Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Будем говорить, что функпня Дх) дифференцнруема в точке х = а, если существует дяфференциал ау(х) функции в точке х = а. Утверждение 2. Если функция дяфференцнруема в точке й = а, то она непрерывна в этой точке. ,7 о к а з а т е л ь с щ в о очевидно следует из того, что приращение Ьу(х) стремится к нулю при Ьх -+ 0. Итак, подчеркнем еще раз, что дифференциалом аг(х) функции у(х) в точке х = а называется линейная или главная часть приращения функции у(х) в точке и = а. Поскольку ау(х) — линейная функция, ее можно записать в виде ф(х) = А~(х| — а1)+ + А„(х„— а„) = ~ А,Ьх„ где А, — некоторые вещественные числа и Ьх, = х, — а,. Если Дх) = х„то ф(х) = ах, = Ьх,.
Т е о р е м а 1. Пусть )'(х) дифференцнруема в точке й = а, тогда все координатные фуякция ~о,(х,) = Г(аы..., х„..., а„) дифференцяруемы в точках х, = а„з = 1,..., п, прячем А, = у,(а,). ,7 о к а з а п1 е л ь с ти в о. В формуле для приращения Ьу(х) в точке и = а через его дифференциал положим х, = а„при г ф и Получим ЬДх) = Д(х) — Да) = А,Ьх, + о((Ьх,(). Тогда согласно определению функции р,(х,) будем иметь у(х) — у(а) = уэ,(х,) — р,(а,) = А,сьх, + о((сьх,~), т.е, А, = 1цп ' ' ' ' = р,(а,).
аз,~э Ьх~ Определение 3. Производная р,(а,), когда ова существует, вазывается частной производной функпнн у(х) в точке х = а по э-й переменной и обозяачаетси так: дУ(а) д,У(х) ~ р,(а,) = — =— дх, дх, ~ д' С л е д с т в н е. Дифференциал функпяи Ях) в точке й = а однозначно записывается в виде 4(х)~,, = — Ьх1+ "+ Ьх . дУ(а) ду(а) дх1 дх„ „!Т о к а э а и е л ь с т в о очевидно.
Пример. Пусть у(х,у) = х + ху. Тогда ду(х, у) ду(х, у) = 2х+ у, ' = х,ф(х,у) = (2х+ у)дх+ хну. Итак, необходимым условием дифференцируемости функции в точке является существование всех ее частных производных в этой точке. Докажем теперь одно достаточное условие дифференцвруемости функции в точке. Т е о р е м а 2. Пусть в некоторой окрестности точки а существуют все ее частные производные -Ь,, э = 1,...,п, я эти частные провэводиые непрерывны в точке х = а. Тогда функция у(х) является дифферевцируемой в этой точке, ,7 о к а э а щ е л ь с т в о. Только для краткости записи будем считать, что н = 2.
Приращение Ьу(х,у) функции у(х,у) в точке (а, Ь) можно запасать так: Ь~(х, 'у) = г(а + д,х, Ь+ д у) — ~(а, Ь) = = (у(а + сьх, Ь+ д,у) — г(а, Ь+ Ьу)) + Ц(а, Ь+ сьу) — г(а, Ь)). К каждой из двух разностей в скобках можно применить формулу конечных приращений Лагранжа, поскольку в рассматриваемой з|в окрестности точки (а, 6) функция у(х, у) имеет непрерывные частные производные по х и по у. Получим дУ(а+с«ах,Ь+ ««у) дУ(а,6+ ОЬу) ««у(х, у) = д ~ д х У где б, и — некоторые постоянные, 0 < 4',и < 1. Далее, в силу непрерывности частных производных при «1х -+ 0 имеем следующие соотношения: ду(а+(дх,Ь+«ьу) ду(а,Ь) дх дх д1(а,Ь+ пЬу) дДа,Ь) ду ду Отсюда следует, что «ау(х,у) = ' Ьх+ ' Ьу+о((Ьх)+(Ьу!). ду(а, 6) д~(а, Ь) Поскольку )Ьх( ( (Ьх(, )Ьу) <~Ьх) ««х = («Ьх, «Ьу), имеем Ьу(х, у) = ах+ «~у+ о((««х() = ау(х) + о()««х~), ду(а, 6) ду(а, 6) дх ду т.е.
функция у(х, у) дифференцируема в точке (х, у) = (а, Ь). Теорема доказана. Приведем пример непрерывной, имеющей частные производные, функпии в окрестности точки (0,0), но недифференцируемой в этой точке: « = ~/(ху1 Частные производные этой функции, очевидно, существуют при «~+ у~ ф О. По определению онв существуют в точке (0,0): Ь«(0, 0) «(Ьх, 0) — «(О, 0) Ь«(0, 0) — О, ' =О, Ьх ««х ' д,у следовательно, «, (О, 0) = О, «„(О, 0) = О. Если же «ах = ««у > О, то приращение функции «(х,у) в точке (О, 0) равно «!«х, но по определению дифференциала оно должно быть о(««х). Таким образом, функция « = агу~ не является дифференцируемой в точке (0,0).
Лекция 22 2 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Т е о р е м а. Пусть р(х) = (р1(х),...,1з„,(х)) есть отображение нз м" в )й~, определенное в некоторой окрестности точки и = а и дифференцируемое в этой точке. Пусть, далее, для всякого г > 0 при отображении 1е образ некоторой б-окрестности 0(а, б) содержится в оокрестностя точки 6 = ~р(а).
Пусть,, наконец, для любой точки р е 0(6, г) определена числовая функция г'(у), которая является дифференцнруемой в точке 6. Тогда сложная функция Ь(х) = У(1о(х)) является дифференцируемой в точке х = а, причем имеют место равенства дЬ дЬ др дЬ др — — — +..-+ — —, а=1,...,о. дх, ду2 дх, ду,„дх, ' Здесь частные производные по переменной х, рассматриваются в точке х = а, а частные производные по 1а, 1 = 1,...,гл — в точке у=6. ,~7 о к а з а т е л ь с т е о. Ввиду дифференцируемости функции у(у) в точке у = 6 прирашение функции Ьу при произвольном прирашении аргумента Ау = у — 6 можно представить так: ~1У = Ф + о6~6у(), где ф = ~~ — 26уь ду' ,, ду~ Подставим вместо ЬИ прирыцение 211Н функции ~р~(х) соответствующее приращению Ьх аргумента х. Тогда слева в этой формуле мы получим ЛЬ(х) и она принимает вид гаЬ(х) = ~ ~— Ь<р~(х) + о(~А12(х)().
ду ,, ду~ В силу дифференцируемости функций 1е~(х) имеем Ь1з~(х) = ~~~ — гьх, + о((Ьх(), 1 = 1,..., гп. , дх, 320 Частные производные функций у~(х) в точке х = а — это конкретные вещественные числа. Поэтому существует число М > О, такое, что опн по абсолютной величине не превосходят М. Тогда имеем (Луч(х)( < 2Мп~Ьх(, (Ьу! < 2Мп~)Ьх). Отсюда найдем о()Ьу(х))) = о()Ьх)). Подставляя теперь значения Ьу~(х) в формулу для ЬЛ(х), получим утверждение теоремы. Теорема доказана. С л е д с т в и е 1 (инвариантность формы первого дифференциала).
Если в выраженно нля первого дифференциала а?(у) вместо независимого приращения Ьу, подставить дифференциал функции у, = ~р,(х), то полученное выражение будет дяфференцналом сложной функции 6(й) = ~(у(х)). Другими словамн, форма первого дифференциала функции не изменится, если независимые переменные оказываются завяснмымя функциямн. Д о к а з а щ е л ь с вн е о. Утверждение следствия — простая переформулировка утверждения теоремы. С л 'е д с т в и е 2 (правила дифференцирования). Справедливы следующие формулан а) а(си) =-сан 'Фсбй; б) д(и~: е) = до~ сЬ; в) Н(цо) = иао + вам; г) д('-') = ~~"„"~" при е(хха) ф О. Д о и а з а щ у л ь с т е о.
Ограничимся доказательством только свойства в). Пусть к = к(и, е) = нв, тогда дк дк Нк = — Ии + — Ие = еди+ иае. ди дв В случае, если и н е являются функциями от других независимых 'переменных, то воспользуемся свойством инварнантностн формы первого дифференциала (следствие 1). Свойство в) доказано. 1 4. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ Пусть задано направление е = (еы, .., е„), )е~ = 1, и Ап...,йа направления векторов осей координат Озч,...,Ох„.
Тогда, очевидно, если а, есть угол между 3с, и е, то е, = (е,к,) = (е( )Й,)сова, = сова,. зы Н Зама па аале ьне но В ьшнк В силу етого определения числа еы...,е„называются направляю- жима иосинусама направления е. Пусть 7(х) — днфференцируемая функция в точке х = а, и е— некоторое направление. Рассмотрим сложную функцию Ь(1) = 7(й+Ге). Она является функцией от одной переменной 1, н в силу теоремы о дифференцируемостн сложной функции при 1 = 0 справедливо равенство ИЛ(С) = Л'(0)дг = "~ — е, й.
дУ юе1 Тогда имеем Ь'(0) = ~~~ — е, = ~1 — сова,, дУ " дУ , , дх, ' , дх, Определение 1, Эта величина Ь'(О) называется производной фунип;:ии 7(х) по направлениго е в точке а. 'Обозначение: — — = Л (0). дУ ду(х)1 де де 1 е Определение 2. Вектор называется градиентом функции Дх) в точке и = а я обозначается так: ~77' = бган 7. Таким образом, — = (е,йгаоД = (е,~77'), ду" де где =Ж Ы называется оператором "набла", Отметим некоторые свойства производной по направлению. 1е. Максимальное значение производной функции У(х) по направлению равно длине вектора градиента и достигается при е = (е-,(. пФ 2е. Производная по направлению равна нулю, если вектор градиента равен нулю или он ортогонален вектору направления. Зе.
Минимальное значение проязводной функции 7(х) цо направлению равно -(йгаПД, если е = -(Я(. 322 Отсюда видно, что скорость возрастании функции в направлении градиента — наибольшая. Ь 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Для простоты изложения будем рассматрявать функцян двух переменных. Определение 1. Поверхностью Р в Йз называется график всякой непрерывной функции х = у(х, о), заданной в некоторой области П С Йт. Другими словами, поверхность Р— это множество точек (х,у,г) б Йз, где координата * б Й и точка (х,у) б Й~ связаны соотношением х = у(х, у). Напомним, что под областью понимают связное открытое множество. Определение 2. Говорят, что поверхности х = г1 (х, и) н г = Ях, у) касаются друг друга в точке (а,Ь,с), если с = г1(а,Ь) = !г(а,Ь) и разность г(х, у) = у1 (х, у) — уз(х, у) является велнчиной о((х — а0 при )й — а( -+ О.
График линейной функции х = Ьх+!й+ гп, Ь,),пт б Й является плоскостью в Йз. Т е о р е м а. Пусть функция г(х), й б 0(а,г) С Й~ — дифференцируема в точке х = а = (амат) и хе = г(а). Тогда плоскость П, задаваемая линейным уравнением вида ду (а) дУ(а) х — хо = (х~ — а1) + (хг — ат), дх1 дхт касается поверхности Р: х = у(х) в точке х = а. Д о к а з а и е л ь с яь е о.
Рассмотрим плоскость П как график линейной функции й(й), где з(х) = хо + ау(х). Поскольку функция у(Х) днфференцируема в точке и = а, имеем у(х) — у(й) = Да) + ф(х) + о((Ьх0 — те — ИУ(х) = о((Ах)). Следовательно, исходя нз определения поверхности, П и Р касаются друг друга. Теорема доказана. В дальнейшем нам понадобится понятие нормали к поверхностк. Определение 3. Нормалью к поверхности Р: х = г(х, у) в точке (хо, уо, хе) называется прямая, проходяШая через точку (хе уо аз) Р параллельно вектору (У Уэ 1) Лекция 23 з 6. ЧАСТНЪ|Е ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть 1(х) имеет в некоторой е-окрестности О(а,е) все первые частные производные з,, з = 1,...,п.
Эти частные производные сами являются функциями от и переменных и могут иметь частные производные, т.е. можно определить следующие величины д /д11 д 1 — — (1к ), з,г= 1,...,7ь дх„ (, дх,,~ дх,дх, Эти величины называются частными производными второго порядка. Если з ф г, то они называются смешанными производными. Имеют место следующие теоремы о равенстве смешанных производных второго порядка. Т е о р е и а 1 (теорема Шварца). Пусть функции 1(х) в некоторой окрестности точки и = а имеет смешанные частные производные второго порядка з з и з ~, причем они непрерывны в точке и = а. Тогда в точке х = а зти производные равны между собой, т.е. ,д о к а з а тп е л ь с и в о. Без ограничения общности можно считать, что и = 2 и 1(х) = 1(хм хг), Положим гл 1 = 1(аг + Ип аз + Иг) — 1(аг + Ип аг) — 1(аю аг + Иг) + 1(а,, аг), ю(х) = 1(х аг+ Ьг) 1(х,аг). Применяя дважды формулу Лагранжа конечных приращений, получим ~р(аг + Иг) — уг(аг) = И1чг'(а1+ В1 И,) = = И1 (1~,(аг+ В,Ипаг+ Иг) 1,(аг+ В1Ипаг)) = = Игйг1,, (аг + В, И,, аз + ВгИг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
