Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Например, предел суммы равен сумме пределов, имеет место единственность предела. В частности, отсюда для сходящегося двойного ряда вытекает иеобходимыЯ признак сходимости. Утверждение 1 (иеобходимыЯ признак сходимости двоЯного ряда). Если ряд ~ а„,и сходится, то ат„-+ О при т -+ со,п-+ со, Д о к а э а т е л ь с т в о.

Имеем а „= А „— А — А 1»+Ат,„п Так как по условию А» — ьА, то 1пп ат,„= А — А — А + А = О, тчн пчоа что и требовалось доказать. Исходя из общей формулировки критерия Коши для существования предела функции по базе множеств, можно сформулировать критерий Коши для двойных рядов. Т е о р е м а 1 (хритериЯ Коши). Для того чтобы двойной ряд а „сходился, необходимо н достаточно, чтобы для любого е > О существовалн числа те(е) н пе(е) такие, что при всех т1,'тг > те(е) и пы пг > пе(е) справедливо неравенство 1Ат,,», — Ат,,и,( < е В важном случае двойных рядов с неотрицательным общим членом р, и > 0 справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 2. Для сходнмости двойного ряда 'С',Сир с условием рт,и > О необходимо н достаточно, чтобы его частичные суммы Р,и были бы ограничены в совокупности, т.е, чтобы существовало число С > О, для которого Р и < С при всех натуральных т и и. Д о к а э а т е л ь с т в о. Достагаочнасть. Заметим сначала, что если тг < гпг п1 < пг, то Рт„, < Рт„и, Далее из ограниченности частичных сумм Р,„и следует, что существует число М такое, что 382 М = впР Р,„п.

Тогда НРи любом е > О число М вЂ” е Уже не ЯвлЯетсЯ и!,и верхней гранью для (Р и), поэтому найдутся !пе(е) и пэ(е) такие, что М вЂ” в < Р, „, < М. Но в этом случае при всех та > и!э и о > пэ имеем Д о к а з а о! е л ь с о! в о. Положим ~а...4 - а.„п т1»,» = 2 1агп,»! + ап1,» Рпи,» = 2 Тогда имеем !аю,»~ — Р,»+ от» и Р»!,» !!юп,» ат,»= 1 Рюп,п >О Дю,» >О Поскольку ряд 2„~ „~а,„~ сходится, найдется число С > О с условием п1 и А „= ~~! ~~! ~аь!~ < С ь»! 1=! при всех тп и н.

Но для частичных сумм Р и и Я „справедливы неравенства Р„,,п < А»,»,Я„,» < А,„п, поэтому по теореме 2 ряды ~, ~ Рт,п и ~', ~,д»,» сходЯтсЯ. Следовательно, РЯд 2'2'а„, „, Равный их разности, тоже сходится. Теорема 3 доказана. Бесконечная сумма вида 2, ') а „позволяет рассматривать н т»! и=! иную важную конструкцию исйользования предельного перехода, которая приводит к понятию повторного ряда. Определение 6.

Пусть (а,„,п) — двойная последояатеяьяость. Зафиксируем параметр и! я рассмотрим формальный ряд 2 а и»! Обозначим его символом 6 . Тогда формальная бесконечная сумма М вЂ” е < Рп„по < ~т,п < М, откуда ~!Р „ -М~ < е. Это значит, что Р -+ М при тп -! со,п -+ оо, т.е. !„~ „р!и„= М.

Необяодимосьзь. Заметим, что ограниченность последовательности Р и в случае ее сходимости есть следствие соответствующего общего свойства функции, имеющей предел по базе. Теорема 2 доказана. Определение 5. Двойной ряд 2 2 и а,„,п называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ), ) „~а „~, составленный яз модулей его членов. Т е о р е м а 3. Двойной абсолютно сходящийся ряд 2 2,а„, „ сходится. называется повторным рядом. Очевидно, с одной и той же двойной последовательностью а,„п можно связать еще один двойной ряд, а именно, гдето,= ~' аы».

гп=! Заметим, что если здесь опустить скобки, то, вообще говоря, выражение ~, ~ а „можно рассматривать и как двойной ряд, и т»1 »=1 как повторный ряд, и это может приводить к недоразумениям. Там, где эти недоразумения возможны, необходимо ставить скобки или специально оговаривать точный смысл выражения. Введем понятие сходимости повторного ряда и рассмотрим связи между сходимостью двойного и повторного рядов.

Определение 7. Если при любом т ряд ~ а и сходится к т»! сумме 6 и ряд ~; 6 тоже сходится к некоторому числу А, то тп! повторный ряд ~ ( ~ а „называют сходяшимся к сумме А и п1=1 !,»»1 записывают в виде ат,п =А Определение 8. Пусть (т(6), п(6)) — некоторая линейная нумерация совокупности всех пар (гп, и). Тогда обычный числовой ряд ~ ', 4„ »=1 где о» = а (»! „!»р называется линейной перестановкой двойного ряцв ~, '~', о,п,», отвечающей данной нумерации его членов.

аппп! »»1 Т е о р е м а 4. Пусть а „) 0 для всех пар (т, и) и пусть ряд ~,!!» — некоторая его линейная перестановка. Тогда если сходится хотя бы один из трех рядов Огп,» ~ Х~~ ~~~ Вп1,п И Х~~ 11» ~ ~пп! »=1 п1=1 1~»»1 / »=1 то два других тоже сходятся к той же сумме. Д о к а з а т е л ь с т е о. Обозначим через А,В и П сумму каждого из рассматриваемых рядов. Требуется доказать,' что если зва существует хотя бы одно из этих трех чисел, то существуют н два других и все они равны между собой. Для этого достаточно доказать три утверждения: 1) если существует сумма А, то существует сумма В и В < А; 2) если существует суммй В, то существует сумма Р н Р < В; 3) если. существует сумма Р, то существует сумма А и А < Р, Рассмотрим их по порядку.

1) Существование числа А означает сходимость частичных сумм А„,„ряда ~ ~ а„,„к его сумме А при и! -+ оо,п -» оо. Ранее »и=! «=1 было доказано, что в этом случае А = вирА„,,„, откуда А„,„< А »и,» при всех натуральных пп,п. Очевидно, что при этом справедливы неравенства » »и « Ь,«(п) = ~~~ ат,! < ~~~, ~' а»,! = Ат,«< А. !=! /и=! ь»! Следовательно, при любом ип существуют числа Ь„, = вор Ь,„(п) = ~ Ь,»(Ь). »=! Далее, так как »и »и « Ь»(п) = ~~п ~~ а» ! = А„,„< А, »=! »=! !=! то, устремляя и -э оо, при любом т имеем А>~ Ь»=В,„.

»=! Но В не убывает, поэтому при пп -+ со последовательность В сходится к некоторому числу В, причем В < А. 'Утверждение 1 доказано. 2) Пусть В существует. Тогда для любой частичной суммы Р» = » пй» найдется пара чисел (ппо,по) с условием, что т(г) < то и и=! п(г) < по при всех г < Ь.

Но тогда все слагаемые п(„одновременно будут входить и в суммы А, „„причем п»и »пи «и А,„, „, = ~~ ~~~ а»,! < ~~п ~а» ! = ~ Ь» = В,„, < В. »«! !=! »=! !«! !3 В»пипи пп питию««ппип! »пап« Другими словами, все частичные суммы Р» ограничены сверху числом В и поэтому при некотором Р имеем Р» -+ Р < В при й -+ со. Утверждение 2 доказано. 3) Пусть существует Р. Тогда для любого А „можно найти »о номер /се такой, что сумма Р», = ~„4, содержит все слагаемые а» и »юг входящие в сумму А „. Но тогда при всех пг,п имеем А „< < Р», < Р, Следовательно, существует А = зирА „н А < Р, что и требовалось доказать.

Теорема 4 доказана полностью. Т е о р е м а б. Утверждение теоремы 4 останется в силе, если условие а„,„> О опустить, а сходвмость рядов рассматривать как абсолютную. уг о к а з а т е л ь с т е о. Числа а,„„представим в виде а~ил = Рип,п 4е1л где !атл~ + аул О )а~э,») апь,п > О Рпл = Ьп,з— Далее достаточно применить теорему 4 к рядам с общими членами р „и д „и рассмотреть их разность. Теорема 5 доказана.

Т е о р е м а 6. Любая перестановка членов двойного абсолютно сходящегося ряда не нарушает его сходимости и не изменяет его суммы. Д о и а з а ш е л ь с т в о. Пусть ~ ~,Ь„,„— перестановка двойного абсолютно сходящегося ряда ~„~ а,„„= А, Рассмотрим соответствующие рядам ~ 2 а „~,'2 5 „однократные ряды ~ 4» »=1 и ~ б» из теоремы 4. Тогда ряд 2„а» = А абсолютно сходится, »=1 а ряд ~ И» является некоторой .его перестановкой.

Но тогда он тоже абсолютно сходится, а вместе с ннм абсолютно сходится и ряд Е Еб,ь, причем т,ь — х~ ໠— ~ ໠— ~~~ 5 Теорема 6 доказана. Т е о р е м а 7. В повторном абсолютно сходящемся ряде вида Я,„а „) можно менять порядок суммирования. Лря этом ряд остается абсолютно сходящимся и его сумма не изменяется. ~7 о к а з а т е л ь с ш е о. В силу теоремы 5 двойной ряд ~ ~ а „также абсолютно сходится, а вместе с ним по той же теореме абсолютно сходится и ряд ~ ~~;а „, причем суммы всех а ~м трех рядов совяадают. Теорема 7 доказана. В заключеняе подчеркнем, что вообще свойство сохранять сумму при изменении порядка суммирования будет в дальнейшем представлять особый интерес.

Теорема 7 дает первый пример возможности язменения последовательности выполнения предельных переходов. Лекция 8 1 1. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА Понятия функциональной последовательности и функционального ряда связаны между собой так же тесно, как и в обычном числовом случае. С этими понятиями мы, по существу, ранее уже встречались. Примерами могут служить бесконечная геометрическая прогрессия а" = — при и Д 1 — а п=1 (й~ (1 или дзета-функция Римана Оп 1",(э) =. ~~~ — при э > 1. п=1 Если в первом случае зафиксировать а, а во втором э, то мы получим обычные числовые ряды.

Но эти же параметры можно рассматривать как аргументы числовых функций, и тогда суммы рядов тоже будут представлять собой некоторые числовые функции. Подобные соображения приводят нас к следующим определениям. Определение 1. Функциональной последовательностью называется занумерованное множество функций (1„(х)), имеющих одну н ту же область определения Р С й. При этом множество Р называется областью определения функциональной последовательности (~„(х)). Здесь термин "занумероватьп означает "поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом Н".

Определение 2. Пусть (ап(х)) — некоторая функциональная последовательность (ф, и.), определенная на множестве Р. Формальная бесконечная сумма вида а1(Х) + аг(Х) + аэ(Х) + = ~~~ ап(Х), нлв просто ~ ап(х), называется функциональным рядом, опреде- ленным на Р. ФиксиРУЯ какое-либо значение х = хе б Р, полУчаем обычный числовой ряд ~,ап(ха). Как и в числовом случае, определим понятие частичной суммы функционального ряда. Глава ХУ1 ФУНКЦИОНАЛЬНЬЖ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Определение 3.

При всех о б г1 функция А„(х) = а!(х) + ат(х) + в + а„(х) = ~, аь(х) называется (и-й) частичной суммой фулкциь=! онального ряда ~ а„(*) и а„(х) — его общим членом. В дальнейшем пусть Р обозначает область определения функционального ряда ~',а„(х), т.е. последовательности (А„(х)). Определение 4.

Если лри фиксированном х = хэ б Р сходится числовой рлд ~ а„(хэ), то говорят, что функциональный ряд ~ а„(х) сходится в точке х = хэ, Определение 5. Множество Ро С Р, состояшее из тех точек хэ, в которых рлд ~" а„(х) (или последовательность А„(х)) сходится, называется областью сходимостн этого ряда (или этой последовательностии) . Замечание. Область сходимости функционального ряда обычно бывает чже, чем область ее определения. Пример — бесконечная геометрическая прогрессия -х- = ~ !!". э=1 Определенне 6. Пусть Рэ — область сходимости функциональной последовательности (А„(х)) и пусть А(х) есть предельное значение этой последовательности прл фиксированном значении х б Рэ.

Тогда множество лар (х, А(х)) лри всех х б Рэ задает некоторую функцвю у = А(х), определенную ла всем множестве Рэ. Эта функция называется предельной функцией функциональной последовательности (А„(х)). Если лрл этом А„(х) — лоследовательлость частичных сумм ряда ~; аа(х), то функция А(х) называется суммой этого ряда. Итак, сумма функционального ряда — это некоторая функция, определенная на его области сходлмостл. При х б Рэ остаток ряда г„(х)тоже представляет собой некоторую фулкцню от х, г„(х) = А(х) — А„(х), причем г„(х) -+ О при и — > оо и лри любом х б Рэ. Многие свойства суммы А(х) такие, например, как непрерывность суммы ряда ~ а„(х), связаны с поведением его остатка г„(х) при и -э оо. Для описания этого поведения далее будет введено важное понятие равномерной сходимостн функциональных рядов н функциональных последовательностей на множестве.

Характеристики

Список файлов лекций