, что при всех )и( < Ь справедливо неравенство я1(и) < с/8.
Представим В в виде Л = то1 + Яг, где Я~ и Вг — интегралы от той же подынтегральной функции, что и интеграл В, но переменные интегрирования у них изменяются в других пределах: у Й1 они изменяются от О до Ь, а у Во — от Ь до В. По второй теореме о среднем при некотором Ь, О < Ь < Ь, имеем Аь 2 У япАи — р1(Ь) / — Ии 2 Гяпи — у1(Ь) / — ои к / и (В1) = 2 Гяпи < — р1(Ь) / — ои = у1(Ь) < —. и 8 о В силу условия теоремы функция у(х) будет иметь ограниченную вариацию на интервале ( — б,б) и, кроме того, оо(у) -э О при у — э О.
Следовательно, ее можно представить в виде разности положительных неубывающих ограниченных функций р1(и) и ут(х), причем каждая из них стремится к нулю при у -э О. Нам достаточно доказать, что интеграл Далее, при фиксированных Й и В в силу интегрируемости функции и'-~"-2 из леммы Римана следует, что Вт -+ О при А -э оо. Поэтому сушествует число Ао такое, что при А > Ао 2 Г з1пАи )тст) = — / у1(и) ои < —.
и 8 Таким образом, получим 2 Г з)пАи — / 1о(и) Ыи о )Ул(хс) — ПхеИ = (е, Л е м м а 4. Пусть (1+ )х)ь)у(х) Е С( — со, +оо). Тогда преобразование Фурье й раз диффереяцируемо. ,У о к а з а п| е л ь с га е о. Поскольку имеют место неравенства ~У(х)(1х)»е'га( ( (1 + (х)ь)1у(х)( в силу признака Вейерштрасса интегралы ((х) (~х) ь е '*х <1х равномерно сходятся на всей числовой оси соответственно к функциям д1" ~(у), и = 1,..., й. Лемма 4 доказана. азо следовательно, !пп ~л(хе) = 1(хо). Теорема 2 доказана. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
