Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Дифференциальную форму ые вида ы = г(х) йх, Л . Л йх назовем базисной дифференциальной к-формой. Примеры. 1. Пусть к = 1. Тогда форму первого порядка можно представить в виде е (х,Щ = ~ Р,(х) |х,. 2. Пусть к = а. Тогда сумма в определении дифференциальной формы ы состоит нз одного слагаемого, и форма ы имеет вид ы(х,йх) = г(х) ах1Л Лах„. т 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ Определение понятия замены переменных в дифференциальной форме нужно в основном для того, чтобы ввести понятие поверхностного интеграла по ориентированной кусочно-гладкой поверхности, размерность которой меньше размерности основного пространства. Но, разумеется, оно имеет место и в случае, когда эти размерности совпадают.
По существу, данное определение достигается заменой и на р(|) и ах; на ар|(х). Определение. Пусть ы — дифференциальная А-форма и ф— гладкое отображение, ф: ж" -+ Ж", Тогда имеет место следующее правило замены пере|пенных й = ф(|): ы(х, йх) = ы1(С, <Н), где ы, =! !(1,й) = ~~; ~ К„.(р(1)) 1р-!(()Л Лйаем((), !<и!!« . е!!бп и ,ьг,(() = ~ ' — "* й„.
т=! Приведем форму ы! к каноническому виду ы (1,е() = ~ ~~! Ф„„,,„(!) а„, Л . Лй„. !« . <~!<а Для зтого сначала преобразуем к каноническому виду злементарную форму ые где ые = !юг~,(1) Л . Л !1у „(!). Имеем '~-'й„, Л Л ~ 4' 'й„„ е « д1, ! й,.„ с,=! с,=! !<» « , <е ! а «[с!] а1~'!)/ '-'й Л .й =ŠŠ— О(е Здесь ее равно +1 или — 1 в зависимости от четности подстановки е, составленнои из чисел и(г ),...,а(гь). Подставляя последнее выражение в равенство, определяющее форму е!!, найдем Ф„„.= Е ~: -„, .(-(())'"",-„" !<е!1« е!~,<е О(1„, Форму ы! обычно обозначают символом ы! — — ~р'ь! и называют формой, инпуцнрованной отображением !!. или просто нндуиированной формой. Примеры.
1. Пусть ( = 1. Тогда е У3 ,р'ь! = ~ ~Ф„(1) й„Ф,(!) = ~ ~г (у(1)) —. ю'ы! е!=1 2. При !с = п имеем е!"ь!=Г(4®) ( ' ' ) й!Л Лй„. ОЬ!,,у.) П(1!,...,1„) Лекпия 17 5 5. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ Сначала рассмотрим интеграл от дифференциальной и-формы по и-мерной ориентированной поверхности В в пространстве я измерений. Канонический вид формы ы в этом случае можно записать.так: ьс = Р(х) Ыхс Л Л Их„. Определим интеграл от ы по поверхности В (ориентированной естественным образом) как п-кратный интеграл Римана, т.е. ° = ~ Р(х) йх,...йх„. Поскольку после замены переменных й = »с(с), связанной с параметризацией поверхности В = с5(А), отвечающей ее ориентации, мы приходим к дифференциальной»-форме »с'ьс, определенной на 1с-мерном множестве А в пространстве 1с измерений и имеющей канонический вид асс = ср'и = Ф(И,..., С») сйс Л Л ссс», по аналогии со случаем» = и мы имеем правило, выражающее 1с-кратный поверхностный интеграл от к-формы ыс через обычный »-кратный интеграл Римана.
Это обстоятельство позволяет нам дать следующее определение поверхностного интеграла от дифференциальной формы. Определение. Поверхностным интегралом 1 по кусочно- гладкой ориентированной поверхности В от гтадкой дифференияальной»-формы сс (т.е. формы с гланкнмн коэффицентами) называется выражение В А гдс- множеспю А есть к-мерное выпуклое компактное измеримое по Жордану множество в пространстве к измерениИ, В = сэ(А). Прн этом интеграл по множеству А, как н в случае к = и, выражается через обычный к-кратный интеграл Римана с помощью формальной замены выражения Йс Л .
Лс11» на выражение с1Н...ссс». 651 Заметим еще, что если параметризация уз поверхности В определяет на В ориентацию, противоположную заданной, то согласно данному выше определению в А Пример. Пусть В = Ь вЂ” окружность с центром в нуле радиуса 1 иа плоскости хОн, пробегаемая против часовой стрелки.
Зададим эту ориентацию с помощью отображения ф; (О, 2н] -+ В равенствами х = сое1, у = а1п г, 0 < 1 < 2я. Рассмотрим дифференциальную 1 - форму хс1у — ус1х М= ха+ уз Тогда имеем ~р"ш = сМ. Отсюда следует, что 2т /ш=/ум=/ а1=2н. с а о Для проверки корректности определения интеграла ( ш надо дока- в зать, что его величина не зависит от параметризации х, сохраняющей ориентацию. Напомним, что любые две такие параметризации ф и р связаны между собой соотношением р = х Л, где Л: А -+ А~— некоторый диффеоморфизм с положительным якобианом. Т е о р е м а 1.
Пусть параметризации ф: А -+ В и 4: А~ — ~ В задают одну и.ту же ориентацию поверхности В. Тогда имеем х'м = 1Ь'ы. А А Д о к а з а тп е л ь с т и о. Дифференциальная форма ф'ш является й-формой в пространстве Й» той же размерности Й, позтому канонический вид ее таков: Воспользуемся теперь формулой замены переменных: Получим Ф'ы = (Ф . л)'ы = Ф(л(й)) ил1(й) л л йль(й) = = Ф(Л(й)) ои1 л л пиь. Р(Л) Так как ~(йь > О (из условия сохранения ориентации), то по формуле п(11 замены переменных в кратном интеграле имеем ф'ы = / (Ф Л)'ы = 1 Ф(Л(й)) — йя1 Л Л Ииь— 1 .
Г Р(Л) Р(й) А А А Р(Л) Ф(Л(й)) — йо1... йиь = ~ Ф(() йП... о1ь = Р(й) А А = ~ Ф(() й1, л " л й1, = / Ф' . Теорема 1 доказана. Следуюшая теорема является весьма полезным инструментом в различных приложениях поверхностных интегралов. В случае интеграла Римана она решает задачу нахождения подынтегральной функции по ее первообразной. Т е о р е м а 2. Пусть У вЂ” выпуклый измеримый компакт в %». Пусть также для любой ориентированной кусочно-гладкой И-мерной поверхности В С У существует интеграл второго рода 1(В) от непрерывной дифференциальной и-формы ы, Тогда форма ы однозначно определяется по значениям интегралов 1(В). До каза ти ел ьс т во.
Пусть формам имеетвид ы = ~~~ ~ а;,;,(2) их;, л .лих;,. 1<б« "~*<» Пусть а(2) = а;,;,(х) — любой коэффициент формы ы. Найдем его значение в точке йб = (х1б,...,х„б) Е У. Для этого на Й - мерной плоскости х; = х;б, 1 ф 1ы, ..,1ь возьмем б-окРестность Я, точки хб.
Это будет ориентируемая поверхность в 1й". В качестве параметризацни ее возьмем переменные 1 = (1ы...,1ь), 11 — хп,...,гь = х;„. Тогда интеграл 1(Я,) равен — е(х1б,,П,,х„б) Й1...п1ь, где последний интеграл является обычным й-кратным интегралом Римана, Отсюда по теореме о среднем имеем 1 а(йб) = 1пп — / ы. с-45 р(д ) Теорема 2 доказана. 5 6. ОПЕРАЦИЯ ВНЕШНЕГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В дальнейшем мы всюду будем пользоваться тем, что выражение, т.е. диффернциальную форму ЫР(х), записанную в каноническом виде, можно рассматривать и как обычный дифференциал функции Р(х).
Приведем теперь определение внешнего дифференциала. Определение. Дифференциалом (точнее, енесинсьм дифферен14иалом) дифференцяальной х-формы сп называется /с+ 1-форма са1 = Йп вида да = ~ ~~~ ЫР, „(х) Гс с(х~, сс... А Ых 1<п11« "~пп<п Примеры. 1. Пусть х = 1. Тогда д = ~ ' дР (х)лдх = ~' ~ — ™дх„ддх дР д», 1<сп<п 1<пс<п 1<п<п = »'» ( — — — ") ь. ь ь„. 1(п(спбп 2. Пусть х = и-1 = 2, а = (Р, се, В), ы = Рс1рссс(»+сбс1»Мх+Вс(хссс1р Тогда дР дс.) дВ сЫ = — дх 11 с1р 1с с1» + — с1р с'с с1» сс сСх + — дг с5 с(х 11 с(р = дх др д» и дР дЯ дВ'1 — — + — + — ~ с1х А сСр сс сС» = (с))ч а) ах Л с1р 11 Ыг.
дх др дг,~ Л е м м а 1. Пусть заданы ы1 — дифференциальная йс-форма,... ы„ — дифференциааьная п,-форма. Тогда имеет место равенство с((ы) = с((ы1Л ..Лсп,) = "1 ( — 1)ь'е '+ь ы, Л .АсЫ, Л .. ы,. еп1 554 Д о к а в а м е л ь с м в о. Очевидно, можно ограничиться рассмотрением базисных днфференциальных форм вцпа м~ = Р1(х) Их»11) Л . Л дх„рп) = Р1(х)ы1 о,..., м~ Р»(х) ах (1) Л .. Л ах (ь,) = г»(х)(о,. о, где п,т — некоторые подстановки я чисел. По определению имеем И(ы) = И(г1(х)... г',(х)) Л ыяо Л Л ыео = » (Р1(х)...НР,(х)...Р„(х)) Лм1 о Л Лы о = (-1)"'+"'+ь'м) Л Л Им, Л...м„.
а»1 Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. Справедливо равенство азы = О. Д о к а з а ьз е л ь с ш в о. Действительно, имеем ,1г,о д(Ь„,) )и, Л дх, Л дх, Л (х„„= д~Р,, (х) 1<т1« "~»»«» э=1»»1 т'..< ~у (~'~' .Ф) Рр „, .о)) дх,дх„ дх,дх, 1«. < ~й»1йа<г< хах~ Л ах, Л ах»„Л . Л ах,», = О. Здесь мы воспользовзлись теоремой Шварца о равенстве вторых смешанных производных прн условии их непрерывности.
Лемма 2 доказана. Т е о р е м а. Пусть ф: Р» -е Ж» — дважды непрерывно дифференцируемое отображение н м — гладкая дифференциальная форма. Тогда справедливо равенство )о'(сЬ) = Н(р*ы). ,1) о к а з а т е л ь с т в о, Очевидно, достаточно доказать утвержденяе теоремы только для дифференциальной формы ы = Р(х) Ыхт, Л .. Л Нхт„. так как первое и четвертое равенства следуют из определения поверхностного интеграла второго рода, а третье — из справедливости соотношения у'(йи) = И(~р'м). Согласно определению Й вЂ” 1-формы в я-мерном пространстве и операции дифференцирования имеем 1<т~«-<юа-~б/с Яуу"ы) = ~ ..~ "" " ' ' ' а,да~,л .
лй 1<~э,с "<юд ~<а где 1 < в < Й, в ф ты..., шь Из этого представления в силу Линейности интеграла следует, что достаточно доказать равенство Г= (П,...,$ь ~): эл Обозначим через Р проекцию множества А на гиперплоскость 1ь = О. В силу выпуклости множества А его можно представить в виде А = ((Е,1ь): Г Е Р, ~~ (1) < 1а < ~т(()), где ~~(1д,...,гь ~),~з(Фы...,1ь ~) — некоторые функции, определенные на множестве Р. Границу множества Р можно разбить на трн множества: П~ —— ((1,1ь):1 Е Р, Ц = Л(П,...,1ь ~)), Пз —— ((1,1ь): ГЕ Р, Гь —— Щы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
