Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Прн этом все три сформулированных выше условия для бэлы Вс уже будут выполнены. К примеру, в случае прямого произведения баз Н = В х П, где В и 0 есть базы х -++ос и у -++ос, в качестве соответствующего Нд можно взять базу, составленную из окончаний аида й = ((х, у))х > а, у > а). Для полноты изложения приведем еще обобщение критерия Коши равномерной сходнмости функций по базе множеств. Т е о р е м а 2 (критерий Коши для равномерной сходимости функции). Для того чтобы функция 1(х,у), определенная на множестве Х х У, сходилась к яекоторой функции у(у) ло базе В, заданной на множестве Х, равномерно на множестве У, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О нашлось окончание 6 = 6(с) базы В такое, что для любых его точек х1 и хт и любого у б У выполнялось бы условие ~1(хыу) — 1(хюу)~ < с ~7 о к а з а т е л ь с п1 в о.
Необходимость. Если в 1(х у) -Ьу(у) г то для всякого с > О существует окончание 6(с) такое, что для всех у б У справедливо неравенство /1(х,у) — у(у)! < с/2. Тогда для любых х1 н хт б Ь(с) и любого у б У имеем )1(хм у) — 1(хм у)) < )1(хм у) — у(у)) + )у(у) — 1(хм у)! < с/2+ с12 = с. 442 Достошочносшь.
Зафиксируем произвольную точку у.б У. Тогда функция Ь(х) = Ь„(х) = /(х,у) удовлетворяет обычному критерию Коши для сходымости по базе. Следовательно, существует число в у = у(у) такое, что Ь(х) -+у, т.е, имеет место поточечыая сходимость Л(х) = Л„(х) = у(х, у) -+у(у), где у(у) — некоторая функция, определенная на множестве У. Покажем, что данная сходимость является равномерной на У. Действительно, рассмотрим окончание 6(г) с условием, что при любых х1 и хт б 6(е) и при любом у б У выполняется условие ~/(хм у) — /(хг, у) ~ < с/2.
В этом неравенстве при фиксированном у перейдем к пределу по базе В применительно к переменной хт. Тогда получим (/(хм у) — у(у)) < е/2 < г. Последнее неравенство выполняется при любом х~ б 6(е) и при любом у б У. Это означает, что Теорема 2 полностью доказана. В заключеыие в качестве прямого следствия теоремы 2 приведем прямую формулировку критерия Коши отсутствия равномерной сходимости на множестве У для функцыи /(х,у) по базе В, заданыой на множестве Х. Т е о р е м а 3 (критерий отсутствия равномерной сходимости).
Пусть (х, у) б Х х У. Для того чтобы равномерная сходимость фуикцви /(х,у) на множестве У по базе В, заданной ва Х, ве имела места, необходимо я достаточно, чтобы пря яекотором г > О для любого окончания 6 б В существовала пара точек х1 б 6 и хт б 6 и точка у б У с условием !У(хму) — У( юу)(>г.
Замечание. И в теореме 2, и в теореме 3 из двух возможных определений равномерной сходимостя, по Коши и по Гейне, рассматривается первое определение. Если же опираться на второе определение, которое, как было показаыо выше, ему эквивалентно, то тогда вопрос по существу сводится к критерию Коши равномерной сходимости функпиональной последовательности, доказанному ранее в 53 гл. ХУ1. Лекция 16 $6. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Дальнейшее развитие теории интегралов, зависящих от параметра, приводит к рассмотрению несобственных интегралов, которые составляют ее наиболее существенную часть. Из двух типов таких интеграпов сосредоточим свое внимание главным образом на интегралах первого рода.
Интегралов второго рода коснемся лишь вскользь, поскольку их теория не имеет принципиальных отличий от интегралов первого рода. Рассмотрим функцию Дх, у), заданную на множесве 1 х У, где У— промежуток вида [а, +оо), а У вЂ” некоторое множество вещественных чисел, т.е. У С Ж. Допустим, что при любом фиксированном у б У функция у(х, у) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке вида [а,о] и существует несобственный интеграл первого рода от этой функции по переменной х б 1 = [а,+со).
Тогда этот интеграл сам представляет собой некоторую функцию от у, заданную на У равенством у(у) = / у(х, у)Их, Определение 1. Функция у(у), представленная в указанном выше виде, называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у б У. Замечание. Вместо несобственных интегралов по промежутку аида [а, +оо) можно, разумеется, рассматривать интегралы по промежуткам вида ( — оо, 6] или по всей вещественной прямой Й = ( — со, +ос).
Все эти случаи сводятся к рассмотренному точно так же, как это делалось при изучении обычных несобственных интегралов. Например, интеграл У(х,у)ах, у б У, достаточно представить в виде суммы интегралов +ОЭ о +00 6 у) )х = 1(',у) (Х+ 1(х,у) (х и сходимость этой суммы понимать как сходимость каждого из двух ее слагаемых. Первое слагаемое сводится ко второму заменой переменной х на — х. Кроме того, можно, конечно, рассматривать н формальные несобственные параметрические интегралы я прн этом ставить вопрос об области нх сходнмостн К Подобного рода вопросы разобраны прн рассмотрении функциональных рядов, поэтому мы нм много внимания уделять не будем, иногда, однако, будем пользоваться аналогичной термннологней.
Примеры. 1. Прн у > 1 справедлнво равенство ссс с с дх, /с1х . х' " 1 — 1пп / — = 1пп хо с-++сс / хо с +с~ 1 — у 1 — у ! ! ! 2. Прн у > О имеем о о о Определение 2. Интеграл (' у(х, у)с1х называется равномерно сходяшнмся по параметру у на мноясестве У, (у) = У, если ~(х,у)йх= Р(у,1)=$у(у) прн $ ~+со. У а Другими словами, это значит, что для любого е > О существует 1 = 1о(е) такое, что прн всех 1 > го(е) я всех у Е У имеем с 1(х.уИ -у(у) <е, а где у(у) = ( у(х,у)с1х.
Исходя нэ общей теоремы сформулнруем критерий Коши конкретно для равномерной сходнмостя несобственных интегралов первого рода. Т е о р е м а 1. Необходимое я достаточное условие равномерной сходвмостя несобственного внтеграла первого рода (' у(х,у)ссх на множестве У состоит в том, чтобы для любого е > О существовало Т = Т(е) такое, что пря всех го > 1! > Т я любом у Е У выполнялось бы неравенство Т(х, у)с1х с, Приведем также прямую формулировку критерия отсутствия равномерной сходвмостн несобственного параметрического интеграла.
Т е о р е м а 1А. Равномерная сходимость несобственного инте- грала /(х,у)ах с с, / у(х, у)ссх с, Определение 3. Если интеграл ) д(х)Их сходится и при всех х > а и у б У имеем Щх,у)~ < д(х), то функция д(х) называется мажораитой для Дх, у) на П = 1 х У. Т е о р е м а 2 (признак Вейерштрасса равномерной сходимостн несобственных интегралов первого рода). Интеграл с' = ) у(х,у)ссх а сходится равномерно иа У, если функция т(х,у) имеет мажоралту д(х) на П = Х х У, где Х = [а, +со).
,П о и а з а ш е л ь с т е о. Воспользуемся критерием Коши. поскольку интеграл ( д(х)с)х сходится, при любом б > О найдется с число Т = Т(с) такое, что при всех 4т > 4с > Т выполнено неравенство д(х)с(х < б. с! Но тогда при всех у б У имеем с с(х, у)Ых с, < / Щх', у)~с)х < / д(х)йх < б. Отсюда согласно критерию Коши заключаем, что интеграл с сходится равномерно на У Теорема доказана. Пример. Прн б > бб > 1 интеграл ) х сах сходится равномерно 1 на множестве б > бб, поскольку он имеет мажоранту д(х) = х ". 44б на множестве У не имеет места, если найдется б > О такое, что для любого Т б % найдутся числа 4с и 4т > Т и у б У такие, что а(х, у) (1х а <с; 2) функция )1(х,у) равномерно на У сходится к нулю лри х -4 О.
Тогда, как и в случае (А), интеграл 1 сходится равномерно иа У. ,Ч о к о з в )и е а ь с и) в о. Эта теорема как по своей формулировке, так и по доказательству похожа на соответствующие утверждения из теории рядов. По существу, все отличие сводится к замене использования преобразования Абеля на применение второй теоремы о среднем значении интеграла.
Для доказательства снова воспользуемся критерием Коши. Примеияя вторую теорему о среднем, имеем и 4, где 1з — некоторая точка отрезка [1м17]. Теперь в случае (А) в силу равномерной сходимости интеграла ) а(х, у)((х при любом е > О и всех достаточна больших 17 > 1) > 1р(е) а имеем ) а(х,у)пх < е и ) а(х,р)((х < е, откуда (з < [)У(1(, уН а(х, уМ и (2 а(х, у)(1х )з а(, у)Р(х, у)1 447 Т е о р е м а 3 (призиаки Абеля и Дирихле для равномерной сходимости параметрических несобственных интегралов первого рода). Пусть функция )(х,у) определена яа миожестве П= Х х У, где Х = [а,+ос), У = [с,(1) и )(х,у) = а(х,р))1(х,у). Пусть )1(х,у) мопотонна по х при любом фиксированном у Е У (А) (признак Абеля). Пусть, кроме того: 1) иитеграл ) а(х, у)(1х сходится равномерно ло у на У; а 2) функция )О(х,у) ограничена на П = Х х У, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
