Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Другими словами, если частичная сумма Е„(д(хо)) ряда Фурье функции д(х) б И'м в точке х = хо сходится к числу а и функция 6(х) Е И'т, совпадает с д(х) внутри некоторой б-окрестности точки хо, то и Е„(6(хо)) — т а при и — э со. Для доказательства рассмотрим разность г(х) = У(х) — 6(х) Е Им, Функция г(х) в точке х = хо удовлетворяет условию леммы Римана. поскольку г(х) = О при всех х б (хо — б,хо+ б). Следовательно, при и -+ оо имеем Е„(г(хо)) = Е»(д(хо)) — Е (6(хо)) э О. ооо выражение для разности г„между значением функции у(х) в точке х = хо и значением ее частичной суммы Е„в этой точке. Имеем % о »» "=э.-»)*)=/)»)* »») — »)*))э)»)»»=/ "+/" = у(ха+ у) + у(хо у) 2у(хо) р 2 а о 1 Г о)п(п+1/2)у 1 Г г у = — 1 у(у) »(у = — б ))»(у) ~сай — о(п ну+ сов пу) Ну, о)ну/2 и „) ~ 2 о о где у(хо + у) + у(хо — у) — 2у(хо) р(у) = р..(у)— 2 Здесь величина )б»(у) как функция от у принадлежат пространству И»о„)б)(О) = 0 и функция у(у) непрерывна в точке у = О.
Т е о р е м а 1 (признак Дини). Пусть при некотором б > 0 супбествует следуюпбий весобствеяиый интеграл второго рода: Вб / »)у. Г Ур(у)) а б В =,/' — Убу Г (р(у)( у о сходится, при любом е > 0 найдется число Л = Л(е) > 0 с условием л В,=~ — бу< . Г ()а(УП о Далее из интегрального представления для разности г„= ń— у(ха) имеем равенство г„= г„) + г„о+ г„з, где г„= — /б ))а(у) исай — о)пну+ соопу) Ыу, г„) = к,/ ~ 2 а у — ~ ))»(у) сок — в1ппубу, к,/' 2 о 502 Тогда ряд Фурье Е функции у(х) в точке х = хо сходится к значению У(хо) Д о к а з а и) е я ь с»в в о. В силу произвольности б можно считать, что б <»г. Поскольку интеграл г а — — ~ аг(у) с!к — в!и пуг1у, г в = — у !а(у) сов оулу. к 2 Ь а По лемме 2 аб имеем гав -+ О и г„в -+ О при о -+ со, т.е. при всех достаточно больших и получим гат < в и г„э < в.
Относительно величины г„г заметим, что если О < у < Ь < к, то сову/2 (!а(у)! «г!р(у)! в!и у/2 в|п у/2 у поскольку на указанном выше промежутке справедливо неравенство в!и — > —. у у 2 и' Отсюда следует, что 1 Г < — ! !/г(у))Иу < / г(у < с. 1 à — /! /г (у) в!и пуНу а (гвг!— Поэтому при всех о > па(в) имеем оценку (г„! < Зв. В силу произвольности выбора числа в > О зто означает, что г„— г О, т.е. в точке х = ха ряд Фурье Е сходится к значению у(ха).
Теорема 1 доказана. Определение 1. Будем говорить, что функция у(х) удовлетворяет условию Лппшица с параметром а, где О < а < 1, если в некотороу а-окрестности точки ха выполняется неравенство (у(х) — у(ха)! < Цх — ха!", где Ь > Π— некоторая постоянная. В случае когда это условие выполнено во всех точках отрезка [ха,хг], говорят, что функция у(х) принадлежит "классу Липшица о". Число Ь называется каисгаонгпой Лившице. При о = 1 просто говорят, что у(х) удовлетворяет условию Липшица. /У а к о з о т е л ь с т е о.
Покажем, что в данном случае к функции у(х) можно применить признак Дини. Действительно, при (у! < а имеем (д(ха + у) — у(ха) ! + !у(ха — у) — у(ха) ! (! (у)! < ваз Т е о р е м а 2. Если в точке ха для функции у(х) выполнено условие Липшица с параметром а, то ее ряд Фурье в данной точке сходится к значению у(ха). откуда следует, что Во = / — ау < Е/ У ау = — < +ос. У [о(у)[ У ., Еу У а Это значит, что условия признака Дини выполнены и ряд Фурье функции д(х) сходится к значению д(хо). Теорема 2 доказана.
Докажем еще два признака сходимости рядов Фурье. Т е о р е м а 3 (Признак Дирихле). Если 2к-периодическая н строго регулярная функция д(х) является кусочно-монотонной на отрезке [0,2к[, то ее ряд Фурье сходится всюду к значению д(х). Замечание. Кусочная монотонность функции д(х) означает, что весь отрезок [О, 2к] можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых д(х) монотонна.
В частности, кусочно-монотонная ограниченная функция будет функцией ограниченной вариации. Д о и а з а т е л ь с ю в о теоремы 3 является простым следствием еще одного признака, заключенного в следующей теореме. Т е о р е м а 4 (Признак Жордана). Пусть функции д(х) б 'гг'о, н 0 < 6 < я. Пусть, далее, в некоторой 6-окрестностн точки хо функция д(х) имеет ограниченную вариацию. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в точке хо к значению д(ха) Д о к а з а гя е л ь с т в о. Поскольку у(у) — функция ограниченной вариации, она может быть представлена в виде у(у) = ~о1 (у) — рг(у), где у1(у) и рт(у) — неубывающие неотрицательные функции, Можно считать, что у1(0) = ~рт(0) = 0 и функции о1(У) и ут(у) непрерывны в точке у = О, так как этими свойствами обладает функция у(у).
Действительно, монотонные функции имеют в каждой точке односторонние пределы. Тогда правосторонние пределы в точке у = 0 для обеих функций совпадают. Вычитая из каждой функций это общее предельное значение, получим две новые функции, которые будут удовлетворять всем указанным выше условиям, если только их значения в нуле взять равными нулю.
Следовательно, для любого в > 0 существует значение а = И(е) > 0 такое, что 0 < у1(6) < е и 0 < рт(6) < е. Можно считать, что Й < 6. Для остатка ряда Фурье функции д(х) в точке хо справедливо представление г„= 2 чо(у) П„УНУ = ген + год, о где гпл — — 2 у(у)П„УЫУ, гпд —— 2 |р(у)Ппу6У. Без ограничения общности будем считать, что зг(у) = лг1(у), т.е. лг(у)— неубывающая неотрицательная функция. По лемме 2 15 величина г„г -~ О при и -+ оо. Поэтому достаточно показать, что г„1 < се, где с > Π— некоторая постоянная.
Заметим, что р(Ь) < е. Применяя к интегралу г„1 вторую теорему о среднем, получим л(г~ гел — — 2ф(Ь) Ва(р) ~(у = 4хф(Ь) Т„(х) ((х, Е/г~с где функция Т„(х) определеиа в 11. Далее, О « — — < —, поскольку Ь < ~г. Поэтому, применяя к последнему интегралу оценку леммы 2 11, будем иметь г„д < 2лг(Ь) ° 4 < Ое. Тем самым теорема 4 доказана. Замечание. Использование леммы 2 11 в доказательстве теоремы 4 связано с тем, что величина С = С„в зависимости от и может изменяться, и поэтому прямое примеиеиие леммы 2 зб невозможио. есть ряд Фурье некоторой функции Г(х) из класса Гг — функций, интегрируемых в квадрате (теорема Ф. Рисса — Фишера). В этом случае говорят, что ряд Фурье сходится в среднем квадратичном.
Более точно это означает, что при и -+ оо имеет место соотношение (Г(х) — э„(х))тих -+ О. о Покажем, как теорема Ф. Рисса — Фишера сведется к свойству полноты класса функций Гю Пусть » а» (х) = — + У (ак соэ Ьх + Ьк эш Ьх) 2 кп! обозначает п-ю частичную сумму тригонометрического ряда, Тогда в силу сходимости ряда 2',(аз + 6~) имеем 21г г 2 » !.|*! —.|ег~*=/ Е "- *+1 ° *) *= О о к='"+' = гг ~ (ак + Ьк) -+ О к=»г+! при и > гп, пг-+ос. Следовательно, в силу полноты класса функций Гз последовательность частичных сумм (е„(х)) ряда Фурье сходится в среднем квадратичном к некоторой функции нз этого класса. 3, Пусть У(х) удовлетворяет условию Липшица, т.е.
й*+ Ь) — У(*Н < 4М" где Г, > О и а > Π— некоторые постоянные. Тогда справедливы неравенства Г,я Гх )а„( < —, 1Ь„( < —. Из определения коэффициентов Фурье и периодичности Г(х) и сое пх .имеем 2»-»/» 1 Г а„= — / Г(х)созпхггх = — — / Г ~ — +у) созпуйу = зог 28 = - —, ~( 1 ~ — „+ у) пу 1у о Отсюда получим Следовательно, Аналогично доказывается оценка и для 6„.
4. Пусть Дх) — функция ограниченной вариации на периоде. Тогда имеем а„=Π—, 6„=0 Из определения функции ограниченной вариации на [0,2х] получим, что Дх) = у1(х) — Ях), причем у1(х) и Ях) положительны н не убывают. Применим вторую теорему о среднем для оценки следующего интеграла. При некотором ~,0 < с < я, будем иметь зя г 81ппс 1' 1 1 у1(х) созпхах = 11(2х) созпЫХ = — у1(2я) = О ( — ) . о 1 Следовательно, а„=Π—, 6„=0 5.
Ряд Фурье для 21-периодической функции д(х) б 6Р прн 1 6 л. Рассмотрим функцию А(у) = у(1у/я), которая имеет период 2х. Поскольку Ь(у) б И', ао Ь(у) — + ~ (аь соз Йу+ 6» 81п Йу). 2 8=1 Если теперь выразим у через х: у = хя/1, то получим ао 1' 6хя , 6хя'1 у(х) = 11(д) — + ~~~ ( аь соо — + 68 81п — ) 8=1 заа при этом 1 Г 1à — / Ь(д) соз Ьдг1р =- — Г! д(х) соз — г1х, Аналогично имеем 1 Г . Ьхл Ь» = — 1 д(х) згп — !1х. Другимн словами, вся построенная нами теория рядов Фурье для функций, имеющих период 2л, с помощью линейной замены переменной переносится на случай 21-периодических функций.
т 8. РАЗЛОЖЕНИЕ КОТАНГЕНСА НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСА В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Развитый нами аппарат теории разложения функции в тригонометрический ряд Фурье позволяет, наконец, достаточно просто вывести формулу, представляющую синус в виде бесконечного произведения. Для этого сначала докажем не менее известную формулу разложения котангенса на простейшие дроби. На отрезке ( — л, л) рассмотрим функцию д(х) = соз ах, где а < 1/2— некоторое фиксированное число.
Продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом 2гг. Тогда функция д(х) будет четной и непрерывной на всей вещественной оси Ы. Поскольку д(х) является непрерывной и кусочно-гладкой функцией на 1, ее ряд Фурье равномерно сходится на ! к д(х). Поэтому для всех х б ! имеем разложение ао ч / Ьх!г Ьхл~ дгх) = — + у ! о»соз — +Ь»згп — ' »гы где а» и Ь» — коэффициенты Эйлера — Фурье. Далее, в силу четности функции д(х) все Ь» равны нулю, а для коэффициентов а» при а ф 0 имеют место равенства ае 1 Г мп агг — — ( сов ахг1х = —, 2 2л,/ агг 1 Г 2а згп агг аг, = — / созахсоз»хгтх = (-1) а» Ьх л 509 Таким образом, 01пагг (1 1, 2а у<х) = соа ах = — — + ~~~ < — 1) — сое Йх а — х »=1 Отсюда прн х = я получим сое а1г 1 ч 2а к — = ггсск агг = — + у 01п агг а а2 — 102 »=1 1 7 0-гоо 4-~ а — /г »=-» агп па 1 1 1п — ) = ггс1к 1га — —, а а21 2а 1 1 1и 1 — — = = + —.
й21 а2 Ьг а Ь а+» Следовательно, в силу непрерывности функции 1пх при некотором с Е % справедливо равенство э 01п 1га 1и = с+ 1пп ~ !п11 — — ) = а пансо 1 й2) »=1 у а'т / а21 = с + 1пп 1п П ~1 — — ) = с + 1и П ~ 1 — — ) . 1,2) й2) ' »ж1 »л1 Это значит, что при всех а г условием О < )а) < -' имеет место формула П< --„'), ГДЕ С1 = Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
