Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Имеет место следующая формула: оо Г(.) = -' П(1+1/ )'(1+ / )-'. »«1 ,7 о к а з а ш е л ь с тп е о. Уже доказано, что бесконечное произведеняе в определении гамма-функции сходится абсолютно в любой точке своей области определения. Поэтому из определения гамма-функции имеем «о Во — 1 Г(в) в-1 1пп с-о(1+112+" +11«о-1«о«) 11гп П' (1 + о!» «о-> о« м-о оо а а ! П »=1 во «о-1; Х о т =в-' 1!!п гп'П (1+ — ') =в-' йт П ~1+ — ~ П ~1+ — ') »=1 »=1 «=1 что и требовалось доказать. Утверждение 5 (функциональное уравнение для гамма-функции Эйлера Г(в)). Справедлива следующая формула: Г(в+ 1) = вГ(в), Г(1) = 1. 7 в к а з а е! е л ь с оп в о.
По формуле Эйлера имеем, что Г(1) = 1, а также Г(в+ 1) в ~-~ (1+ 1/и)'+' 1+в/и Г(в) в+ 1 Ч (1+ 1/и)' 1+ (в+ 1)/и в Гт и+1 и+в в+1 Ч и а+в+1 ГГ 2 3... (и!+ 1) (1+и)... (го+в) в+ 1 я-ооо 1~ 1 2 ..и! (2+ в)... (п1+ 1+в) 8 п1+ 1 — 1пп (в+ 1) = 8. в + 1 «о-ооо оп + ! + 8 Отсюда следует, что Г(в+ 1) =. вГ(в).
Утверждение доказано. Из утверждения 5 непосредственно получаем такое следствие. о!9 С л е д с т в и е. Для натуральных чисел и имеем Г(о+ 1) = и!. Далее будет доказано, что при в > О имеет место формула интегрального представления для Б(в) вида Г(в) = к' 'е '!Ь. о Пример 2. При всех вещественных к следующее бесконечное произведение сходится; Это равенство мы докажем позднее, а сходимость вытекает из утверждения 3.
Пример 3. Бесконечное произведение для дзета-функции Римана. При в > 1 функция 1,(в) определена сходящимся рядом с(в) = 1 «=1 Пусть р! = 2, рт = 3, рз — — 5,... — последовательно занумерованные простые числа натурального ряда. Ъ'тверягдение 6 (формула Эйлера бесконечного произведения дзета - функции Римана 1,(в)).
При в > 1 имеет место следующая формула: Доказа!пельсшво. Имеем Раскрывая скобки, согласно неравенству рс > к, справедливому при всех к Я И, получим с 1 Пс>~ в=! С другой стороны, очевидно, что 1 П в!= ! '" где а — некоторая подпоследовательность натуральных чисел, которая не содержит повторений в силу однозначности разложения 420 натурального числа на простые сомножител!» Отсюда имеем.
меравенства 1 1 1 ~(х)=~ — > ~~ —,>Па=~ пж! пз=! "' «=1 Переходя здесь к пределу при й -+ сс, получаем требуемый результат. Утверждение доказано. При а = 1 справедлива оценка 1 1 1 1 Пь= П(1+ — + —,+...) >1+-,+" +-, Р~~ Р~а 2 й' поэтому произведение 11 (1 — — ) ' расходится к +со, а вместе с ним Рх расходятся ряды — ~ !п(1 — ! ) и ьж! ь=!- " Лекция 14 2 1О. БЕСКОНЕЧНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Понятие определителя бесконечного порядка возникает в связи с изучением 'систем нз бесконечного числа линейных уравнений от бесконечного количества неизвестных. Потребность в рассмотрении таких систем уравнений н таких определителей впервые возникла при исследовании задачи об определении движения первгелия лунной орбиты, которое провел Г.
Хилл. Позже, в 1886 г. А. Пуанкаре дал строгое математическое обоснование метода Хилла. Еще одно приложение метода бесконечных определителей дано в работах Е. Фредгольма в 1903 г, прм исследовании линейных интегральных уравнений. Пусть 6 „— двойная последовательность вещественных чисел. Обозначим через Р = )~В )~ определитель квадратной матрицы В = (6»!), где индексы 6 и 1 пробегают значения от 1 до гл. В згой матрице число Ьы находится на пересечении строки с номером й и столбца с номером Е Главную диагональ этой матрицы образуют числа Ььь, где Ь = 1,...,л!. Обозначим через В бесконечную матрицу '06 „)~, где л!, л = 1,2,3,....
Определение 1. Если последовательность определителей Р,„сходится к числу Р лрм л! -+ сю, то будем говорить, что бесконечным определитель Р = )(В~! матрицы В сходится к числу Р илм что ом равен Р. Если последовательность Р расходится, то этот определитель будем называть расходягцимся. Определители Р будем называть частичныыи определителями бесконечного определителя Р. Введем новые обозначения. Для диагональных элементов матрицы В положим Ь„= 1+ а„„. Если же л! ф п, то будем считать, что а»„, = 6»,«. Определение 2. Мажорантой Пуанкаре бесконечного определителя Р назовем бесконечное произведение Р вида лрм условии, что все ряды 2 1а „~ сходятся м само произведение Р «»и тоже сходится.
422 Определение 3. Конечное произведение Р,„вида т / г« -тП~ К~" !г=! !«! называется мажорантой Пуанкаре определителя В Т е о р е м а 1 (лемма Пуанкаре). Прв всех га б И справедливы оценки: 1)(В )<Р 2) !В .!-! Вт! < Рт<-! Рпг. ,7 о к а з а т е л ь с т в о. 1. Определитель В состоит из пг! слагаемых вида ( — 1)'! 1оп, ... о ! Здесь с(о) — функция четности подстановки гг = (1г,...,! ), с(о") = О для четной и с(гг) = 1 для нечетной подстановки гг, Следовательно, гп / г« -~тК~ - ~<П~К~ а ат! гп / г« и( к")=- Ггп! г=! Утверждение 1 доказано.
2. Разложим определитель В +! по элементам последней строки. Получим Вт+! — — а„,е! гА е! г+ +а е! А а! „+(1+а е! +!)Вт, Здесь А е! ! — алгебраические дополнения в матрице В +! к элементам а +! ь ее последней строки 1+а! ! а!! ! аг!+! ... а!т+! А ( 1)т+!+! а +! а ! , а,„! ! а ге! Как н выше (при доказательстве п. 1), имеем г«го+! т / т+! !Ат+!,г! < Д ~~~, ~Ьь,«! < Д ~1+ ~~г, ~ах,«1 = Ют ят! ат! т+1 Заметим, что !.1 > Р > О и Р +! — — ь/ (1+ 2 !а !)). Поэтому (Вт+! — Вт! < < (ат ! ! ! ( ' (Ать!!) + ° + (атчгт ! ' !!Ат ! !гт (+ !!ат ! ! т ! ! ) ' !!Вт( < < Ят()ать!!) + ' ' '+ )ат !гт) + )атлгтл!)) = Рта! фл = Ртг! Рт ° Теорема 1 доказана. 423 Т е о р е м а 2 (теорема Пуанкаре).
Бесконечный определитель сходится, если абсолютно сходятся бесконечное произведение его диагональных элементов н двойной ряд, составленный нз его неднагональных элементов. 2Т о к а з а т е л ь с и! е о. Так как Ь„,,„= 1+ а„,,„, то абсолютная сходимость П Ь произведения диагональных элементов п1=1 эквивалентна сходимости ряда ~, !а ~. Кроме этого, по условию ~»п! сходится и двойной ряд ~ )а п1фп Но тогда сходится и бесконечное произведение Р, где так как его сходимость обеспечена сходнмостью повторного ряда ~, )а „).
Представим значение определителя Б матрицы В в пзп!»и! вйде суммы ряда: В = Б1+ (Вг — 01) + Яз — 112) + ' = 11! + 112+ 1(з+ ' ' ' = ~~' 11». »=1 Согласно теореме 1 при всех и Е И справедлива оценка где Рп — мажоранты Пуанкаре определителя В„и Рп < Р. Отсюда следует, что сходящийся ряд ~п рп+! = Р— Р! является мажорантой »=1 для ряда ~ а„+1, и поэтому сходится последний ряд, а также »=1 и последовательность его частичных сумм Рп. Но это и означает сходимость бесконечного определителя В. Теорема доказана. Замечание. Аналогичная теорема имеет место и для бесконечного определителя 0 матрицы В вида В = (Ь „), где — оо < ог, и < +ос.
Здесь частичные определители Р н матрицы В имеют вид П =))В )(, В =(Ьь!), — пг<Ь,1<пг. 424 Задача. Доказать теорему Коха о том, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости определителя Р вида 1 ат ... О О Вт 1 ., О О 11 = !пп та-тст О О ... 1 а О О ... В 1 является абсолютная сходимость ряда 1 , 'ачбч. При этом абсолютная сходямость определителя Р означает сходимость ряда 1.' (П„,+1 — П„т ). ттт=1 В заключение дадим еще одно определение, обобщающее понятие мэжораяты Пуанкаре. Определение 4.
Пусть А„(х) — функциональная последовательность, а „— числовая последовательность, причем Ва -+ В прн тт -т со. Пусть также при всех п Е И дл» каждого х Е В справедливо неравенство (А„+1(х) — А„(х)) < В„ьт: В„. Тогда числовая пстследовательность В„называется мажорантой для последовательности функций А„(х) на множестве 11. Очевидно, что последовательность А (х), имеющая на множестве О мажоранту В„, равномерно сходится на этом множестве.
| 11. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЪ|ВНОСТЬ И ТЕОРЕМА АРЦЕЛА Докажем теорему Арцела, важную главным образом для приложений за пределами основного курса математического анализа. Определение 1. Множество функций М называется равностепенно непрерывным ва отрезке ! = (п,6), если для всякого г > О найдется число б = д(е) > О такое, что для любой функции 1(х) б М и любых хт и хт с условием )хт — хт~ < 6 справедливо неравенство 11(хт) 1(хг)~ < е Т е о р е м а 1 (теорема Арцела). Если бесконечное множество функций М равномерно ограничено на отрезке 1 и равностепеино непрерывно на нем, то из всякой последовательности функций ~,(х) б М можно выбрать подпоследовательность т'„„(х), равномерно сходящуюся на 1 к некоторой непрерывной на 1 функции 1е(х), ве обязательно принадлежащей М. Д о и а з и тп е л ь с тп е о. Будем для простоты считать, что 1 = [О, 1].
Идея доказательства состоит в замене с допустимой ошибкой произвольной точки х при использовании критерия Коши на близкую к ней двоично-рациональиую точку с возможно меньшим знаменателем, Занумеруем множество (х„) всех двоично-рациональных чисел а/2" этого отрезка в порядке возрастания показателя степени й при его различных значениях и в порядке возрастания числителя дроби а при равных значениях знаменателя дроби 2". Таким образом, имеем х~ = О, хз = 1, хз = 1/2, хч = 1/4, хь = 3/4, ,хз +~ = (2 1)/2", хм~э — — 1/2"+',.... Рассмотрим теперь множество чисел В~ —— (/в(х~)), где /„(х) — исходная последовательяость функций, /„(х) б М. Множество В~ ограничено в силу условий, налаженных на М, и по теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности В~ можно выбрать скодяшуюся подпоследовательность /„(х~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
