Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Дифференцируемое отображение ((й) называетсн невырождепным в точке й = а, если один из якобианов этого отобралсения отличен от нуля, Это означает, что: 1) матрица э' имеет максимальный ранг или 2) градиенты функций ус(й),...,у (й) — линейно независимы в этой точке. Т е о р е м а (теорема о системе неявных функций).
Пусть и = т + р, р ) О, и пусть: 1) отображение у: сс" -+ сс™ — невырождеиное в точке (а,6), где а = (аы, ар) и 6 = (Ь,,...,6 ), и гладкое в некоторой окрестности П = О((а,Ь),е) точки (я,д) = (а,Ь); ззт 2) )"(а, Ь) = О; 3) Н(у) — Р У-~ Ф О Тогда в некоторой окрестности 0(а,а) = й! С йе точки а существует единственное гладкое отображение р(Х) = (~р!(х),...,!ое,(х)), где х = (х!,..., хр), обладающее следующими свойствами: 1) 1(а,фа)) = 0; 2) для всех х б й! имеем 1(х,!е(х)) = 0; Л) Ю„,(х) = -А !В, где А = 21(у), В = 31(х).
Здесь А и  — две части матрицы Якоби,11, отвечающие переменным у!,...,у„, и х!,..., хр соответственно. Другими словами, зта теорема утверждает, что система уравнений 1ь (х!,..., хю у!,..., у ) = О, х = 1,..., тл, РазРешима относител! но пеРеменных У!,, Уы как фУнкций от леРеменных (х!,...,хр) таким образом, что функции у! = 1е!(х),..., у,„= р (й) удовлетворяют тождествам 1ь (х, ~р(х)) = 0 Чх б й!, где й! — некоторая окрестность точки а, причем: а) 1(а,у(а)) = 0; б) 1(х, у) является невырожденным гладким отображением в некоторой окрестности точки (а,6) с условием Замечания.
1. Матричное равенство и. 3 дает выражение для всех частных производных вида дх, 2. Если 1(х) — линейное отображение, то утверждение теоремы есть простой факт из линейной алгебры о решениях, системы линейных уравнений. ~7 о к а з а тл е л ь с т е. о. Рассмотрим определитель Якоби Н(у) матрицы А. Разложим его по последнему столбцу.
Получим: н(у) = и, — + н,— + "+ н„—. дЛ дУг юг» ду ду ду Так как Н(у) не обращается в нуль в точке (а,6), то по крайней мере один из миноров матрицы А не равен нулю. Без ограничения общности можно считать, что Н! ф О. Будем проводить доказательство методом математической. индукции по числу уравнений гп. При п1 = 1 утверждение теоремы доказано в предыдуШем параграфе. Предположим, что теорема верна для п1 — 1 уравнения, Докажем ее для т уравнений. Поскольку Н1 ф О, применяя предположение индукции к функциям ув(х,у),...,у (х,у), получим, что сушествуют функции у1 —— Ф1(х,у ),...,у 1 = Ф 1(х,у ), удовлетворяющие условиям уь(х Ф1,.
Фт-1,У ) = О, й = 2,...,п1, для любой точки (х, уа) в некоторой окрестности Пе точки (а,б ). Подставим теперь ф1,...,1У„, 1 в функцию у1(х, у). Имеем; у1(х, Ф(х, у ),..., Ф,(х, у,„),у ) = Ф(х, у ). Покажем, что ~~ ф 0 в точке (а,6 ). Действительно, ек„ дФ д~1 д41 д~1 дФ -1 дУ1 + + ' + дую-1 дусв дую дую ду1 ду~п 0 дУ2 дФ1 дЬ дфп-1 дЛ + +, +.
ду1 ду,д ду~ 1 ду,д 'ду,д ' дУ д/л дУ дФ -1 д/ + + + ду1 ду,„ ду 1 ду,„ ду,„ Домножим первое уравнение на Н1, второе — на Нз и т.д. Сложим получившиеся выражения, В результате будем иметь дФ Н вЂ” =Н, ду так как прн й ф т справедливо равенство дУ, дуь а при Й = т эта сумма равна Н. Далее, поскольку Н и Н1 не равны нулю, дФ Н вЂ” = — ф О. ду,„Н1 339 Следовательно, по теореме о неявной функции существует единственная функция у =;с (х), такая, что Л(х,у(х)) = О в некоторой окрестности Й точки а, где ~ФР1 (х) — — Ф1 (х, $0пз (У),, ~7зл-1(х) = )пъ- ~ (х, ~ф>га (у)). При а = 2,...,гп в области й имеем уь(х, х(х)) = О. В силу инвариантности,формы первого дифференциала при й 1,..., тп имеем О= 46 = — й:1+ ..
+ — Ь + — ОР1(х)+ + — Ыу (х), .ВА дав дуь ц„ дх1 ° дхг ду1 ' др В векторном виде это можно записать так; ВНх +'АНу(х) — О, где э) а,( ' э„( э(„ Ыр(х) = ...~(х = Далее, имеет место равенство Таким образом, получим АУ„(х)дх+ ВНх = О, те. (3„,(х) + А В)Нх = О. Итак, линейное отображение переводит любой вектор Нх Е аг в нулевой вектор. Следовательно, это нулевое отображение н 3г(х) + А |В = О, т.е.
Я (х) = — А ' В. Теорема доказана полностью. 340 С л е д с т в и е (теорема об обратном отображении). Пусть гладкое отображение у: 1й" -+ 1к" в окрестности точки 2 = а, невырожденное в этой точке. Тогда существует обратное гладкое отображение Ф(у) = у (у), определенное в некоторой б-окрестности точка 6 = 1е(а), т.е, такое отображение, что Ф(у(х)) = х, причем матрица Якоби,7э отображения Ф(у) равна /э = 1 Д о к а з а п1 е л ь с п1 е о. Эта теорема является прямым следствием теоремы о системе неявных функций. Надо только записать равенство у — у(х) = О в виде системы неявных функций 11(х, у) = ~р1(х) — у1 — — О, уе(х и) = рь(х) — уэ =О а затем по этой теореме выразить х через у.
1 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение 1. Пусть Й вЂ” область точек 2ь, па которой определены гладкие функции 1э1(х),...,у„„'ху), п1 < и. Тогда множество П1 С П решений системы уравнений 1э(х) = О, к = 1,..., т, называется многообразнем, порожденным функциями у1,..., р„,, Уравнение ,рь(х) = О называется уравнением связи для многообразия й1. Определение 2. Точка а называется точкой условного локального максимума па многообразии П, если в некоторой окрестности точки а для любой точки й, принадлежащей этой окрестности и многообразию О, справедливо неравенство г(х) < Да), Аналогично определяются точки условного локального минимума и экстремума.
Заыечание. Если связи отсутствуют, то условный локальный экстремум называется безусловным экстремумом. Определение 3. Точка й функции Дх) называется особой, если игам,)(а) = О, и неособой, если йта1( у(а) ф О. Определение 4. Многообразие 01 называется певыроисцепным, если для любой точки х б П1 векторы градиентов Ф, = йта41 р,(й) при е = 1,..., т являются линейно независимыми. 341 Т е о р е м а (необходимое условие условного экстремума). Для того чтобы неособая точка а функция з(х) была бы точкой условного экстремума функция г(х) на невырожденном многообразии Й1, необходимо, чтобы вектор Р = кгас1з(х) в точке х = а выражался в виде ляяейной комбннацян градиентов Ф~ — — кгас1 р1(х),, Ф = бган р (х) в этой точке, т.е.
чтобы существовали вещественные числа Лы..., Л такие, что Р=л,Ф,+" +л Ф . Утверждение этой теоремы допускает следующую переформулировку для практического нахождения условного экстремума. С л е д с т в и е (метод множителей Лагранжа). Пусть Лы,,.,лм — независимые вещественные переменные. Рассмотрим функцию Лагранжа 1,(х,Л) =У(х) — Л,Р,(й) —" — Л у„(х). Для того чтобы неособая точка а функции у(х) была бы точкой условного экстремума этой функции на неэырожденном многообразии Пм необходимо, чтобы прн некотором Л = Ле имело место равенство й1(Х,Л)! 1»ь = О, т.е, чтобы все частные производные функция Ь(х, Л) по переменным х, и Л, обращалнсь в нуль. До к а з а н1 е л ь с я1 в о следствия.
Если мы приравняем к нулю частные производные по переменным Л„, то получим уравнения связи. А если продифференцируем по х„з = 1,...,и, то получим условие выражения градиента функции у(х) в виде линейной комбинации градиентов функций ~р,(х), что по теореме и является необходимым условием.
Следствие доказано. Д о к а з а ш е л ь с и» в о теоремы. Идея доказательства состоит в том, чтобы найти н — ~л. линейно независимых векторов б +ы...,б„б Й" таких, что каждый из этих векторов одновременно перпендикулярен вектору Р и векторам Фм...,Ф . Отсюда будет следовать, что линейное пространство 2., состоящее из всевозможных лянейных комбинаций этих векторов, обладает свойством Р 1 Ь и Ф» Л. 2., х = 1,...,ш. Ортогональное дополнение пространства 1., т.е. пространство 1.~, состоящее из всех векторов й Е Ж", ортогональных к 1, содержит вектора Р и Фы..., Ф„,. Размерность пространства 2.~ равна и-пт.
Поскольку вектора Фм ..., Ф вЂ” линейно независимы, они образуют базис П.. Следовательно, вектор Р есть линейная комбинация векторов Фы...,Ф Заметим, что на самом деле Ь состоит из всех векторов, лежащих в каждой из касательных плоскостей к поверхностям 1з,(х) = О, в = 1, .,и», в точке й = а. Итак, осталось указать векторы аы...,а„е 2.", Их мы будем выбирать следующим образом.
Без ограничения общности можно считать, что Р(у1 1 ) Р(хы...,х ) По теореме о системе неявных функций в некоторой е-окрестности точки а Е ме существует гл гладких функций Ч'1(Е),...,ф„,(Х), где Х (я~э 4~ > . ~ Хз) таиик~ ЧТО у»((ч(х),...,ф,д(й);Х) =-О, а также у» (М1(хо), ° Фт(ха), аэ) = О, (М1(йо) ~ ° ° ° Фпь(хо), хо) = о.
Пусть е„— направляющий вектор оси Ох„г = гл+ 1,...,и. Рассмо- трим функции Л»х(1) = у»(4Л1(йо +1е ),... Феъ(То + 1е,), Уо + ге„) = О, где Л = 1,, го, а также функцию Ло, (1) = У(41(хо+1ег),Ф„(хо+1ес),ко+ге„). В точке Ф = О производные всех функций равны нулю; у первой, ..., гп-й — потому, что онн есть тождественно равные нулю функции, а у функции Ле „(8) — потому, что точка 8 = О должна быть точкой локального экстремума этой функции. Вычисляя Л» „(1)~ по теореме о производной сложной функции, !с=с получим Л'„(1) (,, = — — + " + — — + —, д1»» д1Л~ д1о» дй д~р» дх1 дх„дх дх, дх„' дУ д~1 д~ д~у дУ с'())с=о + + + дх1 дх„дх дх, дх, ' где Л=1,...,гп; г=гоа1,...,п; т.е, имеем Л),,(г)/, е = (Ф», ое) = О, Ла,~(1) ~, е = (Р, а,) = О, причем Ф) дч' О число 1 находится на тп+ г-и месте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
