Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Далее, для любого натурального п найдется целое число Й с условием 2» ' < и < 22. Для таких а я Й определим последовательность 6» = р2». Тогда согласно условию выполнены неравенства 6» — Р2» < Рп < Р2» ' 62» 2-1 »-1 2 р2 < р,»- е, + . + р2» < 2 р2»- . Следовательно, для частичных сумм а2 - и аз» ряда 2" 6„имеем 2» » 2» аз =~~ 6 = ~~! 2 1р2 <~~! р п»а! »»1 »=1 2» = 22» < 2 ~ 6» = ~ 2~р2 — — 2а2»-». »=1 и»=1 Это значит, что а2* является минорантой, а 2а2 - — мажораитой для 22.. Таким образом, ряды 2 рп и 2 2~р2» сходятся и расходятся одновременно, что и утверждалось выше. 366 Идея, заложенная в признаке сравнения, позволяет вывести и некоторые другие полезные утверждения подобного рода.

Следующая теорема относится к их числу. Т е о р е м а 3 (обобщенный признак сравнения). Если в условян теоремы 2 неравенство д„ < Р„ заменить неравенством ~- < ~-'-„ то ее утверждение также будет иметь место. ,У о к о з а т е л ь с т е о. Поскольку отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на его сходимость, с самого начала можно считать, что пе — — 1. Перемножая все неравенства из условия теоремы до номера и включительно, приходим к неравенствам вида Фз Р» Ь~Р~ < Р»И. Ч~ Р~ Применяя теорему 2, мы получаем требуемый результат относительно рядов р~~ „,д» и д~~ „,Р„, а так как умножение всех членов ряда на одно и то же число, отличное от нуля, не влияет на сходимость, то тем самым теорема 3 доказана полностью.

Т е о р е м а 4 (признак Даламбера). Пусть для членов ряда Р„, начиная с некоторого номера пе, выполнены условия: 1) р„>О; 2) О„=Зать<у, где О< 4<1. Тогда ряд ~ Р„сходятся. Если же прн всех и > пд вместо неравенства 2 имеем р»+~~р» > 1, то ряд 2',,р„расходится. ,7 о к а з а гп е л ь с гп в о. Сравним ряд ~ р„со сходящнмси ридом ~ Ь„, где 6„= д". При п > пе имеем Поэтому первое утверждение теоремы 4 вытекает яз теоремы 3.

Во втором случае надо положить 6„= 1 для всех и. Тогда ввиду расходимости ряда 2 ,'6„ и неравенств нз той же теоремы 3 следует расходимость ряда 2',р„. Теорема 4 доказана полностью. Т е о р е м а 5 !признак Даламбера в предельной форме) Рассмотрим ряд 2,р«с условием р«> О для всех п.

Положим д= 1пп —, г= 1пп —. Р»+1 ° Р«+1 «-»с» р»»-+со Р» Тогда при д < 1 ряд )„,р„сходятся, а лрв г > 1 — расходится. Напомним, что 1пп а„= !пг апр а«, !1пт а„= впр !пд а„. »-»с» п4ЕФ ««-кю тЕМ »>пз «>м Д о к а э а п2 е л ь с гп е о. Рассмотрим сначала первый случай. Положим д1 — — ха!-. Тогда д < д1 ( 1. Поскольку !пп кззх = д, при 2 «-1со Г" некотором пе имеем р+, д+1 1 — д епр —" < д, = — =д+ — <1. р«2 2 «>«о Следовательно, ряд 2,р„сходится в силу первого утверждения теоремы 4.

Рассмотрим теперь второй случай. Положим г1 — — сх21. Тогда имеем т > г1 > 1. Поскольку 1пп ~"-т-' = г, при некотором «1 имеем оненку »-»~ю р+1 г+1 г — 1 1п1 — ) г1 — — — = 1+ — ) 1. «р„2 2 »й«~ Тем самым ряд Яр«расходится по второму утверждению теоремы 4. Теорема 5 доказана полностью. Замечание. При д = 1 вопрос о сходимости ряда 2" р„в теоремах 4 и 5 остается открытым. Для примера можно указать на ряды 1/п2 и 2 1/п, один из которых сходится, а второй — расходится, но в обоях случаях имеем д = 1.

Для исследования сходимости подобных рядов требуются более "тонкие" признаки, которые будут рассмотрены позже. Несколько более тонкий признак дает следуюшая теорема. Т е о р е м а 6 !признак Коши). Если для членов ряда 2р„ с условием р„> О, начиная с некоторого номера по, имеет место неравенство р„< д, где число д ( 1 и фяксяроваяо, то ряд ~,'р« 11« сходится. зьв Если же для бесконечно многих п имеем ри > 1, то этот ряд 1/и расходятся. ,7 о к а з а т е л ь с ш в о.

Рассмотрим сначала первый случай. Последовательно имеем ри <»1, ри < д, и так как д < 1, то ряд 1/и и ~ри сходится по признаку сравнения вместе с рядом ~ д". Во втором случае для бесконечного количества значений и имеем р„'»" > 1, ри > 1. Это значит, что 1пп р„~ О н ряд ~ ри расходится, и-»и» поскольку условие необходимого признака сходимости ряда 1р„ -! О при и -э оо) не выполняется. Теорема б доказана.

Т е о р е м а Т 1приэнак Коши в предельной форме). Пусть 1пп р~»" = д, и-»»и где ри > О при всех п. Тогда при д < 1 ряд ~ ри сходятся, а пря д > 1 — расходится. Д о к а з а и» е л ь с »в е о. Положим сначала д! = хз и +1 допустим, что д < 1. Тогда при некотором пе > 1 имеем зпрр <й<1. и и>иа Поэтому по первому случаю признака Коши ряд ~р„сходится. Если же д > 1, то ири всех и! > 1 имеем оценку епр р„'»" > д1 п и>«» Это означает существование бесконечного множества значений и, для 1/и котоРых спРавеДливо неРавенство Ри > д! > 1. Слеловательно, РЯД ~" ри расходится по второму случаю признака Коши. Теорема 7 доказана. Признак Коши, как и признак Даламбера, является довольно грубым.

Он, например, тоже не позволяет решить вопрос о сходимости рядов ~ 1/» и ч„Циз. Однако он тоньше или, как еще говорит, сильнее признака Даламбера, поскольку можно указать ряд, к которому признак Коши применим, а признак Даламбера нет» но не наоборот. Точнее, можно доказать, что если для ряда ~ ри выполнены условия признака Даламбера с некоторыми е и пе, то для него выполнены и условия признака Коши с тем же значением»7 и, возможно, иным значением пе. Лекмия 3 1 3.

ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Т е о р е м а 1 (признак Раабе). 1. Ряд 2', рп сходится, если для всех и, начиная с некоторого значения по, и некоторого а > 1 имеет место неравенство Рп+1 а — < 1 — —. рп — и 2, Ряд 2 рп расходнтся, если, начиная с некоторого пы выполнено неравенство рп+1 1 — >1 —— Рп Д о к о з о т е л ь с ю е о. 1.

Для доказательства воспользуемся теоремой 3 1 2. Рассмотрим вспомогательный ряд вида 2 1/пе, где р = иф'-, а > /1 > 1. Этот ряд сходится (см. пример 3 к утверждению 1 11). Обозначим его общий член чеРез йп = 1/пи. Тогда пРи и -+ оо имеем — — =1 — — +О Но так как а > )1, то при достаточно больших п, т.е. при п > пы где п| — некоторое число, имеем — =1 — — +Π— т > 1 — — > —. Д +1 Ф / 1 '1 а р +1 дп и опт) и — Р„ Тем самым для ряда 2',р„выполнены условия теоремы 3 1 2 и поэтому он сходится.

2. При и > 2 положим бп = „— ', и 61 — — 1. Неравенство п.2 прн и > 2 можно переписать в виде 61+1 р„+1 и — 1 1/п — > рп и 1/(ив Поскольку ряд 2 6п расходится (это по второму утверждению теоремы 3 1 2 Теорема доказана полностью.

1) 6„ просто гармонический ряд), РЯд 2,Рп тоже РасходитсЯ. зео Рассмотренные ранее признаки сходимости рядов относятся к числу простейших и являются исходными для построения основных признаков сходвмости. Например, гораздо более тонким признаком сходимости ряда является признак Раабе, 'который мы сейчас докажем. Т е о р е м а 2 (признак Раабе в предельной форме). Пусть р„> О для всех п и существует предел 1ип 6„= 1ип п 1 — — =1. Ркм1 «-~со и-~со Рк Тогда при 1 > 1 ряд ~ ' р„сходится, а прн 1 ( 1 — расходится.

Эта теорема выводится из предыдущей теоремы 1 аналогично тому, как теорема 7 у 2 из теоремы б у 2 или теорема 5 1 2 из теоремы 4 у 2. Замечание. Иногда вместо последовательности 6„в формулировке теоремы 2 рассматривают последовательность В„=п — — 1 =и — — 1 При этом в обоих случаях имеем соотношение Р„= р„+1/р„— ~ 1 при и -+ оо.

А так как имеет место равенство 6„= „Є, то 6„В„при и -+ со. Следовательно, в теореме 2 замена 6„иа В„допустима. Из подобных соображений неравенство в условии 1) можно заменить на неравенство В„> 1+ а, а неравенство в условии 2) этой теоремы— неравенством В„ < 1. Т е о р е м а 3 1призиак Куммера). Пусть 1а„) и 1с ) — две последовательности положительных чисел.

1. Если существует а > О н номер пе такие, что для всех и > пе имеем ок Ы с„— с,,+1 — > а, Ок то ряд 1 а„сходится. 2. Если найдется число пе такое, что при всех и > пе выполнено неравенство а„+1 с» ск м ~ О а„ и ряд ~,~ расходится, то и ряд 2 а„тоже расходится. Прежде чем перейти к доказательству теоремы 3, обратим внимание на замечательную ее особенность, состоящую в том, что заключение о сходимости выводятся относительно одного тольке ряда 2 а„, в то время как вторая последовательность 1с„) никак ие фиксируется, что предоставляет возможности для ее подбора в каждом случае применения признака Куммера к исследованию сходимости конкретного числового ряда.

/У о к а э а »1 е л ь с 1и е о теоремы 3. Без ограничения общности будем считать, что иэ = 1, так как ясно, что члены с номерами и < ие можно просто отбросить. В случае 1 имеем ѻ໠— Сп+1а»1.1 > аа». Суммируя это неравенсгво по и при всех и = 1,..., ги, получим с1а1 — с„,+1а„,+1 > а(а1+ + а,„), откуда с1а1 — с~»+1а~+1 с1 а1 э„, = а1+ +а,„< < —. а а Это означает, что все частичные суммы э ряда ~ а„ограничены в совокупности н по теореме 1 т 2 этот ряд сходится.

Неравенство п. 2 можно переписать в виде а»+1 1/с»+1 — > —. а» 1/с» Но так как по условию ряд 2" 1/с» расходится, то по теореме 3 расходнтся и ряд 2 а». Трорема доказана полностью. Рассмотрим некоторые следствия из теоремы 3. а»+1 ап.1.1 1 — — >а или — <1 — а. ап а» Для расходямости в этом случае имеем а»+1 — — 1 >0 иля ໠— > 1. а»+1 а» Таким образом мы получаем новое доказательство признака Далам- бера.

С л е д с т в и е 2. Положим с» = и — 1. Тогда сходимость ряда ~„а„имеет место при выполяеяии условия а„е1 а„+1 а+ 1 и — 1 — и — > а, т.е. — <1 — —. а» а» и Расходимость ряда 2 а» наступает прн условии а»+1 а»+1 1 с»=и — 1, и — — (и — 1)>0, т.е. — >1 — —. а» а» и Другимн словамв, мы получаем признак Раабе. С л е д с т в н е 1. Положим с» = 1 для всех и. Условие сходямостн рида ~„а„тогда запишется в ваде: С л е д с т в и е 3 (признак Бертрана). 1.

Характеристики

Список файлов лекций