Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Возьмем го - окРестность точки У, где о1 —— -'=гга. Тогда эта окРестность целиком принадлежит множеству 0(а,о), так как для всякой точки г б 0(у,о1) из неравенства треугольника имеем р(а, г) < р(а, у) + р(у г) < ро + — = — + — < о, е — ро о ро т.е. р(а,г) < о, следовательно, точка г б 0(а,г), что и требовалось доказать. Докажем несколько свойств открытых и замкнутых множеств.
ЪГтвертддение '1. Пересечеияе двух открытых в Х мяожеств М1 я М2 открытое мяожество. Яо коз а та ел ь с ма о. Пусть х б М1ОМт, тогда х б Мы х б Мт. Поскольку М1 в Мэ — открытые множества, иайдется е1-окрестиость точки х, содержащаяся в Мы и найдется ет-окрестпость точки х, содержащаяся в Мт. Возьмем е = ппп(еыеэ). Тогда е-окрестность точки х приивдлежит и миожеству Мы и множеству Мю т.е. еокрестность точки х содержится в М1 ЙМз, что и требовалось доказать. Утверждение 2. Объапияеяие г' любого чясла открытых множеств М является открытым множеством.
Л о к а з а т е л ь с т е о. Возьмем любую точку * б 'г'. Тогда существует мвожество М С 'г' такое, что х б Р, и точка х — виутреипяя точка миожества М. Следовательио, существует е-окрестиость точки х, целиком содержвщаися в М, а значит, содержащаяся в т, что и требовалось доказать. Итак, введенные нами открытые множества образуют топологию, которую называют естественной топологией метрического пространства. Это пространство будет и хаусдорфовым. Действительно, пусть х,у — любые точки метрического прострвиства Х и х ф У, Р(х,У) = Рэ > О, тогда окРестности О(х, Гза) и 0(У, Гза) этих точек, согласно перавеиству треугольиика, ие пересекаются. Если бы сУществовал элемеит т б 0(х,гза) О 0(У, эь), то рэ = р(х, у) < р(х, х) + р(г, у) < — + — = — , Ро Ро 2ро 3 3 3 ' т.е.
Рэ = О, ио это ие так. 1 3. ВНУТРЕННИЕ, ВНЕШНИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Определение 1. Любое открытое миожестао а, содержащее точку х, называется окрестностью точки х. Определение 2. Всякое мяожество и метрического прострвяства Х, дополнение которого а = Х ~и — открыто, называется замкнутым. Определение 3. Внешней точкой мяожества А называется всякая вяутреявяя точка его дополяеяяя В = Х ~ А.
Определение 4. Точка г называется граничной точкой мяожества А, есля ояа яе является ли вяутреяяей, яя впешяей точкой этого множества. Миожество (т) всех граничных точек А называется границей и обозначается через дА. Утвернгдение 1. Пусть В = Х !А. Тогда дА = дВ, т.е. множества А я В имеют общую границу.
Действительно, если г — граничная точка множества А, то любая ее окрестность содержит как точки из множества А, так и точки из множества В, а потому г — граничная точка множества В. И наоборот, если г б дВ, то г б дА. Следовательно, границы множеств А и В совпадают, т.е. ВА = дВ, что и требовалось доказать. Утверждение 2. Если множество А — замкнуто, то дА г А. Действительно, в силу того, что множество В = Х ! А — открыто, точки его границы дВ не принадлежат В, а значит, они принадлежат его дополнению, т.е, множеству А и дВ С А, но так как ВА = дВ, то дА С А, что и требовалось доказать.
Определение 5. а) Точка а называется предельной точкой мяожества А, если в любой г-окрестности точки а содержится хотя бы одна точка х б А такая, что х ф а. б) Точка а называется предельной точкой мпожестэа А, если существует последовательность точек (х„) С А, х„ф а такая, что 1пп х„= а. э-~оэ Утверигдение 3. Определения а) и б) эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что из а) следует б). Для этого нам надо построить последовательность (х„), сходящуюся к а, х„ 1~ а. Строим ее так. Точку х1 б А выбираем произвольно в 1-окрестности точки а, точку хг — в 1/2-окрестности точки а н т.д.
Тогда для любого числа с > О вне любой в-окрестности точки а содержится не более пв —— пв(г) = [1/е) + 1 точек последовательности (х„), т.е. точка а является пределом последовательности (х„). Докажем теперь, что из б) следует а). Поскольку последовательность (х„) бесконечна и вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности, в ней содержится хотя бы один член этой последовательности, что н требовалось доказать. Определение 6. Если точка х б А, яо не является предельной точкой множества А, то она иазывается изолированной точкой мяожества А. Теперь заметим, что в определении сходнмости в полном метрическом пространстве последовательности (х„) и точке а не обязательно требовать, чтобы (х„) была фундаментальной, так как, если для любого г > О существует пв — — пэ(с) такое, что для любого и > пэ выполнено неравенство р(х„, а) ( е/2, то тогда для любых пы пт > па имеем е е Р(хп хп ) С Р(хп а) + Р(хам е) ( + — г т.е, последовательность (х„) фундаментальна.
Докажем еще одно простое утверждение. 304 Утверждение 4. Если последовательность (х„) имеет предел, равный числу а, то а — единственная ее предельная точка. Действительно, пусть Ь вЂ” другая предельная точка, Тогда р(а,Ь) = ре > О. Возьмем ро/2-окрестность точки а. Вне ее находится лишь хонечное число точек последовательности.
Тогда внутри рс/2-окрестности точки Ь будет находиться лишь конечное читало членов этой последовательности, быть может, ни одного. Противоречие. Следовательно, последовательность, имеюшая предел, имеет единственную предельную точку, что и требовалось доказать. Докажем теперь критерий замкнутости множества. Т е о р е м а. а) Множество является замкнутым тогда я только тогда, когда ояо содержит все свои предельные точки. б) Множество А замкнуто тогда и только тогда, «огда его граница дА содержится в яем, т.е. дА С А. ,7 о к а з а ш е л ь с ш е о.
Сначала докажем утверждение а). Необходимость. Пусть )пп х„= а, х„б А. Надо доказать, что и-~со а б А, Точка а не может быть внешней для множества А, так как в любой ее окрестности есть точки из А. Значит, она является либо внутренней, либо граничной, т.е, а б А или а б дА С А, и в обоих случаях точка а принадлежит множеству А. Необходимость доказана. Яостагаочность.
Пусть множество А содержит все свои предельные точкя. Нам надо доказать, что его дополнение В = Х ~ А является открытым множеством, т.е. любая точка х б В является внутренней точкой множества В. Если х б В, то точка х или внутренняя точка В, или граничная точка В. В первом случае доказывать нечего.
Разберем второй. случай х б В и х б дВ, т.е. х — граничная точка множества В. Но с одной стороны зта точка не принадлежит А, так как х б В, а с другой стороны — точка х б дВ = дА, т.е. в любой окрестности точки х есть точка из множества А„и потому х б А по условию теоремы, но зто невозможно, так как х 6 В, по нашему предположению, и Ай В = И. Следовательно, точка х ф дВ, т.е. имеет место только первый случай; х — внутренняя точка множества В, что и требовалось доказать. Докажем теперь утверждение б), Оеобходимостиь. Ранее мы уже доказали, что если А — замкнуто, то дА С А. ~7осщашочносгаь.
Нам надо доказать, что если дА С А, то множество В = Х ~ А — открыто. Мы знаем, что дА = дВ, и поэтому дВ С А, откуда дВ П В = й~. Это значит, что граничные точки множества В в него не входят, а входят только внутренние точки В, т.е. точки множества  — внутренние. Следовательно, множество В— открыто, а значит, множество А — замкнуто. Теорема доказана полностью. зов о 4. ЛЕММА О ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ШАРОВ. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ Рассмотрим два свойства полных метрических пространств.
Первое — лемма о последовательности стягивающихся шаров. Л е'м м а. Пусть К(хы г1) З К(хю гт) Э ... — последовательность вложенных замкнутых шаров в полном метрическом пространстве Х, причем 1пп г„= О, Тогда существует едянственная точка хо, п -+оо принадлежащая всем шарам. ,П о к а з а яо е и ь с т е о.
Прежде всего заметим, что последовательность центров шаров (х„) будет фундаментальной. Действительно, зададимся произвольным е > О. Тогда существует по — — во(е) такое, что для всякого и > во имеем г„< г, а потому при любых в1 > вт > ио согласно включению К(х„,,г„,) Э К(х„„г„,) имеем р(х„„х„,) < г„, < е, т.е.
последовательность (х„) удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Так как (х„) — фундаментальна, то в силу полноты пространства Х существует предел 1пп х„= хо Е Х, причем хо является предельной точкой для каждого шара, а поскольку они замкнуты, то для любого натурального числа и имеем хо Е К(х„, г„). Покажем, что точка хо является единственной точкой, принадлежащей одновременно всем шарам. Пусть зто не так, т.е. найдется точка уо Е ОК(х„,г„), р(хо,уо) = р.
Очевидно, существует п такое г„ < ~, Из неравенства треугольника получим Р— Р(хо,уо) <Р(х,хо)+Р(х,уо) < + — РР Р Противоречие.. Следовательно, хо является единственной общей точ- кой для всех шаров. Лемма доказана. Определение. Пусть Х вЂ” полное метрическое пространство, и пусть у: Х -+ Х вЂ” отображение этого пространства в себя, причем существует вещественное число а с условием О < а < 1 такое, что для любых а, Ь Е Х имеем р(у(а), у(Ь)) < ар(а, Ь). Тогда отображение ~ называется сжимаюгцим, Докажем теперь принцип сжимаюших отображений. Т е о р е м а. Если у: Х -о Х вЂ” сжимающее отображение, то существует единственная точка хо Е Х такая, что Дхо) = хо. Точка хо называется неподвижной точкой сжимающего отображения у. Д о к а з а т е л ь с га е о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
