Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 55
Текст из файла (страница 55)
343 Таким образом, все векторы а +ы...,оа перпендикулярны каждому из векторов Р,Фы ..Ф „при этом, очевидно, векторы Фы ..Ф,„в силу невырожденности многообразия П~ будут линейно независимы. Теорема доказана. з 12. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. МАТРИЦА ЯКОБИ Покажем, что матрица Якоби отображения у: К" -+ 2'з обладает некоторым важным свойством, аналогичным свойству производной функции.
Определение 1. Пусть отображение о: Рг" -+ И определено в некоторой окрестности точка й = О. Тогда будем говорить, что о(х) есть о-малое от длины вектора х, н обозначать это так: а(й) = о(!х)), 1(Ьх) + о()Ьх)). Обозначение: 1(Ьх) = ф(х)(я а 1 ая, Если существует дифференциал отображения в точке, то оно называется дифференпнруемым в этой точке. Дифференциал отображения можно определить следующим равенством: 1пц )АУ(й)-(у(йН 0 аг-~о )Ьх) Утверждение 1. Если дифференциал отображения существует, то он определен однозначно.
Д о х а з а т е л ь с т в о, Пусть 1~ (Ьх) и 1з(Ьх) — дифференциалы отображения у(х) в точке х = а. Положим 1(Ьх) = 1~(Ьх) — 1т(Ьх). Из неравенства треугольника имеем )1(Ьх)) ( )А~(х) — 1~(Ьх)) ь )ЬД(х) — 1з(Ьх)). В силу определения дифференциала отображения отсюда получим 1пп . =0. )1(А )! ае-+о" )Ьх) 344 Определение 2. Линейное зывается дифференциалом если А((х) = ; ) (й)) = О. х-~О (х) отображение 1(Ьх) из зг" в м' наотображения г(х) в точке й = а, Далее, поскольку отображение Цсах) — линейно, для любого прира- щения Ьх будем иметь )!(Ьх) / !1(1Ьх) / !Ьх/ ~.
о )1Ьх) Таким образом, отображение ЦЬх) переводит все линейное пространство в нулевой вектор. Следовательно, отображение 1(Ьх) — — нулевое, что и требовалось доказать. 'Утверждение 2. Пусть у(х) — дифференцируемое отображение. Тогда имеет место равенство Ь|(х) = ду(а) с1х+ о($Ьх$), где выражение ду(а) . тли понимается как умножение матрицы Якоби ,1у(а) на вектор сах. Д о к а з а т е л ь с гв и о очевидно. Приведем еще несколько свойств дифференциала отображения, которые непосредственно выводятся из его определения. 1е.
Дифференциал ф(х) отображения у(х) существует тогда и только тогда, когда существуют все дифференциалы' а)к(х) функций да(х), у(х) = ®(х),..., у;„(х) ) 2е, Если отображение у = д(х) дифференцнруемо в точке а, а отображение у(у) дифференцируемо в точке 6 = д(а), и образ некоторой окрестности точки а при отображении д содержится в некоторой окрестности точки 6, то отображение Ь(х) = у(д(х)) дифференцируемо и дь(х) = /у(д(х)) дя(х). Зе. Отображение у: К" -+ К , которое является гладким в некотором шаре 0(а,с), а б 66", с > О, заведомо будет дифференцируеь1ым во всем шаре 0(а,е). "ЧАСТЬ 1П ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.
В последнее время в преподавании университетского курса математики наметился отход от излишней абстрактности изложения в сторону его содержательности. До известной степени это переклвкается с представлениями математиков прошлого. Прекрасным примером сочетания четкости изложения с конкретностью и идейной ясностью является учебник Ш.Ж. ла Валле-Пуссена "Курс анализа бесконечно малых" (Л.; М., 1933), который во многом служил для нас образцом. Эта часть книги охватывает материал, излагаемый в третьем семестре, в рамках курса математического анализа на мехаиикоматематическом факультете МГУ.
Как мы отмечалн в предисловии к первой части, замысел этого учебника предполагает соединение краткости изложения, свойственной конспекту лекций, с доступностью и полнотой учебника. С другой стороны, наша концепция курса включает в себя выделение роли понятия предельного перехода во всевозможных его проявлениях как фундаментальный принцип изложения предмета.
Следует также отметить, что материал третьего семестра несет в себе наиболее существенные элементы всего курса математического анализа, связанные с одновременным рассмотрением и перестановкой порядка выполнения нескольких предельных переходов в сочетании с понятием двойного предела. Здесь мы рассматриваем такие приложения общей теории, как бесконечные произведения и бесконечные определители, основы теории эйлеровских интегралов, задача Кеплера о движении двух тел и функции Бесселя, формула Лагранжа для обратной функции, обобщающая формулу Тейлора. формула суммирования Пуассона и вычисление точного значения суммы Гаусса.
Другое приложение теории — это изложение асимптотических методов Лапласа и стационарной фазы, являющихся, как известно, вещественной интерпретацией метода перевала в теории функций комплексного переменного. Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что лекции, в которых излагается материал приложений, как правило, превосходят по объему отдельные лекции, содержащие теоретические основы курса. Заметим еще, что выбор приложений обусловлен нашим стремлением привить студентам определенный математический вкус и любовь к предмету. 346 Глава Хгг ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Лекция 1 1 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. КРИТЕРИЙ КОШИ Эта часть курса математического анализа охватывает три большие темы, а именно: 1) числовые и функциональные ряды; 2) интегралы, зависящие от параметра; 3) ряды и интегралы Фурье.
Заметим, что третья тема при формальном подходе должна быть отнесена к двум первым, однако ввиду особой важности и специфических особенностей ее традиционно выделяют в самостоятельный раздел. Изложение материала начинается с числовых рядов. Понятие числового ряда вскользь рассматривалось еще в первом семестре при изложении темы о числовых последовательностях. Теперь остановимся на зтом вопросе более детально.
Напомним основные определения. Определение 1. Пусть (а„) — произвольная числовая последовательность. Числовым рядом нли просто рядом называется формальная бесконечная сумма 5 внда о' = а1+ аг + аз+ Обычно используется следующая сокращенная запись: о' = Са„, или просто 2„а„. Здесь натуральный параметр и в знаке суммы определяет номер члена последовательности. При фиксированном и соответствующий ее член а„называется и-м членом ряда. В то же время символ а„, рассматриваемый как функция своего номера, называется общим членом ряда.
Вместо буквы и можно, разумеется, использовать любую другую букву, обозначающую переменную, принимающую натуральные значения. 347 Рассмотрим теперь новую последовательность еп, задаваемую равенством Еп = а1+ . + ап = ~~~ аы Ьп! Определение 2. Последовательность еп пазыеается последовательностью частичных (нлн частных) сумм ряда ~ а„, а ее и-и член называется и-й частичной суммой этого ряда. Определение 3. Если последовательность еп частичных сумм ряда ап СХОДИТСЯ К ЧИСЛУ Е, т.с, ЕСЛИ !1П! Еп = г, тО РЯД ~ ап ИаЗЫВаЕтСЯ п~ь сходнптнмсн !к е), а число е — его суммой. В этом случае пишут; оп=~~! ее=ай.
п=1 Если жс послсдоватслыпкть (еп) нс имеет предела, то говорят, что ряд ~,'ап расходится. В основном нас будут интересовать сходящиеся ряды. Заметим, что так как еп -+ з при и — э со, то г„-э е — а = О при и -э.оо. Несколько модифицируем введенные определения и обозначения. Если в числовой последовательности ап отбросить несколько начальных членов. например, в количестве и! > О, то оставшиеся члены а +1,а,„+ю, в совокупности можно снова рассматривать как некую новую последовательность Ьп, задаваемую равенством 6п = ам+и. Рассматривая Ьп как общий член ряда ~, 6п, для его частичных пп1 сумм з„получим равенство е„=61+ .
+6„=а е1+ . +а,„+п —— ~п+и — па — е~п+и ап Ь=м+1 и а Ь=! Кроме того, ряд ~ 6п как формальную бесконечную сумму можно п=1 записать в виде ~ь„=ь, +ь,+ = а Е! + О„,+1 + .- = ~~! ап. п=1 348 Определение 4. Если ряд ~ ап сходится к числу гч то последовательность гп = е — еп называется остаточным членом или остатком ряда. Таким образом, бесконечную сумму 2, ап тоже можно рассмап=м.1-1 тривать как ряд. Далее будем рассматривать также формальные ряды вида 5 ап„ эп1 где п, — какая-либо последовательность натуральных чисел, и нс- СЛЕДОВатЬ ИХ На СХОДИМОСЛ1п Утверждение 1. Остаточный член гп ряда ~ аь можно предстаЯп1 вить 'и виде ряда ~ ая в том смысле, что: Ьпп+1 Ц его сумма равна гп, когда исходный ряд ~ ап сходится; п=1 21 это представление понимается как формальное равенство, когда оба ряда расходятся; 3) другие.
случаи ие имеют места. ,У о к а з а п1 е л ь с п1 в о начнем с п.З, При й > 1 для =и СЮ частичных сумм гя ряда ~ ап и за+„ряда ~ ап имеет место ппь+1 в=1 равенство яя — — яь+п — зп. Ясно, что при фиксированном и сходцмость и расходимость последовательностей з„и зячп имеют место одновременно, что и означает справедливость утверждения п. 3. В случае 1, т.е. когда оба ряда сходятся, можно перейти к пределу при и -+ со в равенстве я. = пяпп — зп, Тогда получим я = 1пп яь — — 1пп яя+и — яп = я — ап = гп; и-поп Ь-ппп тем самым утверждение п. 1 доказано.
Относительно утверждения п. 2 следует заметить, что формальное равенство аС = ~~1 ая + ~ ~аЬ = яп + ~ ая.п Кп1 Ь=п+1 можно рассматривать как определение одной из возможных операций над формальными числовыми'рядами. При введении подобных операций необходимо только требовать, чтобы правые и левые части равенств переходили бы в равенство между числами в случае наличия сходимости хотя бы для одной из частей равенства, что действительно имеет место в нашем случае. Доказательство утверждения 1 закончено. 349 ИИй Примеры.
1. Ряд »»а Действительно, имеем сходится, и его сумма равна 1. 1 1 1 » — — + — + + 1 2 2 3 п(п+1) — 1-- + - — — + ° ° + — — — =1 — — -ч 1 при и-э оо, т.е. в = 1пп в„= 1. »-+с» 2. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии вида а+ ай+. + ав" +..., при а ф О. В случае д = 1 имеем в„= па, и ряд расходится. При й ф 1 справедливо равенство в„= а+ ае+ +ав" ' = а(1+3+.
+в" 1) = а(1 — д») а ад» 1-6 1 /1 11 /1 1 1 11 ⻠— в2" — 1 + + ( + ) + ( + + + ) + 2 13 4) (5 6 7 8! 1 2» '+1 2в) 1 1 в, 1 й й > 1+ — +2 ° — + +2~ ' — =1+ — > —. 2 2т 2" 2 2' Отсюда следует, что, каково бы ни было число М > О, всегда найдется номер и = 2в, такой, что в„ > к/2 > М. Для этого достаточно выбрать натуральное число в большым, чем 2М. Другими словами, зко Известно, что в» -+ О при (д) < 1 и (д») расходится при (в( > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
