Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть 2 а ~»»»+1 — некоторый отрезок ряда. Мы хотим доказать неравенство вида »+р а|» < (а»е| ~ ° |»=»Е1 Положим 6» = )а»! при всех 6 е 1|1. Тогда (а»+ а»е,~ = )а») — (а»»1) = Ь» — 6»»1 < Ь». Кроме того, при всех й числа (а»+ а»е|) имеют один и тот же знак. Следовательно, при четном р = 2г имеем О < ~а„.»1+ а, +г + + а„+г -1+ а»+г ~ = =(6,— 6)+ . +(܄— 6„)= = Ь| — (Ьг — Ьз) — — (Ьг -г — Ьг,— 1) — Ьгг < Ь| = (а»+1~ . Если же р = 2г+ 1 нечетное, то О < |а»+1+ + а»+г +1~ = (Ь| — Ьг) + + (Ьг, | — Ьг~) + Ьгг+1 = = Ь1 — (Ьг — Ьз) — — (Ьгг — Ьгг-|-1) < Ь1 — !а».»1(, Таким образом, в обоих случаях действительно »+р а|» < |а»+1 ~ 6»+1 т» |»=»+1 Но теперь, так как 6»э.1-+ О, мы при любом наперед заданном е > О и достаточно большом п имеем Т» р < 6»+1 < с, откуда в силу произвольности р, исходя из критерия Коши, заключаем, что ряд 2 а„сходится.
Теорема 2 доказана. 369 Т е о р е м а 3 (оцеыка остатка ряда Лейбница). Для остатка г» ряда Лейбница 2 а» справедлива оценка )г„(< (а»+»(. Д о к а з а гв е л ь с т в о. Согласно теореме 2 ряд 1" а» сходится, поэтому т=»+1 Заметим, что при доказательстве теоремы 2 для любого натурального р нами получена оценка »+р а„< (а„+»). тм»+1 Устремляя р -+ со, получаем требуемое неравенство. Теорема 3 доказана.
б 5. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И ДИРИХЛЕ Признаки Абеля и Дирихле применяются при доказательстве достаточно широкого класса числовых рядов общего вида. Доказательство обоях признаков основано ыа формуле дискретного преобразованвя Абеля, которую мы сейчас докажем. » Теор ем а 1. Пуст»А»= 2', а .
Тогдапря М>(Ч имеют ему+1 место формулы: м-» акЬ» = АмЬм+ ~~~, Ак(Ỡ— бк+») ' »=и+1 м М а»6» = Амбм+1+ ~б А» (6» — 6»+1) . (2) »мы+1 »=И+1 Л о и а з а га е л ь с гп в о. Заметим прежде всего, что правые части формул равны между собой, так как, вычитая правую часть формулы (2) из правой часты формулы (1), получаем АмЬм — Амбм+1 — Ам (бм — бм+1) = О. Следовательно, достаточно доказать только формулу (1). Преобразуя ее правую часть, имеем м-1 АмЬм + ~ А» (Ьк — бк+1) = Амбм+ ~~, А»бк — ~ Акб»+1— м М М А»6» — ~~', А!6! = Ан +16в р! + ~' (Ак — Ак 1) Ьк = к = и+г !«и+г к=и+! М М = аь +16н»1 + ~~! а»6» = ~~! а»Ьк.
й«Ф+г К«Н +1 Тем самым теорема 1 доказана. Признакк Абеля и Дирихле применяются к рядам вида ~ а«6«. Т е о р е м а 2. Справедливы следующие утверждения. (А) (признак Абеля), Если последовательность Ь„монотонна и ограничена, а ряд ~',а„сходится, то ряд ~ а„6«также сходится. (Д) (признак Дирихле). Если последовательность Ь„монотонна и 6« -+ О при и -+ оо, а последовательность й«частичных 'сумм ряда ~ а„ограничена, то ряд ~ а«6«сходится. Д о к а з а т е л ь с и! в о. Ограничимся рассмотрением случая, когда 6«> О и Ь„убывает. Все прочие случаи легко сводятся к данному следуюшим образом.
Если 6«< О, то надо изменить знаки у всех а«и 6«. Если же 6„1, то Ь„надо представить в виде 6« = Ьо — 4„, где Ье = !пп 6«, и свести теорему к исследованию ряда «-! сю а„Ы„. Здесь уже имеем !Ь„ Доказательство теоремы проведем, применяя критерий Коши к ряду ~ а„Ь«, Для этого применим формулу (1) преобразования Абеля к отрезку этого ряда Т«р. Используя обозначение Ак = з» вЂ” р«и учитывая, что 6» — Ьй+! > О, получим «+р-1 «+р !Т„р! = ~~! а»61, — — А«+рЬ«+р+ ~~! А» (6» — Ьй+!) < К=«+1 й=«+1 «+р-! < (А«.рр! Ь«!р + и!ах !Ак! ~~! (Ьк — 6»й1) < «<й<«+р К««+1 < в!ах !Ак ! 6«+1.
«<к<«+р Рассмотрим теперь случай (А). Поскольку 6« ограничена, прн некотором с > О для всех и имеем )6«+!! < с, Далее, так как ряд а« сходится, то для любого е > О найдется номер пе(е) такой, что при всех и > но(е) и й > и имеем (Ак! = ~ а,„= (йй — з«! < !йк)+ !з ! < е.
«!««+1 зт! Тогда при указанных в и любом р для величины Т„р справедлива оценка «+р Д,ц р! = ~ ю/,Ь/,. < се. йые+! Но так как Е произвольно, а с фиксировано, то последнее неравенство означает, что ряд 2 а„б„удовлетворяет критерию Коши и поэтому сходится. Тем самым признак Абеля доказан. В случае (Д) ограничены частные суммы Аь ряда 2',а„, и поэтому существует с, для которого )Аь) < с при всех к. Кроме того, б„-+ О. Следовательно, при произвольном е > О, достаточно большом и > пе (е) и произвольном р > 1 имеем опенку э+р Дп,р) = ~' овей < се. йые+! Отсюда, как и в случае А, заключаем, что по критерию Коши ряд ~',а„6„сходится. Теорема 2 доказана полностью.
Лекпяя 5 1 6. ПЕРЕСТАНОВКИ ЧЛЕНОВ РЯДА Определеняе 1. Пусть а: 1Ч -+ И вЂ” взаимно однозначное отображение натурального ряда ва самого себя. Тогда ряд ~',6„, где 6« = а„!«р называется перестановкой ряда ~',ап. Т е о р е м а 1. Любая перестановка ~', 6« абсолютно сходящегося ряда ~ ап = А абсолютно сходится к той же сумме А. Локазательство. Положим А = ~ ап, Ап = ) а», Вп = ~~! 61„А' = ) (а»(,А'„= ~~! (а»!. п=1 »и! Зафиксируем некоторое е > О, Пусть и! настолько велико, что А' — А'„, < с. Тогда при любом и > п! для остатка гп = А — Ап ряда ап имеем оценку )г„(= ~~! а1,.
< " (а»! = А' — А„', < е. »=«1+1 »=«+1 Пусть теперь пт таково, что среди чисел а (1),...,о (пт) содержатся все целые числа отрезка (1,п1]. Положим та = щах(в(1), ...,а (и!)). Тогда при всех и > пт имеем п « п~ «! Ф Вп = ~~~ 6» = ~~! а„1»1 = ~~! а»+ ~~~ а». »«1»=п1+1 Штрих в последней сумме означает, что некоторые слагаемые в ней опущены. Для втой суммы, очевидно, имеют место оценки („— Ап, ( = ~~! а» < у у(а»( = А' — А'„< А' — А'„< е »=«,+! »=«,+! Отсюда следует, что при всех а > о! (А — В„( < (А — А, 1+ ( — А, ! < (А — Ап,') + (А' — А„) < 2с.
В силу произвольности выбора с > О зто означает, что „— » А при и — » со, т.е. ряд ~„6„сходится и ~ 6« = ~„а„. Отсюда, в частности, зтз следует, что н ряд ~ (6„~ сходится к сумме А', т.е, ряд ~',6„сходится абсолютно. Теорема 1 доказана полностью. Основное отличие в свойствах абсолютно и условно сходящихся рядов обнаруживается при перестановке их членов. Как показывает теорема 1, бесконечная сумма абсолютно сходящегося ряда в этом случае ведет себя точно так же, как и конечная сумма, т.е.
при перестановке слагаемых сумма не изменяется. Гораздо более сложная ситуация имеет место для условно сходящегося ряда. Тем не менее, она достаточно полно описывается следующей теоремой, Т е о р е м а 2 (теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда), Каково бы ии было вещественное число А, найдется сходящаяся перестановка ~ Ь„условно сходящегося ряда ~,а„ такая, что ~" 6„= А. Д о к а з а щ е л ь с и! е о.
Для простоты будем считать, что а„ф О при всех и. Сначала в ряде ~ а„выделяем все положительные слагаемые рь и отрицательные слагаемые — йь нумеруя их индексами й и 1 в порядке следования в ряде ~ 'а„. Затем составляем перестановку 6„ряда ~ а„: в качестве 6! берем р!, если А > О, и — дг, если А (О.
Подчеркнем, что все рь и д! положительны. п Далее мы добавляем в общую сумму ~', Ь очередные слагаемые е!=1 цо следующему правилу: если сумма не превышает А, то добавляем очередное положительное слагаемое 6„+! —— рь„а если она превосходит А, то добавляем очередное отрицательное слагаемое Ь„+! = — д!,. В результате этого сумма все время колеблется вокруг значения А, причем размах колебаний постепенно убывает до нуля, и в пределе для суммы ряда ~ 'Ь„мы получаем требуемое значение А. Для того чтобы доказательство теоремы было полным, достаточно в приведенной схеме обосновать только некоторые ее моменты. Докажем, что оба ряда ~ 'рь и ~ ( — д!) расходятся.
Действительно, если бы оба они сходились, то исходный ряд ~;а„сходился бы абсолютно, а если бы один ряд расходился, а другой сходился, то частичная сумма ряда ~" а„, составленная из двух частичных сумм рядов ~,рь и ~,д! соответственно, тоже расходилась, что неверно. Далее заметим, что поскольку (рь) и ( — д!) являются подпоследовательностями для (а„), рь -+ О при Ь -4 со и — и! -+ О при 1 -+ со. Для определенности будем считать, что А > О. Тогда по построению ряд Ь„ имеет такую структуру: +Рь)+! + '''+ Раз %1+! ' ' ' Вр+' ' 374 Здесь числа Р„Рж...,Ямою обозначают суммы подряд идущих слагаемых одного знака в ряде 2„6„.
Количество групп слагаемых одинакового знака в атой сумме бесконечно, так как в противном случае ряд 2 6„отличался бы от 2 рь или от ~( — д~) лишь конечным числом членов, и тогда он расходился бы к +ос или к -оо соответственно. Но это не имеет места, так как по построению величина частичной суммы з„ряда на каждом шаге изменяется в направлении приближения к числу А, если только в„ф А. В силу этого, в сумму 2 Ь„войдут все числа рь и -дь а следовательно, и все а„, т.е. 2 6„— действительно перестановка ряда 2',а„. Теперь оценим разность г„= з„— А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
