Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ряд ~ а„, а„> О сходится, если существует а > О и номер пе такие, что нри всех и > пе выполнены неравенства а„+1 1 1+а — < 1 — — — —. а„п п1пп 2. Данный ряд расходится, если пря всех достаточно больших п имеет место неравенство а»+1 1 1 — > 1 — — — —. а„п п!пп Доказательсщео.1.
Вкачествес„в признаке Куммера положим с„= (и — 1) 1п(п — 1). Тогда условие сходимости в нем запишется так: (п — 1) 1п(п — 1) — п!пп — > а, а»+1 а» т.е. а„+1 1 (и — 1) !и (1 — 1/и) — <1 + а» п1пп и!пп Далее, поскольку (и — 1) !»(1 — 1/и) = !п(1 — 1/и)" ' > — 1, неравенство (~) вытекает из следующего неравенства: а„~~ 1 1+ о 1 (и — 1) 1» (1 — 1/и) а а„п »1пп и ' »1пп »1п» т.е, выполнение условия сходимости в признаке Бертрана обеспечивает справедливость условия сходимости в признаке Куммера. Таким образом, признак Бертрана для сходимости ряда доказан.
2. Положим в признаке Куммера с„= (» — 2) !п(п — 1). Тогда расходимость ряда 2 а„будет иметь место, если выполнено неравенство (и — 1) 1п» вЂ” "+' — (п — 2) !п(п — 1) > О. а„ Достаточно показать, что оно является следствием условия расходи- мости в признаке Бертрана вида а»+1 1 1 — >1 — — —— а„п и!и и 363 т.е. доказать при всех п, больших некоторого по, следующее неравенство: 1 и — 2 !п(и — 1) > п!пп и — 1 !пи — >1 аи+! 1 а„и Опо, в свою очередь, вытекает из следующей цепочки неравенств (и >3); 1и (1 — 1/и) < — 1/п, 1 1 / 1п(1 — 1/п) Л и — 2 !п(и — 1) > 1 — — )11+ .— )~ !пи ) и — 1 !пи Таким образом, признак Бертрана полностью доказан. Простым следствием признаков Даламбера, Раабе и Бертрана является признак Гаусса.
а„ вЂ” = Л+ — +0(п 1 '), а„~1 и то: 1) ряд 2',а„сходятся пря Л > 1 и расходится пря Л < 1; 2) если Л = 1, то ряд сходится пря р > 1 я расходится пря р < 1. Я о к а о а 1и е л ь с т в о. 1) Имеем Р„= а„ь1/а„-о 1/Л при и — ~ сю, поэтому по теореме 5 12 ряд 2,а„сходится при Л > 1 и расходится при Л < 1, что и утверждалось в п; 1). 2) Если Л = 1 и и ~ 1, то В„= п(а„/а„~1 — 1) -+ р Поэтому согласно замечанию к теореме 2 ряд сходится при р > 1 и расходится при р<1, Если же Л=р=1, то при некотором ео >О и и-~сю имеет место предельное соотношение — =1 — — +0(п ' ").
а„и Но поскольку 1пи = о(п"), при всех достаточно больших и выполнено неравенство — =1 — — +0(и *') >! — —— а„ь1 1 1 а„и и и!пи Таким 'образом, при Л = р = 1 ряд 2 а„расходится по признаку Бертрана. Теорема 4 доказана полпостью. зво Т е о р е м а 4 (призпак Гаусса). Если а„> О для всех натуральных и, е > Π— яекоторая постоянная и Комбинируя полученные выше результаты и снова привлекая, по существу, те же соображения, что и выше, можно получать все более и более тонкие и сложные признаки сходимости. Однако на практике реально используется один гораздо более простой и более сильный признак сходимости рядов, а именно, интегральный признак Коши— Маклорена, к доказательству которого мы переходим. Т е о р е м а 5 (интегральный признак Коши — Маклорена), Пусть функция у(а) определена на промежутке [1, +ос) н У(т) убывает на нем.
Тогда: Ц если О < р„< г'(н) прн всех и > не и несобственный интеграл ) 1(а)г1х сходится, то ряд 2, р„тоже сходится; 1 2) если р„> У(п) > О прн всех н > пе н несобственный интеграл ) у(а)<Ь расходится, то расходится и рад 2 р„, 1 Д о к а з а ш е л ь с гн е о. Как и выше, без ограничения общности будем считать, что не — — 1. Далее, поскольку у(х) монотонно убывает, при всяком натуральном к и к < а < и+ 1 имеем 1(~) > Л ) > Пй+ 1) Интегрируя это неравенство по указанному промежутку, получим ~Я= / ~Яйх> ~~(х)йх> ~Их=~(~а+1).
При всяком н > 2 просуммируем эти неравенства по а от 1 до и — 1. Получим Далее каждый из двух случаев будем рассматривать отдельно. 1. В этом случае интеграл ! = ) у(х)й: сходится, поэтому при всех 1 и > 2 для частичных сумм а„ряда ~ у(н) имеет место единообразная оценка вида а„< 1+У(1), и поскольку у(п) > О для всех натуральных я, ряд 2,'у(и) сходятся, а вместе с ним сходится и мажорируемый им ряд ~ р„, что и требовалось доказать.
2, Поскольку в этом случае интеграл ) у(в)~Ь расходится, 1 а 1 у(к)ех -+ +со при и -+ оо. Но так как 1 э э„> э„~ > у(х)с1я, 1 то и з„— ~ +ос при и -+ оо. А это означает, что ряд ~" у(п) расходится вместе с рядом ~ р„, для которого первый ряд по условию является минорантой. Теорема 5 доказана полностью. Замечаипе. Очевидно, что в условяи теоремы 5 интеграл ) у(х) Из 1 можно заменить интегралом ) у(я) ~Ь, где а > 1 — произвольное а 5 ряд ~ и ' тоже сходится, что и т1)ебоэ < 1, то интеграл ) з *Ив расходится, а 1 ряд ~ 1/п'. Следовательно, по теореме велось доказать.
Если же вместе с ним расходится и Замечание. Ряд ~ 1~п' при некоторых значениях э впервые игм рассматривал Л. Эйлер. Более того. при з, равном четному натуральному числу, он нашел точные значения для его суммы Дэ) Позднее Б. Риман определил функцию Дэ) для всех значений аргумента э, исключая точку э = 1, причем не только вещественных, но и комплексных. Он детально исследовал свойства этой функции, и поэтому она носят его имя. Дзета-функция Римана играет огромную число. Рассмотрим некоторые следствии, вытекающие из интегралыюго признака. 1. Ранее мы доказали, что при э > 1 ряд ~ 1/и' сходится.
э=1 Его сумма обозначается символом ~(э) и называется "дзета-функцией Римана". Дадим другое доказательство сходимости этого ряда, Действительно, при таких значениях э несобственный интеграл ) з 'Их 1 сходится и легко вычисляется. Имеем роль в теории чисел.
Относительно 11екоторых свойств этой функции Риман высказал ряд гипотез, которые давно уже доказаны. Все, кроме одцой. Она известна как гипотеза Римана о нулях 1,-фУнкцин. На сегодняшний день эта гипотеза вместе с последней теоремой Ферма являются двумя самыми престижнымя математическими проблемами. 2.
Валле Пуссен показал 135), что при з > 1 справедливо равенство причем ряд в правой части сходится при в > О. Действительно, обший член ри последнего ряда можно представить в виде и+1 О<,.= /(-',— ')и< и 3. Опираясь на интегральный ! ° = ИИ1ИЬтП Имеем признак, исследуем сходимость ряда 1х+ 1) 1и 1в+ 1) 1 т.е. несобственный интеграл сходится и потому ряд ~', р„тоже сходится. Следовательно, ряд ~,р„сходится при з > О.
Равенство 1и) при з > 1 получим, раскрывая скобки в правой части его и используя при тех же з равенство Лекция 4 8 4. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ. РЯДЫ ЛЕЙБНИЦА Мы снова возвращаемся к рассмотрению числовых рядов общего вида. Определение 1. Ряд 2, 'а„называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2 )а„~. Ясно, что всякий сходящийся ряд с неотрицательными членами абсолютно сходится.
В то же время легко построить сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. В качестве примера можно привести следующий ряд: 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 Его сумма равна нулю, и в то же время ряд, составленный из модулей его членов, расходится в силу расходимости гармонического ряда. ОпРеделение 2.
СходЯщийсЯ РЯд 2 аи ЯазываетсЯ Условно сходащимси, если РЯд 2,' ~аи ~ РасходитсЯ. Согласно этому определению, рассмотренный выше ряд является условно сходящимся. Заметим, что про абсолютно (или условно) сходящийся ряд говорят еще, что ряд сходится абсолютно (или условно). Целесообразность введенных понятий подкрепляется следующей теоремой.
Т е о р е м а 1. Если ряд 2 аи айсолютяо сходится, то он является сходящимся. Д о к а з а та е о ь с т е о. По критерию Коши из сходимости ряда 2 (аи~ следует, что при любом 6 > О найдется номер ио(6) такой, что при всех р > 1 и и > и (6) имеем и+р )а ! < 6, и!=и+1 откуда и+р и 1-р а < ~ ~~а ( < 6. тии+! !иии+! Но это означает выполнение критерия Коши. Теорема 1 доказана.
368 Определение 3. Числовой ряд 2 а» называется знакочередуюп|имся, если все его соседние члены имеют разные знаки. Определение 4, Зиакочередующийся ряд вида 2 'а„называется рядом Лейбннпн, если модуль его общего члена ~а„~ монотонно стремится к нулю. Т е о р е м а 2. Всякий ряд Лейбница 2 а» сходится. Д о к а з а т е л ь с т е о. Покажем сначала, что всякий отрезок » Е|| этого ряда мажорируется модулем его первого члена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
