Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Следовательно, существует разбиение Т= Тг, такое, что й(Т) < гт. Дополним зто разбиение Т до разбиения г множества Р, добавив к нему фигуру Ре = Р ~ гт. Тогда в сумму й(т) добавится слагаемое, равное (Мо — тле)ут(Ро), где пто = 1пГу(х,у), Мо = зпру(х,у). и. ' ' и, Следовательно, имеем й(г) < гт + (Мо — ото)2ст = ет(2Мо — 2пто+ 1) = г, т.е. ш1й(г) ~ О. Это и означает, что функция у(х,у) интегрируема на Р. Теорема 3 доказана. Лекция 5 1 10. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ранее мы определили двукратный интеграл как предел по базе Ьт — ~ О (или Ьа — ~ О на множестве Р), где 1' и 11 размеченные разбиения соответственно прямоугольника Р и множества Р.
Это определение можно дословно перенести на случай функций от большего числа переменных. Другими словами, если, например, в определении интеграла 1 функцию д(х, д) заменить на функцию д(й) = д(хм..,,х„) при в > 2, а области Р,РО...,Р~ считать в- мерными, то поскольку измеримость по Жордану была определена при любом и > 1, мы тем самым получим определение и - кратного интеграла по области Р С Ж", измеримой по Жордану.
Для этого интеграла введем следующее обозначение: 1 = ~ / д(хм ...,х„)Их~...йх„ = / ~ д(х)йи. Точные определения для общего случая переписывать не будем. Нас будут в основном интересовать случаи и = 2,3. В этих случаях интеграл ! обычно записывают так: Отметим, что все факты, доказанные ранее для случая и = 2, без прннципнальных изменений в доказательстве переносятся на общий случай и > 2.
Укажем только, что сюда относятся и критерий интегряруемости функции в разных формах, и свойства 1а — -7с двойного интеграла. Приведем формулировку теоремы о сведении в-кратного интеграла к (в — 1)-кратному интегралу. Ограничимся случаем в = 3. Т е о р е и а 1. а) Пусть существует тройной интеграл А от функция д(х, д, т) по параллелепипеду Р = 1~ х 1т х 1а, Пусть также существует двойной интеграл И(х) по прямоугольнику О = 1а х 1а, т.е. интеграл И(х) = ) ) д(х,у,т)адат.
Тогда функция И(х) является е нятегрнруемой на отрезке 1~ и справедливо равенство А = / И(х)Йх. ц 6) Пусть В С Р = 1, х 1о х 1з и пусть при фиксированном х Е 1о символ О(х) обозначает собой измеримую по Жордапу область точек (у, х) б 1г х 1е с условием (х, у, х) Е 1) (то есть О(х) является пересечением множества О с плоскостью, состоящей из точек, у которых первая координата фиксирована и равна х), Пусть также при всяком таком х существует интеграл Й(х) = ~~д('х,д,х)о1удю Р(е) Тогда имеем А = И(х)о)х, При фиксированном х, применяя аналогичную теорему к двойному интегралу Ь(х), получим 6(х) = ф д(х,у,х)Ых, а2 Р(юу) где множество В(х, р) является пересечением множества В с плоскостью х = сопеФ, и = сопео . Пример 1. Найти значение величины интеграла где область 1) определяется условиями П = ((хо,..., х„))0 < хо « .
х„< 1), Обозначим через В область В, = ((хы...,х„)~О < х (ц < . < х 1„) < 1), отвечающую перестановке о чисел 1,..., и. Для различных перестановок е и г области В„и В, не пересекаются. Далее, интеграл 1(п), отвечающий области интегрирования 1), от той же самой функции 1(х~)...1(х„) будет равен 1. Количество перестановок п чисел равно и!. Следовательно, 1 е 1 и '='Е.=Н» *.» -= У ** а о о о Таким образом мы свели вычисление п-кратного интеграла к одно- кратному и получили формулу 1 » 1 1= —, ( /[х)11х о ,р») = ~[х + + *.)хг ..*„- И*,...Их„ = 1 [Р1) ' ' Р[Р») / у( ) Г[р,+ "+рп) 1 о Действительно, положим Л = х1+ + хп 2, Расставим пределы интегрирования в интеграле Х Тогда два последних интеграла по ПЕРЕМЕННЫМ Хп 1 И Хп будут ИМЕТЬ Внд 1-Л- ., Сделаем во внутреннем интеграле замену переменной вида 1 — е Хп — Хп-1 Ю Тогда Х»-1оо хп— п2 Хп-1 6— Хп-1+ Хп и интеграл Н принимает вид Поменяв порядок интегрирования в Н, получим «11-21 Н = ~Ые [ ДЛ+ — ")х~",'+~" (1 — и)гп 1и г" 1йх„ 6 о о Пример 2.
Докажем следующую формулу Дирикле — Лиувилля. Пусть у[х) непрерывна на отрезке [0,1[ и пусть Я есть симплекс в и-мерном пространстве, определяемый условиями х1+ + хп < 1, х1 > О,..., х„> О. Тогда имеем СДЕЛаЕМ ЕЩЕ ОДНУ ЗаМЕНУ ПЕРЕМЕННОЙ ВИДа Хп 1 — — Э1. ИМЕЕМ » =1 (1 — Р" ' Р"-' '~ 1 1(А.~ф' ' ' 'и= = в(р„„р„) ур+ а)г --'+'" 1(11.
о Отсюда получим следующую рекуррентную формулу; У вЂ” 1»(Р(»Р») = В(Р»-1~Р») (»-1(Р1 .,Рп-юРп-1+Р»)~ из которой имеем 1 = В(Р» -1 ~ Рп ) В (Рп-Э Рп -1 + Рп ) В (Р1 ~ РЭ + ' ' ' + Рп ) 11 (Р1 + ' ' ' + Рп ) = 1(Р1)' Г(Р») 1( ( ) р(1...(р г(р,+" +р„),/ о Таким образом, формула Дирикле — Лиувилля доказана, В частности, следствием этой формулы является выражение для объема и-мерного шара, заданного соотношением хэ~ + .
+ хз < аэ. Ввиду симметрии шара относительно гнперплоскостей.хэ = О, х = 1,...,и, можно ограничиться вычислением объема области К, части шара, определяемой так: х1+ + х„< а~, х1 > О,...,хп > О, при этом объем ее будет в 2" раз меньше объема шара К Имеем $' = 2" ((х1... ((х„. к После замены переменных аи( = хэ(,..., аип = х» область К перейдет в симплекс Я, определенный выше, и поскольку (1хь = ф74,х = 1,...,и, получим Последний интеграл есть интеграл Дирихле — Лнувилля при 1 Ди(,..., ип) = 1, Р( = .
= Рп = —. 2 ьт1 м Следовательыо, объем и-меРыого шаРа РадиУса а Равен Г(а+~~а". 3 11. СВОЙСТВА ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЫПУКЛОМ МНОЖЕСТВЕ Известно, какую большую роль в построении теории однократных интегралов играет метод замены переменкой. В случае же кратных интегралов роль этого метода ые меыьше (а быть может, и больше). Для его обосыоваыия ыам поыадобятся некоторые свойства гладких отображений. Пусть фуыкдия В(у),й = (ум, ..,уь), определена ыа компактной измеримой области Р С и" и иытегрируема ыа Р.
Пусть 1 обозыачаег иытеграл Рассмотрим отображеыве у = ОЗ(х) измеримого компакта Ро СВ." ыа множество Р, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между внутренними точками множеств Р и Ро. Напомним, что отображение р = ф(х) задается системой и функций, У! =Ф~(хы х»), ... у„=1о„(хо,...,х„), определенных ыа Ро. Будем считать, что каждая из этих фуыкций имеет все непрерывные частные производные ыа Ро. Замечания.1. Фуыкцки 1оь(х) называются криволинейными координатами, определенными ыа Ро. 2. Условие взаимной одвозыачыости отображения 1о: Ро -+ Р для внутренних точек области Ро обеспечивается требоваыием отличия от нуля якобиаиа этого отображеыия в каждой кочке области Ро (теорема об обратном отображеыии).
Перейдем теперь к формулировке и доказательству утверждений о гладких отображениях иа областях. Т е о р е м а 1. Пусть Ро выпуклое и замкнутое множество и ~р(х) гладкая функция па мяожестве Ро. Пусть также точки х я х+Ах приыадлежат .Ро. Тогда существует точка ~ = х+Вльх,0 < В < 1, такая, что А1о = (льх,итал 1оф)). Д о к а з а т е л ь с т о о. Рассмотрим фуыкпию Ь(1) одной перемеыыой 1, 0 < 1 < 1, Ь(1) = 1о(х+ 1Ьх). Ясыо, что Ь(1) гладкая фуыкция ыа отрезке [0,1]. Следовательно, к яей можно применить формулу Лагранжа конечных приращениИ. Тогда существует число В,О < д < 1 такое, что б,р = ~ЬЛ = Л(1) — Л(О) = Л'(й)(1 — О) = Л'(й). Функция Л(1) является сложной функцией от С и по правилу диффе- ренцировании сложной функции получим Л (О) = — гу хг + .
+ — Ьх„= (Ьх, игам рЯ), др(0 бра) дхг дх„ где б = й + дс»х. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Пусть ф(х) гладкое отображение выпуклого компакта Рд на область Р. Тогда существует число с > О такое, что для любых точек ам аг Е Ре справедливо неравенство Цф(а1)-ф(аг) Ц < сЦаг — агЦ, где ()х)( длина вектора в евклидовой метрике. Д о и а з а п1 е л ь с т е о. Из теоремы 1 при Л = 1,..., а имеем р»(аг) — р»(аг) = Ь1»» = (аг — а1,агап р»(с»)), где с» = аг + д»(аг — аг) и У» — некоторое число из интервала (0,1). Далее воспользуемся неравенством Коши )(а, Ь)( < ЦаЦ ЦЬЦ. Получим (Ьр»( < Цаг — аг() ° Цйгас$р»®,)Ц.
Поскольку Рс компакт и функции Цбгж(»г»(х)Ц непрерывна на Рс, она ограничена на этом компакте некоторой постоянной с» > О. Используя зто и числовое неравенство аг+ + аг < )аг(+ .. + (авЦ будем иметь ЦгЛФ1) < )брг)+ +(Ьр (< (сг+ ..+с„)ЦЬхЦ = сЦЬЦ, где сьх = аг — аь Теорема 2 доказана. Обозначим через Ат(х) матрицу Якоби отображения ф:В," -»В," в точке й. Определение 1. Линейное отображение Ьу = А„(й) г»х приращения»»х вектора х называется дифференциалом отображения ф и обозначается символом аф(х). Очевидно, что фр(х) — вектор с координатами йр»(х) = (УЛх,а ~р»(х)) Т е о р е м а 3. Пусть ф — гладкое отображение выпуклого компакта Ле и г(х,~3,х) = О~р — Ы4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
