Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 44
Текст из файла (страница 44)
,Вос1иашочность. Нам дано,. что для любого е > О существует простейшее множество В = ВЯ2) такое, что р'(АЛВ) < '-. Далее, поскольку В г1 (А ~ В) = о, А г1(В ~ А) = ьз, справедливы неравенства р(В) + р'(А ~ В) > р" (А), р'(А) + и'(В ~ А) > р(В). Отсюда и из условия А ~ В С АЬВ, В ~ А С АЬВ имеем и" (А) — р(В) < р'(А ~ В) < р" (А~В) < —, р(В) — д'(А) < р (А ~ В) < р'(АЬВ) < —, т.е. (и'(А) —,и(В)! < -'. Далее, поскольку множество А ограничено, существует стандартный квадрат К такой, что К Э А.
Очевидно, имеем (К ~ А)Ь(К ~ В) = АЬВ. Поэтому, как и раньше, получим ~р'(К ~ А) — д(К ~ В) ~ < —. 2 Используя равенство д(В) + р(К ~В) = д(К), получим ,'д'(А) + р'(К ~ А) — р(К) / < )р*(А) — р(В)/+ ~р'(К ~ А) — р(К ~ В)( < с, т.е. ~р" (А) + р" (К ~ А) — р(К) ~ < е. В силу произвольности выбора числа е > О отсюда следует, что р'(А) + р'(К ~ А) — р(К) = О, гтт те.
р'(А) = р(К) -р" (К~А) = р,(А). Последнее равенство и означает, что множество А измеримо. Теорема 1 доказана. Исходя из доказанного критерия, очевидно, имеем, что для любых измеримых множеств, А и В их объединение, пересечение, разность и симметрическая разность являются измеримыми множествами. Более того, если измеримые множества А и В не пересекаются, то р(Аов) =р(А)+р(в).
Мы не будем детально изучать свойства множеств, измеримых по Лебегу, но следует отметить, что это ненамного сложнее, чем изучение измеримости по Жордану. Тем не менее, мера Лебега обладает существенным преимуществом перед мерой Жордана, так как помимо свойств инвариантности относительно движений плоскости и монотонности, она обладает свойством счетной апдытывыосты взамен свойства конечной аддитивности, которым обладала мера Жордана. Уточним, что имеется в виду. Т е о р е м а 2. Пусть Ам ..., Ал,... — бесконечная последовательность непересекающихся множеств, измеримых по Лебегу.
Пусть их объединение А = О Ал является ограяичеииым множеством. Толки гда множество А измеримо по Лебегу, причем р(А) = 11пт(р(А1)+ . +р(Ал)) =~~~ р(Ал) лв1 Д о к а з а ш е л ь с тп е о. Так как множество А — ограничено, то существует стандартный квадрат К, содержащий А. В силу этого и свойства конечной аддитивности для любого фиксированного числа к > 1 имеем соотношения ь ь ~р(Ал) = р( О Ал) < р(К). лвг Отсюда следует, что ряд ~", р(Ал) сходится, и поэтому для любого «лн е > О существует ке — — ке(е) такое, что для любого числа к > ке выполняется неравенство ~ р(Ал) < з.
в=а+1 Зафиксируем какое-нибудь число к, большее ке. Тогда множество ь С = 0 Ал — измеримо, следовательно, по критерию иэмеримости л=1 (теорема 1) для всякого с > О существует простейшее множество В = В('-) такое, что р'(СЬВ) < й. 2Т8 Очевидно, справедливо следующее соотношение: АЬВ С (СЬВ) О( О Ал). ллл+1 Тогда, используя неравенство р(А«) < †, л=л+! получим, что,и'(АЬВ) < е. Следовательно, множество А — измеримо. Аналогично доказывается,' что и множество Сь = О' Ал является ««а+! измеримым.
Далее, в силу свойства конечной .аддитивности имеем р(А) = ~~! рА„+,и(Сь). «л! Кроме того, ранее мы показали, что !пп рСь = О. А это значит, что Й~ол р(А) = ~, 'рА«. Теорема доказана. лл! Важным следствием доказанного выше свойства счетной аддитивности меры Лебега является измеримость пересечения счетного числа измеримых множеств, а также измеримость объединения счетного или конечного числа измеримых множеств при условии ограниченности этого объединения. В частности, отсюда имеем измеримость любого ограниченного открытого множества как объединения не более чем счетного числа открытых стандартных прямоугольняков. Но тогда я любое замкнутое множество будет измеримым как дополнение до открытого множества, а следовательно, будет измеримым по Лебегу и любое не более, чем счетное, объединение и пересечение открытых и замкнутых множеств.
Докажем еще одно полезное свойство меры Лебега: свойство непрерывности. Т е о р е м а 3. Пусть Аг,..,,А«,... — яэмерямые множества, и пусть А = О Ал — огранячеяное множество. Кроме того, пусть л=! А! С Аэ С С Ал С.... Тогда р(А) = !пп р(А«). « « с« ,17 о к а з а э! е л ь с э! в о. Имеем Ал =А!О(Аг!!А!)О . О(А !!А„!), А=А! О (А !!А -!), причем для любых э,1) 2,э ф 1, справепливы соотношения А~ г1 (А, ~ А, ~) = а, (А, ~ А, ~) О (А~ ~ А~ ~) = а. Тогда в силу свойства счетной аддитивности меры получим !пп р(А„) = р(А~) + ~~»,и(А, ~А, ~) = р(А). Теорема 3 доказана. Отметим, что не всякое множество на плоскости измеримо по Лебегу, но неизмеримые множества имеют довольно экзотический вид.
Можно поставять вопрос о том, как связаны между собой понятия измеримых множеств для разных размерностей. Например, если мы имеем измеримую плоскую фигуру Р и будем пересекать ее прямыми, параллельными одной из осей координат. Тогда в сечении будут получаться линейные ограниченные множества. Измеримы ля они по Лебегу? Этот. вопрос на самом деле имеет принципиально важное значеняе и вот ответ на него. Да; но за исключением некоторого множества прямых, которое в пересечении с другой осью коордянат образует множество линейной меры нуль. Вообще, если какое-нибудь условие выполнено для всех точек множества М С К, за исключением множества точек М' С М, мера которого равна нулю, р(М') = О, то говорят, что это условие имеет место для почти всех точек множества М. Термин почти все в смысле меры Лебега означает, что некоторое свойство выполняется на всем множестве, за исключением, быть может, множества меры нуль.
Рассмотрим теперь лянейную меру Лебега, т.е, меру Лебега для ограниченных множеств на числовой прямой К. Очевидно, что счетное множество имеет меру нуль. Возможен тогда второй вопрос: существуют ли несчетные множества меры нуль? Да, существуют, например, канторово совершенное множество М, являющееся подмножеством отрезка [О, Ц и состоящее из тех чисел, которые записываются в троичной системе счисления в виде бесконечной дроби, не содержащей цифры 1.
Например, числа 0,2; 0,200202; 0,222...2 = 1 и т.д. Очевидно, множество М имеет мощность континуума, и то же время оно получается так: отрезок [О, Ц делится на три равные части и выбрасывается средний интервал (1/3,2/3), затем эта процедура повторяется с каждым из двух отрезков, полученных после первого деления, и т.д. Пусть Еэ — исходный отрезок [О, Ц, Е~ — то множество, которое осталось после первого шага, Ез — множество, оставшееся после второго шага, и т.д.
зао Очевидно, Ео Э Е! !: . Э Е„Э ... и множество М равно й Е„. аеп Тогда при любом н > 1 для верхней меры множества М справедливы оценки р'(М) < р(Е„). Очевидно, имеем Р(Еп) = ~-) р(Ее) = ~ -) -+ О при о -+ со. 1з) 1з) Следовательно, мерв множества М равна О. На атом мы завершаем изучение основ теории меры Лебега. Лекция 16 ~ 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА Понятие линейной меры Лебега позволяет расширить класс интегрируемых функций с помощью введения понятия интеграла Лебега. Для того чтобы сказать, что это такое, сначала введем понятие измеримой функции.
Определение 1. Функция 1(х), заданная на отрезке [а, Ц, называется измеримой на этом отрезке, есля для всякого у б Й множество Е точек х б [а,б], для которых выполняется «еравеяство 1(х) < у, является измеримым множеством на отрезке [а, 6] в смысле лннейяой меры Лебега. Из свойств меры Лебега, доказанных в предыдущем параграфе, имеем, что вместе с множеством Е измеримыми будут множества точек х б [а,о], для которых справедливы соотношения 1(х) > у, 1(х) = у, х < /(х) < у.
В частности, любая непрерывная на отрезке [а,о] функция 1(х) измерима, поскольку множество 1„= (х б [а, Щ 1(х) > у) будет замкнутым, а любое замкнутое множество является измеримым. В качестве второго примера измеримой на отрезке 1 = [а,б] функции 1(х) рассмотрим ограниченную функцию, имеющую разрывы на множестве лебеговой меры нуль. В силу критерия Лебега она будет интегрируема по Риману. Покажем, что эта функция является измерямой. Возьмем любое число у б й. Достаточно показать, что множество 1о— - (хб1фх)>у) является измеримым. Предельные точки хо множества 1э могут быть двух видов: точками непрерывности функции 1(х) и ее точками разрыва. Если такая точка хо — точка непрерывности, то она обязана принадлежать 1„.
Действительно, поскольку хо — предельная точка множества 1ю существует последовательность точек ха б 1о таких, что !ип х„= хо, 1(х„) > у. ачоо Отсюда в силу непрерывности 1(х) в точке хо имеем у < 1пп 1(х„) = 1( 1пп х„) = Дхо), т.е. точка хе принадлежат 1ц. Если же пределъвая точка хе множества 1х не принадлежит ему, то оиа является точкой разрыва функции 1(х). Обозначим множество всех таких точек ха через Г.
Множество Р имеет меру нуль как подмножество множества нулевой меры Лебега. В силу того, что множество А = 1х 0 Р— замкнуто, оно измеримо. Следовательно, множество 1к — измеримо, как разность измеримого множества и множества меры нуль. Тем самым установлена измеримость функции, имеющей мыожество точек разрыва нулевой меры Лебега. Рассмотрим далее функцию !(х), заданную ыа отрезке [а, ь], ограниченную и измеримую иа нем.
Тогда для некоторого М > О для всех точек х б [а, ь] выполняется неравенство [!(х)] < М. Отрезок [-М, М] на оси ординат разобъем на» равных частей: — М ( уе < уь ° ° ° < у„= М. Множество точек х, удовлетворяющих условию у, <,г(х) < у,ьы обозначим через Е„а = О,...,» — 1. Заметим, что множество Е, измеримо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
