Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 76
Текст из файла (страница 76)
2. Ортоиормироваввая система Г = (~„) называется полной в линейном пространстве К, если для любой функции у Е У с условием (у, 1ь) = О при всех Ь Е И выполняется равеяство (у, у) = О. 486 Утвервсдение 1. Всякая замкнутая ортопормировапяая система функциИ является полной. ,7 о к а з а и! е л ь с и! а о. Предположим противное, т.е, будем считать, что (у, у) > О, но ск = сд(у) = О при всех к Е !ч, Тогда в силу замкнутости ортонормированной системы функций имеем О с (у, у) = ~~! сг„(д) = О, что невозможно.
Утверждение доказано. Т е о р е м а 3 (свойство экстремальности коэффициентов Фурье). При любых вешествеяных аг,..., о справедливо неравенство у — ~ сей'ь < у — у оьд Ьм! Ьм! где сг,..., с,„— коэффициенты Фурье по системе функций г' = (уь). ,7 о к а з а п! е л ь с гп е о.
Снова воспользуемся равенством (п~ ть) = (у — у, ть) = О, справедливым при всех й с. пг. Получим Теорема 3 доказана. юп (д — у,„)+ ~ (с!,— ь=! +~ (сь ь=! м г д — у„)! + )! у (сь — оь)уь ь=! г — аь) > )у - ~~! сьД ам! Лекция 25 2 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ Нашей целью является доказательство равенства Парсеваля для ортогональной тригонометрической системы функций (1 рв — — (Д(х)) = ~ —,совх,в)пх,...,совах,вгдх,...
(2' Т е о р е м а 1 (теорема Ляпунова). Тригонометрическая система гв замкнута в пространстве Иг„. Другими словами, для любой строго регулярной и 2я-периодической функции у(х) имеет место равенство Парсеваля вида г — д~(х)с(х = — в+ ~ (ак+ 6к~), я/ 2 в к на где коэффициенты ак и 6к определяются через д(х) по формулам Эйлера — Фурье. Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что если первую функцию 1с(х) = -' в системе гв заменить на 62(х) = -', то система гг' гв преобразуется в систему гг, ортонормированную относительно весового коэффициента и = †,'.
Точнее, получим систему функций гг — †(Ак(х)), причем если /с = 1, то Ас(х) = — , если же 6 = 2п, то ,п' Ак(х) = Аг„(х) = сових; а если 6 = 2п+ 1, то Ик(х) = 62„+г(х) = в1пах. Коэффициенты Фурье ск функции у(х) по системе гг при 6 = 1,2,... связаны с величинами ак и 6к следующими равенствами: ао = ос~/2, ак = сы, 6к = сгк+ы lс = 1,2, поэтому равенство Парсеввля можно записать в виде гв 2 (д,д) = — 1 дг(х)сгх = ~ ~сг, о к на что согласуется с определением замкнутости ортонормированной системы, данным нами ранее.
Доказательство теоремы 1 опирается на две следующие леммы. Цу(х) — Р (х)Ц < е. В терминологии гильбертовых пространств зто означает, что тригонометрические многочлены (Р (х)) являются всюду плотным множеством в линейном пространстве Иг = И'з, по норме гильбертова пространства Лт. Д о к а з а т е л ь с ш в о леммы 1.
Рассмотрим далее функцию у1(х) = д(2кх). Она имеет период 1 = 1 и тоже является строго регулярной. Точки разрыва хм..., х„этой функции разбивают отрезок ! = [0,1] на интервалы 1м..., 1„. На каждом из них функция у1(х) является непрерывной н имеет левый и правый пределы. Следовательно, на кюцдом интервале 1ь функция у!(х) равномерно непрерывна. Это значит, что при любом е1 > 0 интервал 1ь можно разбить на конечное количество непересекающихся промежутков так, чтобы колебание функции у1(х) на каждом из последних не превышало еь Теперь рассмотрим функцию ут(х), которая является непрерывной на любом из указанных промежутков и равна на нем значению функции у!(х) в его центре. Будем также считать, что в смежных точках зтих промежутков у1(х) равна полусумме своих пределов слева и справа.
Тогда очевидно, что у1(х) является кусочно-постоянной и строго регулярной функцией, причем при всех вешественных х справедливо неравенство ]у|(х) — дг(х)] < е1. Отсюда имеем ГТ Гг о ]]у1(х) ут(х)]]— Пусть теперь 0 = 1в < 11 « 1ь < 1 — все возможные точки разрыва функции ут(х) на промежутке (0,1). При и = 1,...,х определим функции !е„(х), периодические с периодом 1 и задаваемые на отрезке (О, 1] условиями ! при 1„~ <х< у„(х) = 1/2 при .х = 1„д, 0 в остальных х=1„, случаях.
Тогда, очевидно, при некоторых постоянных ам...,аь имеет место равенство дт(х) = ~~~ апач(х). в=1 Л е м м а 1. Для каждой строго регулярной функции д(х), периодической с периодом 2к, и любого е > 0 найдется тригонометрический многочлен Р,„(х), удовлетворявший условию Но ранее было установлено, что «!«~(х) — 1» 1» 1 + Ре(х 1» «) Ре(х 1»), Поэтому при некоторык !Уе,Д,...,Д имеем у2(х) = Ро + ~~',«У ««0(х — 1 ) п»1 Кроме того, раньше было доказано, что (ро(Х вЂ” 1») — З (Х вЂ” 1„)( < В (Х вЂ” 1»), где т > 4 и зп,(х) = ~, Я (х) = я(с 1+ тг а«п2 ях Следовательно, справедлива оценка ( (х)-а (хн<~МВ.(х — 1.), п=1 й где Я (х) = «10+ ~ «У„з (х — 1»). п»1 Применяя неравенство Коши, отсюда получим / М ~ 2 (0 (*)-а (хн'< Е(ю.(Л (х- .) <Е)У.'ЕЯ'(*- .). пп! »=1 п=« Интегрируя зто неравенство по отрезку (0,1], в силу периодичности функции В (х) находим 1 ь ь !)я2(х) — Ят(х))( = ~ (92(х) Яр»(х)) пх < ~Х',«Уп ~' / й~д(х — 1»)««х = 0 »=1 0 112 !12 В~ 112 ' <Ы~ р2— и 1 " 1+п«з!п хх г 2 — "и«,/ 1+глзх2 О и= 0 <8Й 1~ф < Г К А / 490 где А — некоторая величина, не зависящая от пг.
Далее, используя неравенство треугольника, получим 1 1!2 /(уг(х) — !) (х)) ух = ~(дг(х) — Ф (х)!(= 6 < о гА~ ! < ((у1(х) — уг(х)((+ Йуг(х) — Я (х)(( < е1+ ~ — ) пг) Но тогда, производя замену переменной интегрирования вида х = =1/(2и) и полагая Р (1) = Я (4/(2и)), имеем ге о — ! (д(!) — Р„(!))г !1 = -)(д(!) — Р (1)Цг. 2 ~и/ / 2 о Следовательно, гА ~1М ((у(1) — Р (1))( < ~/2 е1 + ~ — ) Очевидно, что функция Р (1) является тригонометрическим много- членом порядка пг.
Кроме того, при е1 — — е/4 и гп ) 8А/ег имеем неравенство 1/2 е1+ — < е, откуда окончательно получаем )(у(!) — Р (!)!) < е. Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. В условиях теоремы 1 для т-го многочлена Фурье у„(х) функции д(х) справедливо соотношение ))Ь„,((= 'цу(х) — у,„(х)ц -о О при п -+ со. ,7 о к о з о пг е л ь с пг е о. Ввиду свойства экстремальности коэффициентов Фурье для любого тригонометрического многочлена р„(х) порядка и ямеет место неравенство 'йу(х) — у„(х)(! < Йу(х) — р„(х)(). 491 В силу того же свойства при всех натуральных й имеем ()д(х) — де+1(хП) < (!д(х) — дь(хП!, поскольку прн п = 1+ 1 многочлен Фурье дь(х) можно рассматривать в качестве тригонометрического многочлена р„(х). Теперь при произвольном г > О рассмотрим многочлен Р (х) из леммы 1.
Тогда, полагая пэ(е) = гп, мы при всех п > тп = пэ(г) получим неравенство Ь( ) — д ( П(< Ь(') — д»- (хП! < Ь(х) — д (хП(< Ь(х) — Р ( )((< Это означает, что при и -+ оо имеем !!6„)! -э О. Лемма доказана. Д о к о з а т е л ь с т е о теоремы 1. Как было показано ранее, достаточно доказать, что (д,д) = ~ с„, ьгп где сь = (д,уь) = -„' ( д(х)~ь(х)Их,,г1(х) = „-'Т, а при и > 1 имеем ~ы = соейх, ~ы+1(х) = а1пйх. Кроме того, при доказательстве леммы 1 мы установили, что при любом и Е И справедливо равенство (д д) — (д.,д ) = (д-д«,д-д«) = (й,й.) По лемме 2 имеем (И„,!1„) -+ О при и -+ оо.
Поэтому, переходя к пределу в последнем равенстве, получим (д, д) = 1пп (д„, д„) = ! нп 7 сь ~— — ~ ' с~э. ь-гаа ь~сь Тем самым теорема 1 доказана. В заключение заметим, что для того, чтобы любая полная ортонормированная система функций в линейном пространстве !г со скалярным произведением была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы пространство )г было полным относительно нормы, определяемой этим скалярным произведением. Другими словами, (Г должно быть гильбертовым пространством. Доказательство последнего утверждения не слишком сложно, но оно выходит за пределы нашего курса. ~ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ Мы уже говорили о том, что не всякий тригонометрический ряд вида т»(х) = — + ~~~ (а„сових+ Ь» яп ох) 2 »=0 »=1 обязан быть рядом Фурье некоторой функции даже в том случае, если он сходится при всех вещественных значениях х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
