Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 37
Текст из файла (страница 37)
С л е д с т в и:- е 2. Пусть функцвя ~(х) непрерывна на отрезке [а, 6] в функция д(х) янтегрнруема на этом отрезке, причем для всех точек х Е [а, 6] функция д(х) неотрнцательна. Тогда существует точка се [а,6] такая, что ь ь 1(х)д(х) Нх = у(с) д(х) Их, а а Д о к а з а эь е л ь с щ е о. По теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке существует точка с, а < < с < 6 такая, что р = у(с), тп < р < М. Отсюда в силу теоремы 1 получаем утверждение следствия. С л е д с т в и е 3. Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а,6]. Тогда на отрезке [а,6] найдется точка с такая, что ь У(х) Их = У(с)(Ь вЂ” а). а ,7 о к а з а щ е л ь с пь е о.
Данное утверждение получается вз следствия 2 при д(х)— : 1. Замечание. Среднее арифметическое значений арифметических функций на отрезке [а,6] стремятся к величине ь 1 à — ~ /(х) ех, Ь вЂ” а,7 О поэтому говорят, что интеграл — это среднее значение функции 1(х), на отрезке [о, 6]. Т е о р е м а 2 (вторая теорема о среднем значенини). Пусть функция у(х) я д(х) янтегряруемы на отрезке [а,6] Пусть, далее, функция д(х) на этом отрезке неотрнцательна и не убывает.
Тогда на отрезке [а,6] найдетсв точка с такая, что ь ь г'(х)д(х) Их = д(6) г'(х) Их. а с Д о к а з а оь е л ь с т е о. Рассмотрим последовательность разбиений Т„: а = хе « ° х„= 6 с условием, что диаметр Т», равный 6„, стремится к нулю при и -ь оо. (Например, всегда можно считать, что разбиение Та отрезка (а, Ц есть разбиение на п равных частей и тогда Б„= 1/и). Положим з ак <г» =~~~ у(хк) Ях) ох,М= зпр ~У(х)~, к=! хе [а,ь) Юк-1 и!к(у) = зпр ~д(х ) — у(хе)( = д(хк — 0) — у(хк ! + О). х',х" ЕЬ» Имеем !ㄠ— Дх)у(х) !(х = а з а! е < ') '.к(у) ~ (У( )~ (х < МЮ„~.,(у) < Мб„у(б).
к=! к=! Следовательно, 1пп а"„ = у(х)д(х) !(х. а Поскольку интеграл как функция нижнего предела есть непреь рывная функция, функция Р(х) = ( Д!) !(1 является непрерывной и достигает своего минимального и максимального значений на отрезке [а,Ь), соответственно, в точках а и р'. Теперь преобразуем сумму !г„. Имеем ю ю =,~ у(хк)г'(хк !) — ь'к д(хк)Р(хк) = кю! к=! у(хк+!)г(хк) — ~ д(хк)г(хк) = = у(х!)г"(а) + ~~! (у(х!,+!) — д(хк))Р(хк). 229 Так как для любого х б [а, Ь) справедливы керавенства г'(а) < г (х) < г (р), д(х) > О, и функцкя у(х) не убывает~ то из последнего неравенства для а„ получим г (а)у(6) < и„< г (р)у(6). Переходя к пределу при и -ь со, будем иметь г (а)у(6) < у(х)у(х) ох < г (р)у(6), т.
е. Р(а) < / у(х)у(х) ох < РЯ. 1 — у(6) / Поскольку функция г'(х) непрерывна на отрезке [о,6], по теореме Каши о промежуточном значении найдется точка с Е [а, 6], такая, что 1 Г г"(с) = — 1 у(х)д(х) ох = д(6) ( или ь ь у(х)у(х) Их = у(6) Дх) ох.
Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть функции у(х) и у(х) иитегрируемы на отрезке [а,Ь). Пусть, далее, функция д(х) яа этом отрезке неотрнцательяа и не возрастает. Тогда иа отрезке [а,Ь) яаудетси точка с такая, что у(х)у(х) ах = у(а) у(х) ох. Д о к а з а яь е л ь с вь в о. Положим х1 = -х, ~ь(хь) = = у(-х), уь(хь) = у( — х). Тогда в силу того что у(х) не возрастает на отрезке [а, 6], то функция дь(х1) не убывает на отрезке [ — 6,-а).
Поатому к функциям 7ь(хь) и у1(х1) можно прнменить теорему 2. Отсюда следует, что на отрезке [-6,-а] найдется точка -с такая, что -а -а ~ь(хь)уь(х1) Их1 = уь(-а) / у1(хь) ех1. -ь Ц пытегралах последнего равепства сделаем замену перемеыяой вида х = -хь Получим Г(х)д(х) ох = д(а) Г(х) ех. О О Теорема 3 доказаыа. С л е д с т в и е. Пусть фупкцяя Г(х) ы д(х) яптегряруемм па отрезке [о, 6] Пусть, далее, функция д(в) мокотояпа па этом отрезке. Тогда па отрезке [а,6] найдется точка с такая, что ь. с ь / Г(х)д(х) пх = д(а) Г(х) дх+ д(6) Г(х) 4х.
Г(х)дь(х) ох = д1(6) Г(х) ~Ь. а с Подставляя сюда выражеыие для д1(х), получим утверждение следствия. Пусть теперь фуыкпдя д(х) ые возрастает ыа отрезке [а,6]. Тогда, положим, дь(х) = д(х) — д(а). Фуыкцыя д1(х) — неотрицательная ы ыевозрастающая. Следовательно, к функциям Г(х) ы д1(х) применима теорема 3. Отсюда и следует искомая формула. Следствие доказаыо.
Пример. Пусть 6 > а > О. Тогда справедливо ыеравеыство ипх 2 — Их <-. х — а Я Действительыо, фуыкцыя — — положительна и певозрастающая яа 1 отрезке [а,6]. Тогда по теореме 3 найдется точка с Е [а,6] такая, что 1 Г . — ( в(пх Нх а,/ [ сов с — сов а ) 2 <— Накопец, приведем варыаыт доказательства второй теоремы о среднем для гладхих функций. ззь Д о к а з а пь е л ь с пь е о. Пусть сначала функция д(х) ые убывает па отрезке [а,6). Тогда фуякцыя д1(х) = д(х) — д(а) будет неотрицательной и пеубмвающей па этом отрезке.
Следовательыо, по теореме 2 имеем Т е о р е м а 4. Пусть функция у(х) непрерывна и функция у(х) дифференпируема на отрезке (о, 6), причем производная у'(х) на этом отрезке неотрядательна и непрерывна. Тогда иа отрезке (о,Ь) найдется точка с такая, что ь с ь /(х)у(х) Их=у(о) /(х) (Ух+у(6) Дх) юг. ,У о к о з о вь е л ь с пь е о. Пусть с г(ь) = /(х) Их.
а Тогда'функция г'(ь) как функция верхнего предела является дифференцируемой, поскольку подынтегральная функция у(х) — непрерывна. Следовательно, имеем ь ь — У(х)у(х) Ых = у(х) оР(х). Интеграл У проинтегрируем по частям. Получим 1= у(х)г(х)), — Р'(х) оу(х).
О Но так как у'(х) йеотрицательна, г'(х) н д'(х) непрерывны на отрезке (а,Ь), то по первой теореме о среднем значении интеграла имеем Р(х)у~(х) ох = г" (с) у~(х) нх = г'(с)(д(Ь) — у(о)). а а Следовательно, 1 = д(6)г (Ь) — у(6)г (с) + у(о)Р(с) = у(о) у(х) ох+ д(6) У(х) ох. а с Теорема 4 доказана. Лекщгя 8 3 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ Равенство, которое доказывается в следующей теореме, называется формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Т е о р е м а.
Пусть и > Π— целое число я пусть функция У(н) имеет (и+1)-ю непрерывную производную на отрезке [а, 6]. Тогда имеет место формула У(Ь) = У„(а,Ь)+ В„(а,Ь), где У„(а, Ь) — мвогочлея Тейлора, т,е. у (а,ь) = у(а)+ —,(6 — а)+ + —,(6- а)", у'( ) у1.1( ) и остаточный член К„(а, 6) имеет вид „(а, Ь) = —, У У "+' (1)(6 — )" 1 Г а Д о к а з а пг е л ь с га е о проведем методом математической индукции.
При и = О должно иметь место равенство у(6) = у(а) + —, у~(1) П1 = у(а) + у'(1) а1. Это есть формула Ньютона — Лейбница. Так что при и = О, теорема доказана. Пусть при и = Ь утверждение теоремы уже доказано, т.е. справедливо равенство у(Ь) = у (а,Ь) + гг (а,Ь). Докажем его при и = 6+ 1. Для этого проинтегрируем Вь(а,6) по частям. Получим н,(а, ь) = 1 Е у1"+'1(1)(ь - 1)ь,(1 = - ' Г у1'+'1(1) й(ь - 1)'+ = О гзз ь ь — У(ь+'1(()(Ь - ()"+'~ + ' Г У("+'>(Ь- 1)ь+' (( = (Ь+1)1 ) (6+1)! / « ь ) (Ь )ь+ь ( у(ь+о((()(6 ()ь+! (( (ь+1) (а 1 (Ь+ 1)! ' (Ь+ 1)! « -Подставляя это выражение в равенство, справедливое по предположению индукции при и = Ь, будем вметь /(Ь) = ~ь+ь(а, Ь) + Вь+ь(а,Ь).
Теорема доказана. Заме«акая. 1. После замены переменной иятегрироваыия вида 1 = а+и(6-а) остаточный член в формуле Тейлора можно представить в ваде 1 (Ь а)«+1 г В«(а,6) =, ~ ~("+'1(а+ и(6 — а))(1 — и)" йи. о 2, Если примеывть к остатку В«(а,Ь) теорему о среднем, то можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Шлемвльха — Роша, ыо, правда, при более жестких условиях на' фуякцию у(к). Действительно, при любом а > О имеем В (а,Ь) = — / У("+'1(1)(Ь вЂ” ()"+' "(Ь вЂ” С) ' й = «1 и! О = — У(«+11(с)(6 — с)«+ь а(6 — а)", 1 я(а где с — ыекоторая точка иятервала (а,Ь), В' качестве примеров получим формулу Тейлора с остаточным члеыом в иытегральыой форме для векоторых элемеытарыых функций пры а = О и 6 = к. В двух первых примерах воспользуемся формулой Тейлора из доказаииой выше теоремы, а в остальных ее вывод; мы упрощаем за счет примеыеыия специальных приемов.
1 Показапьеяьиая (Ьуикция. Из теоремы следует, что 2 « е« = 1+ *+ — + ° - + — + В 2! и! где 1 .«+1 В„= В„(О, «) = —, / е*"(1 — и)" ь(и. о 2. Тригономев2рические функции. Имеем где 1 1) и 2»+1 / (1 — и) "+'сових !!и, (2и+ 1)! о 1 (-1)~х2» гп = /(1 — и) "сових фи. (2и)! / о 3. Логарифмическая функция. Пусть у(х) = 1п(1+ х).
Тогда по формуле суммы геометрической прогрессии получим у'(х) — — = ~( х) + й=о Интегрируя это равенство пределах от О до х, найдем ( 1)й-1 й у !и 7(х) = !п(1+х) = ) + В„, В„= ( — 1)п/ —. й ,! 1+2 й»1 о 4. Арктпангенс. Пусть у(х) = огсойх. Тогда ( 2)п г(*) = — = ~(-*')'+ =* 1+х2 . 1+х2 й=о Проинтегрируем это равенство в пределах от О до х. Получим 1 ( 1)й ой+1 г !2» !! ' агссях = ~ +В„, В„= (-1)" / —.
2к+! ' / 1+!2 й=о о Из теоремы о среднем следует, что сун!ествует величина о = о(х) такая, что О<0<! и ( 1)» х2»+1 В„= 1+ ох2 2п+ 1 Отсюда имеем, что прн !х! < 1 предел В» равен О при я ~ оо, т.е. ЯО и при !х~ < 1 сходится ряд ~ ~~+)1-хой+! и он равен агсоях. й=о и ( 1)й-1хой 1 (2й — 1) ! 1( цй 2й - =Е ( )*. '"- 5. Формула бинома. Пусть у(х) = (1+х) .
Ранее было доказано (ч. 1, лекция 23, пример 5), что многочлен Тейлора д(х) = д„!(х), и ) 2, зтой функции в окрестности точки х = О имеет вид «-! а(о — 1)...(а — о+2) у(х) = 1+ ах+ + ' '', )х« =' ~~! акх, (и — 1)1 и, более того, ряд Тейлора 2, 'акхк сходятся при ~х) С 1 и равен к=о (1+ х) . Далее, функция у(х) удовлетворяет следующему дифференцнальному уравнению: ау(х) — (1+ х)~'(х) = О. Подставляя в это уравнение вместо функции у(х) ее ряд Тейлора и приравнивая к нулю козффяциенты при степенях аргумента *, получим равенства хак — (о — у+1)ак ! =О, 1г>1.
Отметим, что справедливость их можно проверить непосредственно. Найдем формулу для выражения Ь(х) = оу(х) — (1+к)у'(х). Имеем «-! И(х) = о ~ акхк — (1 + х) ~~! вакх" «-! «-2 «-! аакх~ — ~~! (й+ 1)аке!х — ~~! йа!,хк = к=! = (оао — а!)+~~ ((о-й)ак — (х+1)ак+!)х +(аа„!-(и-1)а«!)х" ! = = (о — и+ 1)а«!х" ' = па«х« Следовательно, остаточный член К = Г! (х) = у(х) — у(х) формулы Тейлора удовлетворяет уравнению оН вЂ” (1+ х)В' = па„х« т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
