Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 71
Текст из файла (страница 71)
[1У(х,р)[ < с при некотором веществеввом числе с > О и всех (х,у) Е П. Тогда интеграл 7 = ) )(х, у)(1х сходится равломерио ва У. (Д) (признак Дирихле). Пусть вместо условий (А) имеем: 1) при иекотором с > О и всех 1 > о, у Е У имеет место неравенство < се+ се = 2се, поскольку ф(х,у)( < с прн всех х и у. В силу произвольности числа е > 0 зто влечет за собой равномерную сходимость интеграла У и справедливость утверждения (А).
В случае (Д) интегралы от функции о(х,у) ограничены числом с и Дх,й) стремится к нулю равномерно по у, позтому при всяком г > С и достаточно больших Гз > 11 > гс(е) выполнено неравенсгво Щх,у)) < е, откуда с учетом предыдущей формулы имеем о(х, у)р(х, у)Нх < се + ск = 2се, и что влечет за собой справедливость утверждения (Д). Теорема дока- зана. Лезсцин 19 1 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Докажем теорему о переходе к пределу функции в точке под знаком несобственного интеграла.
Т е о р е м а 1. Пусть функция Ях,у) задана на множестве Р = Х х У, где К = (а,+со), У = [Ь,с], Пусть, далее, выполнены следующие условия( 1) при некотором уе б У н прн любом ! б Х на промежутке Е = Е, = [а, !) имеет место равномерная сходимость у(х,у) =$д(х) прн у -с ус,. и» 2) несобственный интеграл Ь(у) = ) 1(х,у)(!х сходится равномерно о на У. Тогда: а) функция д(х) интегрируема по Риману на любом отрезке Е,; б) интеграл,! = ) д(х)((х сходится; в) существует предел ! = 1ип Ь(у); о~хо г) имеет место равенство 1= !ип Ь(у)= !ип 1Ях,у)йх= / !ип Дх,у)(х= д(х)йх=Х х-ото 9-»уо у у у+то о о о Д о к а з а са е л ь с нс в о. Рассмотрим произвольную монотонную числовую последовательность у„б У с условием у„-+ уе.
Тогда в силу условия 1) для функциональной последовательности д„(х) = у(х,у„) прн и -+ оо справедливо соотношение д„(х) =$д(х), где Е, = [а,!) и Е» ! > а — любое фиксированное число. Далее, из теоремы 1 $6 гл. ХЪ'1 об интеграле от функциональной последовательности вытекает, что функция д(х) = !ип д„(х) ннтегрируема на Ес, причем о-ооо с с с с(*,и ( с* = ) ».(*( с* = о ; о = ) »(*( »*. (5 Зссо о о в»о»сост»»»»со»в»осле» где величины Яс и и Яс определяются последним равенством.
В силу условия 2) при 1 -++ос имеем 1~с„=$Я„, поскольку для любого е > 0 существует гэ — — 1(е) > в такое, что при всех 1 > 1э и прн всех натуральных и справедливо неравенство Цс „— Я„[ ( т. Следовательно, по теореме о двойном и повторном пределах по базам Яб гл. Х У1) существуют и равны оба повторных предела, т.е. ]пп Всп Яс,и оа 1пп ]пп Яс, . «чоо С-ааоо ' С-а+со ичсо Но тогда !пп 1пп Яс„= 1]сп ~Ях,у„) с(х = 1пп Л(у„) =1, и-Соо Сч+оо ' пчоо / ичоо а а также 1пп 1пп Яс „— — 1пп у(х) с]х =.с, Сч+о» ичсо ' сч+оо ] а откуда 1 = Х В силу произвольности выбора последовательности уи отсюда вытекает утверждение теоремы. Теорема 1 доказана.
Из этой теоремы вытекает следующее свойство непрерывности несобственных параметрических интегралов. Т е о р е м а 2. Пусть функция с(х, у) непрерывна на множестве Р = Х х У, где Х = (в, +оо), У = [6,с[, и пусть яитеграл Л(у) = у(х,у)с]х а равномерно сходится на У. Тогда функция Л(у) непрерывна на У. ~7 о к а з о ш е л ь с пс в о. Непрерывность Л(у) в каждой фиксированной точке уе е У означает, что Л(у) -с Л(ув) при у -+ уо.
Для доказательства этого соотношения воспользуемся теоремой 1. Очевидно, ее условие 2) выполнено. Далее, из непрерывности Дх,у) на Р следует ее равномерная непрерывность на Рс — — [а, 1] х [с, с() при любом' 1 > а. В свою очередь, отсюда имеем, что 1(х,у) =~ У(х,ув) при у-+ус, [а,с] т.е. условие 1) теоремы 1 выполнено, а это означает, что прн у -+ уэ Л(у) -с У(х, уэ) с(х = Л(хо)- а Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3 (условие интегрируемости несобственных интегралов по параметру).
Пусть функция у(х, у) непрерывна ца Р = Х х У, где Х = (а,+со), У = ~б, с] и пусть интеграл у(у) = )'у(х, у)с!х существует и а равномерно сходится на У. Тогда функция у(й) будет янтегряруема на У, а функция Ь(х) = ) Дх, у)с(у будет янтегрируема на Х = (а, +со), причем с 00 / у(у)с!у = ~ а(х)сьх, ь а т.е, равны повторные интегра,аы с(у г'(х, у)с(х = Их у(х, у)Иу. а ,л о к а з а и е л ь с аь е о.
рассмотрим произвольную монотоннуюс последовательность !а Е Х с условием !а -ь +со. Тогда фУнкциональнаа последовательность У„(У), где Уа(У) = 1 Дх, У)сьх, О равномерно сходится к функции у(у) на множестве У. Каждая из функций у„(х) непрерывна на У, потому при фиксированном и по теореме об интегрировании собственных интегралов по параметру (теорема 3 т4) имеем с с 1 ь) л*,и)с*=)и (сии=) с ) х(,и)си г) а ь ь а По теореме 1 16 гл. ХУ! возможен переход к пределу при и -+ оо под знаком интеграла и существует число А такое, что с с с с аа С= й ) с (с)сс ) с с Ь)ссас) сЫСсас) сс) а*,с)с.
ь ь ь ь а Переходя в равенстве (*) к пределу при и -ь оо, получим, что предел его правой части существует и равен А, А = !пп 1 с(х У(х,у)ду. а-саа / а ь Но поскольку последовательность 1„— произвольная, последний предел равен интегралу са с / Их ~Дх,у)с(у. а ь и* Тем самым теорема 3 доказана полностью. Теперь докажем теорему о дифференцировании несобственного интеграла по параметру.
Т е о р е и а 4 (правило Лейбница). Пусть: . !) функция т(х,у) непрерывна на Р = Х х У, где Х = (а,+со), У= [с,И]; 2) частная производная ~„(х,у) сушествует и непрерывна на Р; 3) интеграл у(у) = ) )(х, у)вх сходится прн всех у Е У; » 4) интеграл ) тт(х,у)ох равномерно сходится на У. а Тогда функция у(у) дифференцируема на У и имеет место равенство у (у) = ~„(х, у)Их. О Д о и а з а !и е л ь с !в е о. В силу непрерывности функции у(х,у) при всех и > а сушествует непрерывная на У функция у„(у) вида » у»(у) ~ у(х у)ех. а Применяя правило Лейбница для собственных интегралов, получим » у„'(у) = ~т(х, у)ех. » Заметим, что для функциональной последовательности у»(у) при п — ~ со имеют место соотношения у»(у) -+у(у) = )~т(х,у)!(х и у„'(у) =$ ~ ~„(х,у)Их.
У » а Следовательно, по правилу дифференцирования функциональной по- следовательности имеем т! ( 1ип у»(у)) = !ип у„'(у), т.е. у'(у) = ~ ~„(х, у)йх. а Теорема 4 доказана. Докажем еще две теоремы о несобственных повторных интегралах, которые потребуются нам в дальнейшем. С другой стороны, с п с ага«,„= / «!х / ! (х, у) «!у = / Л„(х) «!х, а Ь а При этом И„(х) > О и при каждом фиксированном х эта последовательность является неубывающей; кроме того, она составлена нз непрерывных функций н ее предел, т.е.
фунхция И(х), также непрерывен. Следовательно, по теореме Дини при и — с оо имеем И„(х) =$ И(х!. (а,с ! Но тогда при и — + оо выполнены равенства с с «г г= с г,„= г /с«г«*=! (г с«г) «*=)с«г«*. Поэтому, переходя к пределу при и — с со в неравенстве .! „< с'с, получим соотношение ,с(ис) = И(х) «(х < сс. а Но так как И(х) > О, то с ростом си последовательность 1(си) монотонно возрастает и ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса величина г(ис) имеет предел 1, причем ! < 1с.
Ввиду произвольности выбора последовательности ! отсюда вытекает, что ! одновременно является пределом величины с 00 )пп Ь(х) «!х = И(х) «!х = 1ш а а Таккм образом, ст существует н,ст = ! < сс. Но тогда, меняя в проведенных выше рассуждениях величины !с и,ст местами, одновременно получим неравенство 1« < ст. Следовательно, сс —— ,ст. Теорема 5 доказана полностью. Приведем еще некоторое обобщение предыдущей теоремы, 454 Т е о р е и а 6.
Пусть функцяя 1(х,у) удовлетворяет условиям теоремы 5, кроме'условия У(х,у) ) 0; но функция г (х, у) ) (т(х, у)( удовлетворяет всем ее условиям. Тогда утверждение теоремы 5 имеет место не только для функции Р'(х,'у), но и для функции у(х,у). ,Уо каз а т ел ьс те о. Заметим, чтофункции Р(х, у) + у(х, у) г"(х, у) — у(х, у) 2 2 удовлетворяют условиям теоремы 6, но тогда 1е1(х, у) — 1ст (х, у) = т (х, у) тоже ей удовлетворяет. Теорема 6 доказана. Заметим, что, вообще говоря, условия теорем 6 и 6 являются избыточными. Далее будет доказано значительно более общее утвержденке, а для наших ближайших целей этих теорем вполне достаточно. В заключение приведем пример, указанный Коши, в котором при перемене порядка интегркрования получаются различные значения повторных интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
