Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1 Отсюда следует, что интеграл ) ф сходится при о и расходится при а ) 1. а < 1 и равен —,' Замечания. 1. Точка Ь называется особой оьочкой интеграла Е 2. Если предел ь" б )й существует, то говорят, что несобственный ь интеграл ) у(х) ах сходится, а если — нет, то говорят, что этот а интеграл расходится. ь 3. Если особой точкой интеграла ) у(х) йх является нижний предел интегрирования, то несобственный интеграл второго рода определяется аналогично.
4. Если особая точка с лежит внутри отрезка [а,6], то несобствень ный интеграл ) у(х) 4х определяется как сумма двух несобственных интегралов: ввтегралов первого рода. 1. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго ь родо. Для сходвмоств интеграла ) у(х) дх необходимо в достаточно, О чтобы имело место условие Коши: для всякого с > О нашлось число б = б(с) > О такое, что прв любых аюах с условиями аюах Е (6 — 6,6), аь ( аю выполнялось веравевство «ь ~у(х) дх 1 С е 2.
Обиьий признак сраенения, Пусть для всех х Е [а,6) справшьпиво ь неравенство (у(х)) с у(х) и весобствеяяый интеграл )у(х) дх сходится. а ь Тогда сходятся интеграл ) у(х) пх. Ь ь 3. Несобственный иитеграл второго рода ) у(х) дх называется абсо- О Ь лютно сходяихимся, еслв сходится хятеграл ) (у(х)) дх, я условно а сходяихямся, если оя сходится, яо не абсолютно, т.е. интеграл ь ) (у(х)( дх расходятся. а Можво сформулвровать признаки, аналогичные признакам Абеля и Дврихле для яитегралов первого рода.
И ваковец, любой интеграл с бесконечными пределами иятегрироваввя (вли одним бескомечпым пределом вптегрировавия) и конечным числом особых точек можно рассматривать как сумму иесобствеппых интегралов, каждый вз которых имеет одну особую точку, явлшошуюся границей отрезка иятегрвроваввя (точки +оо в -оо также можво считать особыми), т.е. исследование льобого несобственного интеграла сводятся к несобственным вятегралам первого в второго рода.
254 Перейдем теперь к рассмотрению осворных свойств несобственного ь интеграла второго рода ва примере интеграла ) у(х) дх с единственной О особой точкой 6. Этв свойства аналогичны свойствам весобствеиных 3 б. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕСОБСТВЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Т е о р е и а 1.
Пусть производная р«(1) непрерывна иа отрезке [а,р) я отлична от нуля на янтервале (а,р), я пусть функция Дх) непрерывна на явтервале (5«(а), р()у)). Тогда ямеет место формула в(Ф) Ф У(х) !(х = у(«р(1)) р«(1) «(1 ч(««) как для собственных, так я для несобственных яятегралов. Д о к о з а т е л ь с «а е о. Пусть сначала точки а и Ф являются конечиымя. Тогда особыми точками функций у(х) и у(«р(1)) могут быть копны соответствующих отрезков.
Ввиду монотонностя функции х = у(1) каждое значение х принимается лишь один раз, когда переменная 1 изменяется на интервале (а, )2). Тогда для любых 51 > О и «2 > О по теореме о замене переменной для собственного интеграла имеем «(Ф-««) / «(Е«.= / «(«(!5«'(!~«! ««+«! ч(!«+««) Переходя к пределу в этом равенстве прн г! -+ О н «2 ~ О, получим искомую формулу. Если же а и ф — бесконечны, то, взяв ам Д б )й я используя вновь теорему о замене переменной для собственного интеграла, получвм ««(р!) У(х) «(х = У(р(1))р'(1) 11.
ч(е!) а! Отсюда, переходя к пределу при а1 -+ — оо я )21 -+ +со, получим искомое равенство. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а й. Пусть: Ц функдяя у'(х) я у'(х) — непрерывны на промежутке (а, +оо); 2) сходится хотя бы один яз несобственных интегралов «(х)з'(х) «2х Я / «"'(х)У(х) !2х; 3) существует предел 11 = йп у(х)у(х), а в случае есля а е-«+со особая точка, то существует предел 12'- — 1пп у(х)у(х). «-«а 255 Тогда существуют оба интеграла и имеет место равенство у(*)д'(*) ~* = ((*)д(*)(.' — ~ У'( )д( ) ~ « а ,7 о и а з а»п е л ь с о» е о. Рассмотрим собственные интегралы на отрезке [а +», 6]. По теореме об интегрировании по частям в собственном интеграле будем иметь )(х)д (х)»»х = )(х)д(х)(, — )'(х)д(х)»(х.
«+» Устремив в этом равенстве» к нулю, а 6 к плюс бесконечности, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана. Иногда полезными оказываются следующие специальные определения несобственного интеграла. +А Определение 1, Вещественное число ! = !пп ) ((х)»6х назы- А-«+о« вается главным значением (по Коши) интеграла ),((х)»»х и обозначается' так. » = о.р. Дх)»(х. Определение 2. Если с — особая точка несобственного интеграла второго рода от функции ((х) и с Е (о,6), то главное значение интеграла определяется так: «-« ь ,=» ~»(о * — )'»о>»*) б-«О « »+« Глава Х ,КЛИНА ДУГИ КРИВОЙ Лекции 12 т 1.
КРИВЫЕ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Определение 1. Кривой Е в пространстве Ж (пространственной кривой в т-мерном пространстве) называется множество тодек М С Им, состоящее нз всех значений (рд(д),..., др (д)) некоторой вектор-функции хд — — дед(д),...,х = др (д), причем функции Р; (Д),, дРс,(1) заданы па некотоРом пРомежУтке ! С дк и непРеРыены в каждой точке его. Под промежутком мы понимаем либо конечные отрезки, интервалы и полуинтервалы, либо бесконечные интервалы и полуинтервалы. Для простоты в дальнейшем будем рассматривать случай ! =-[а,Ь]. Напомним, что в концах отрезка непрерывность понимается как односторонняя непрерывность. Определение 2.
Точка с = (сд,..., с„,) б Е называется кратной точкой кривой Е, если имеются по крайней мере две различные точки дд ~ дд промежутка ! такие, что рд(дд) = рд(дд) = сд,..., др (дд) =- = р ь(Н) == сп~. Точки кривой, не являющиеся кратнымн, называются простыми точками кривой. Кривая ь, имеющая только конечное число кратных точек, называется параметризуемой кривой. Крива» 1, ве имеющая кратных точек, за исключением, быть может, концевых точек промежутка !, называется простой кривой.
Если только в концевых точках дд н дз отрезка ! значения функций дрд(д),..., р (д) совпадают, то простая кривая называется простой замкнутой кривой. Л е м м а. Всякую параметризуемую кривую можно представить в виде объединения конечного числа простых «рнвых. ,дд о к а з а вд е л ь с пд е о. Достаточно отрезок ! разбить на конечное число отрезков с концами в кратных точках исходной кривой. Определение 3. Функция !'(1), непрерывная на отрезке [а, Ь], называется кусочно-линейной [а, Ь], если для любого значения д б [а, Ь), за исключением конечного их числа: дд,...,д„д, имеем: !'(д) равна постоянному значению на каждом отрезке [ды1ь+д), Ь = О,...,и. Это 9 Хсмм и зсмоизкю Ч ыыис означает также, что на любом Отрезке [1Ю Ма+1] имеет вяд 2(1) = аь1+Ьь (здесь 1е — — а„1„= Ь). Определение 4.
Простая крввая ь' называется ломаной лмнией, есля ~о1(1),..., р (1) являются кусочно-лянейяымн функцяямя. Очевидно, что каждая ломаная состоит из отдельных отрезков, которые называются ее звеньями, а концы этих отрезков — точки АЮ,..,А„, называются ее узлами. Точки 1О,...,1„, которым соответствуют эти узлы, образуют разбвение отрезка [а,6].
Рассмотрим одно звено лЬманой с начальной точкой А1(хп...,х ) и конечной точкой А2(уп...,у ). По теореме Пифагора его длина ]1! равна величине ]1! = ЕСЛИ ЖЕ ТОЧКИ АЕ(ХЦЕ, Хувл),..., А„(ХЦь,..., Хрлж) ЯВЛЯЮТСЯ ПОСЛЕ- довательными узламк ломаной 1, то длине этой ломаной обозначается символом ]1! и, очевидно, она.равна Определение 5. Ломаная 1, соответствующая разбиению Т отрезка [а,6], называется вписанной в кривую Ь, задаваемую уравненяямя х1 = р1(1),...,х,„= р,„(1), 1 б [а, 6], если начальная точка звена совпадает с концом предыдуп2его и узлы ломаной 1 лежат на кривой Ь. Определение 6.
Простая кривая Ь называется спрямляемой, если длины ]1! всех ломаных 1, вписанных в крявую Ь, образуют огранячеяиое сверху множество. Определенме Т. Данной ]ь! Опрямляемой кривой Ь называется число, раююе точной верхней граня длин всех ломаных, вписанных в данную кривую. Замечания. 1. Очевидно, что если мы хотим правкльно определить понятие длины кривой, то мы делжны требовать, чтобы вписанная ломаная была короче самой кривой. В данном случае это так, поскольку кратчайшее расстояние между двумя точкамн, как известно, достигается на отрезке прямой, проходящей через этн точки. 2.
Бывают неспрлмляемме кривые, ио оня задаются очень сложно, и поэтому примеров нх мы приводить не будем. 258 у 2. ТЕОРЕМА' О ДЛИНЕ ДУГИ КРИВОЙ Т е о р е м а. Пусть функции сос(!),..., ср (!), задающие простую кривую б, имеют. непрерывные производные на отрезке (а, Ь]. Тогда кривая ? — спрвмляема и ее длина Щ выражается формулой ,~? о к а з а пс е л ь с са е о. Покажем сначала, что длина любой ломаной не превосходит величины А=? Пусть узлы ломаной ! соответствуют точкам !о,!с,...,1„разбиения Т отрезка (а, Ь): а = !о < !с « . 1„= Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
