Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Рассмотрим последовательность номеров пы ..,, и,... получившейся последовательности и образуем первую вспомогательную подпоследовательность функций С~ — — (дц,„(х)), полагая д~ „,(х) = /„(х). Тогда будем иметь, что последовательность д~ (х~) = /а (х~) сходится к некоторому значению Ш. Далее образуем по тому же правилу подпоследовательность функций Сз = (дзд(х),,уз ~(х),...), используя в предыдущих рассуждениях последовательность д~ (х) вместо /„(х) и точку хз вместо хь В результате получим, что дз (х) — подпоследовательность для (уц (х)) и уг, п(хг) э уг при гп -+ со. Многократно повторяя этот процесс, получим подпоследовательности 6з = (дз, э(х)), ба = (у4,п (х)) я тд., причем тогда дь (хь) -+ уь при гп -+,оо и последовательность уь (х) будет подпоследовательностыо относительно дь ~ (х) при всех к > 2.
Рассмотрим теперь "диагональную" последовательность функций (Ь„(х)), где Ь„(х) = д„„(х). По построению, начиная с номера и = й, все функции 6„(х) при п > й образуют подпоследовательность последовательности с'ю поскольку 6„(х) = да, ~(х) б с э С с „-~ С . С Сю Отсюда следует, что при любом й и и > и числовая последовательность 6„(хь) является подпоследовательностью для д„(хь), и поэтому 6„(хь) — > уь при п -+ оо.
Покажем, наконец, что последовательпость функций И„(х) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Рассмотрим произвольное число г > О и покажем, что существует номер по —— пэ(е) такой, что при всех гп и и > пз одновременно для всех х б ! выполнено неравенство (/,„(х) — /„(х)! < е. Для этого, используя равностепеяную непрерывность множества функций М, найдем число б = б(е/3) такое, что при всех х~ и хз б 1 с условием ~хз — х~~ < 6 и для любой функции /(х) б М имеем Щхз) — /(х~)( < е/3. Выберем число й из условия Б/2 < 2 ~ < 6 и перепумеруем все двоично-рациопальяые точки хы...,хз +~ со знаменателями, пе превосходящими 2", в порядке возрастания их величин. Если хы ..,,хз +~ — их новая нумерация, то г,~~ — г, = 2 ~ < б при всех а = 1,..., 2" + 1.
По построению любая из числовых последовательностей (Л(х,)) сходится, н поэтому для нее найдется номер и, такой, что при всех и и пь > и, имеем [Л~(г,) — Ло(г,) [ < г/3. Теперь в качестве пе(г) выберем номер пе(г) = шах и, и покажем, в<г~=~ что он удовлетворяет требуемым условиям. Действительно, пусть я Е Е [0,1] и г~ — ближайшее к нему число из множества хг,...,гт»„,. Ясно, что [я — гс[ < 2 "< д, откуда вытекает, что [Ль(х) — Ль(хс)[ < г/3 при всех й Е 1Ч. Окончательно при всех гп и п > па(е) > нс имеем [Л~(х) — Л~(х)[ < [Лм(я) — Л~(хс)[+ [Л~(га) — Л~(хс)[+ [Л~(гь) — Ло(х)[ < < е/3+ е/3+ с/3 = г.
Это значит, что по критерию Коши последовательность Л„(х) сходится равномерно на /. Теорема 1 доказана. Замечание. Утверждение теоремы 1 можно рассматривать как достаточное условие компактности некоторого множества в пространстве С[0, 1) всех функций, непрерывных на отрезке 1 = [О, 1). Можно показать, что это условие является и необходимым для замкнутого множества функций, но здесь мы этого вопроса касаться не будем, найдется число б = б(е) > О такое, что при любых точках (хмуь) я (хз,у2) Е П справедливо неравенство )1(хы уь) — 1(х2, у2)) < е. Их)~ = (У(х,у) — У(х уа)~ < е, поскольку расстояние р(А, В) между точками А = (х, у) и В = (х, уо), равное (у-уо~, не превышает б. Интегрируя г(х) по отрезку 1, получим ь г(х) бх О < ~ (х)! х < е(Ь вЂ” а). а В силу произвольности выбора е > О отсюда следует, что оо(у) -+ (р(до) при у -+ уо, т.е.
(о(у) непрерывна в точке у = уо, и так как точка уо выбрана произвольно, то ~р(д) непрерывна на 12. Теорема 1 доказана. Доказанная теорема допускает следующее простое обобщение. т е о р е м а 2. пусть функции уч(д) и (оз(у) непрерывны на 12 = (с, о() и удовлетворяют неравенствам а < ро(у) < рз(у) < 6. Тогда в условиях теоремы 1 функция Ь(у), где е (9) Ь(д) = ~ 1(х,у) пх, е (о) тоже непрерывна на 12.
Прежде чем доказывать теорему 2, заметим, что функцию Ь(у) тоже можно рассматривать как параметрический интеграл, поскольку ь Ь(у) = ~~(х> у)бх, а где ~~(х, у) = 1(х,у) при оо~(у) < х < )22(д) и Л(х,у) = О в противном случае. Д о к а з а пь е л ь с нь в о. Снова рассмотрим произвольную точку уо отрезка 12. Для приращения сьь(до) = ь(у) — ь(уо) функции Ь(у) в атой точке имеем соотношения т~(оо) т~(о) ЛЬ(уо) = / 7(х,д) 1. — ~ Лх,уо) бх= т~ Ом) т ОО 429 Зафиксируем произвольно некоторую точку уо на 12.
Тогда для любого у из ее проколотой б-окрестности на оси Оу н любого х Е 12 — — (а,б] для разности г(х) = г(х,у,уо) = 1(х,д) — 1(х,уо) имеем оценку Ч 2(У) г»(У) Ф»Ь2) = ) (»»*,2) — »(*.»242*» )»»,и»)~г — 1»»*.и»2*) = г»(у) (У) г»(У2) = г1(у) + »т(у). Оценим величины г1(у) н гт(у) в предположении, что [у — уо[ < Ь(г), где 6(е) > О и е > О имеют тот же смысл, что и в теореме 1. Имеем г»(У) [г»(у)[ < / Щх, у) — 1(х,уе)[»(х < г[(УУ(у) — »р1(у)) < е(Ь вЂ” а). е»ОО г»(уа) г»(У) 7(х, уе)»(х+ ~ )(х, уо)»(х [гу(у)) = Ф2(УО) г»(у) Ф»(Ую) г»Ь) / 2. = М[Ьр1(уе)[+ М[(ЬЮУ(уо)[ <М г Ь) 2(Уа) Поскольку функции»р1(у) и (»»х(у) непрерывны на 1у, при достаточно малом [»ауе) = [у — уо[ < 4)(е) выполнены неравенства )42(У1(уа)[ < е и [а)»»т(уе)[ < е. Положим Ье(е) = пап(Ю1(е),ЬУ(е)).
Тогда при всех у с условием [у — ус[ < бо(г) будем иметь )1»Л(уе)) < [г»(у)) + [гт(у) [ < г(Ь вЂ” а) + 2УМ = е(Ь вЂ” а + 2М). Но так как е > О произвольно, то отсюда следует, что функция Л(у) непрерывна в точке у = уа б 1У, а также и на всем отрезке 1ю Теорема 2 доказана. Следует заметить, что пряведенное выше доказательство теоремы 1 фактически состоит из вывода следуюших двух утверждений. "Утверждение 1. Если функция 1(х, у) непрерывна на П = 11 х 1г, где 11 и 1у — отрезки вида 11 — [а,Ь] и 1У вЂ” — [с,»() и если функция д(х) = ду(х) = 1(х, у), то при любом уе б 1у имеем ду(х)ддо(х) =У(х,уо) при у-+ус г» 430 Далее если М = вор[1(х,у)[, то для величины гт(у) получим оценки п Утверждение 2. Пусть для некоторого уо Е (с, И) прн у + уо имеет место равномерная сходимость 1(х, у) =$ 1(х, уо).
Кроме того, в (а,о] некоторой окрестности точки уо существует параметрический интеграл вида ( .1(х,у) о(х. Тогда прн у -э уо существует предел а ]пп У(х,у) Их = У(х,уо) 4х. т ~та,/ а а ~ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 'Х е о р е и а 1 (правило Лейбница). Пусть функция 1(х, у) непрерывна на П = 1, х 1т, где 1~ и 1з — ' отрезки, 1о —— [о, Ь), 1з = (с, и].
Пусть частная производная ~„(х, у) существует н непрерывна на П. Тогда функция у(у), где у(у) = Пх,у) ]х, а является днфференцируемой на 1т, прячем ь у (у) = а~ ~„(х, у) ох. а .7 о х о з о т е л ь с т е о. Зафиксируем произвольно точку у Е 1т. При любом 6 ф О с условием у+ 6 Е 1т можем записать равенство у(у + Ь) — у(у) 1 Их, у + А) — У(х, у) А / А а Подынтегральная функция в правой части этого равенства непрерывна по х, и поэтому она интегрируема по Риману. Применяя к ней формулу конечных приращений Лагранжа, получим — ~т(х, у+ОИ)о]х, О < д ( 1.
Ь а аз~ Ввиду непрерывности ~„'(х, у) на П и на основании утверждения 1 1 1 имеем ~„'(х, у+ ВИ) =У ~„'(х, у) при И -+ О. д Наконец, используя утверждение 2 З 1, приходим к равенству !пп = В'(у) = ~„'(х, у) Ых. В(у + И) — у(у) О Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (обобшенное правило Лейбница). В условиях теоремы 1 будем считать, что а(у) и )р(у) дифференцируемы на 1з и а < а(у), )у(у) < Ь. Тогда имеет место формула н(р) а'си) = 1 л*,а«) «(р) В(р) ~„(х, у)Нх+ 1()У(у), у))У (у) — 1(а(у), у)а'(у).
а(р) ,И' о к а з а я1 е л ь с ш е о. Пусть, как и выше, И ф О и точки у,у+ И б 1р. Рассмотрим выражение о(И), где н(к+р) р(р) В(И) = = — 1(х, у+ И)Вх — 1(х, у)Вх «(р+ь) а(р) Используя стандартные обозначения Ьа = а(у+ И) — а(у), (з)У = = )у(у+ И) — Ф(у), ЬУ = У(х у+ И) — 1"'(х, у), его можно записать в виде и(И) = Ь /(1(х,у+ И) — 1(х,у))Вх+ а+а« = А1+Аз+Аз- Дословно повторяя рассуждения теоремы 1, для интеграла А~ при И -+ 0 будем иметь А~ -+ ~~е(х,у)дх. сс Далее, применяя теорему о среднем для интегралов Ах и Аз и используя непрерывность функции 1(х,у), получим Аг = — — 1(а+ В~1»а,у+ И), Аэ = — 1(Р+ Взг»р, у+ И).
1Иа ~4 Ь Отсюда при И -+ 0 имеем А -+ — '(у)У( (и), и), А В'(у)УР(у),у) Теорема 2 доказана. Пояснение к доказательству теоремы 1. Проведем более подробно обоснование возможности предельного перехода 1цп Я(х, у+ ВИ) Нх = ~„'(х,у) с1х, »-~0,1 е а опираясь на условие равномерной сходимостя ~д(х,у+ ВИ)=ЬУд(х,у) при И -+ О, где 1~ = ]а,Ь]. Ь Как известно, интеграл по отрезку 1~ от функции Г(х, И) = ~„'(х, у+ВЛ) есть предел интегральных сумм е а(Т) = аг(Т) = ~ ~Р((юИ)В»х». »к! Здесь предел берется по базе Ьт -+ О, определенной на основном множестве А, образованном всеми размеченными разбяеннями (Т) отрезка 1» = [а,Ь].
При этом точки е = х» < хз « . х„= Ь образуют разбиение, а точки б»,бт,...,Ве лежат соответственно на отрезках (хе, х»],,]х„», х„] и образуют его разметку, величины же с»х» = х» — х»» равны длинам соответствуюших отрезков. Функция сгг(Т) определена на множестве А, а величина 1»т равна птахс»х», » н, наконец, окончания Ь|, б > О, базы с»т -+ 0 состоят из всех размеченных разбиений Т с условием 1»т < б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
