Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Утверждение 2. Пусть функции 1(х) и у(х) яитегрируемы яа отрезке [а, Ь]. Тогда !) фуякция 1(х) +у(х) б В[а, Ь] и ь ь ь | Щх) +у(х)) дх = 1(х) бх+ у(х) бх; 2) для любого аеяьестаеяиого чясла Ь функция Ьу(х) б В[е, Ь] и ь ь Ь~(х) Их = Ь ~(х) Ых. 212 Д о к а э а т е л ь с ю в о. 1) Поскольку 1(х) и у(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь] и для любого раэмечеввого разбиения У: а = хь < бь < хь « . " б < х~ = Ь справедливы равенства ау(У)+оп(У) = ауа (У), переходя к пределу при Ьг -+ О, мы видим, что предел левой частв равенства существует, следовательно, существует в предел правой части, т.е.
функция Дх)+у(х) интегрируема на отрезке [а,Ь], и, кроме того, имеет место равенство ь ь ь 7 (Дх)+у(х)) ах= Дх) Их+ у(х) ах. В случае 2) имеем, что вью(У) = Ьау(У). Иэ этого следует интегрвруемость фуикпвя у(х) и выполненне равенства ь ь / Й~(х) Их = й ~(х) ух. а а Утверждение 2 доказано. Утверждение 3. Ц Пусть функция у(х) явтегряруема я веотрацательна на отрезке [а, Ь].
Тогда ь У(х) Ух > О. а 2) Пусть функция У(х) яятегрируема я неотрицательяа на отрезке [а,Ь], и пусть в точке х = хь вепрерывяоств у(х) выполнено неравенство у(хе) ) О. Тогда ь у(х) ах > О. О Д о к а э а т е л ь с аь в о.
1) Составим для любого размеченного разбиения У интегральную сумму в'(У). Она — неотрицательна, и, следовательно, интеграл как предел интегральных сумм будет величиной неотрндательной. 2) Поскольку хь — точка непрерывности и 7(хе) ) О, существует часло Ь ) О такое, что длЯ всех х с Условием ]х — хь[ < 6 имеем У(х) > ыРь. Возьмем любое размеченное разбиение У с диаметром ыэ ь У(х) Их О ь < ]У(х)] Их О Уу о х е в о т е л ь с т е о. Поскольку [У(х) У(у)[ > [У(х)] [У(у)[ имеем впр [У(х) — У(у)] > вор (]У(х)[ — ]У(у)]) ОИЕЬ» ОИЕО» и, следовательно, мь(У) > ыь([У]).
Отсюда для любого разбиения Т имеем, что а,(т) > а,л(т). По условию функция У(х) иитегрируема на отрезке [о,6], следовательно, существует разбиение Т такое, что ау(т) < в. Отсюда имеем а~д(т) < в. А зто по критерию иитегрируемости означает, что функция [У(х)[ интегрвруема иа отрезке [о,6]. Так как имеет место неравенство -[У(а < Я) < [Я)] то для любого размеченного разбиения 6~ получим -ха1(6») < ху(т ) < хщ(6'). Переходя в последнем неравенстве к пределу, будем иметь ь ь ь -) ~к.з» ваке».з) ~ке|»,, ь ь т, е. [ У(х) Их < ] ]У(х)] Их. О О Утверждение 7 доказано.
Утверзкдеиие 8. Пусть У(х) Е В[о,6]. Тогда У~(х) Е В[о,6]. Д' о к о з о т е л ь с т е о. Обозначим через М супремум функции [У(х)] на отрезке [о,6]. Тогда справедливо неравенство [У'(х) — У'(уН < 2М]У(х) — У(УИ, и, следовательно, ыь(У5) < 2Ммь(У). Отсюда получим а,,(т) < 2ма,(т), значит, по критерию интегрируемости функция У~(х) интегрируема на отрезке [о,6]. Утверждение 8 доказано, 515 Утвер1жцеиие ч.
пусть функция У(х) интегрируема на отрезке [о, 6]. Тогда функция ]У(х) [ интегрируема на нем и имеет место неравенство Утверщденне 9. Пусть фуякцмм у(х) м у(х) ммтегрмруемы ма отрезке (а, 6]. Тогда мх лрамзвелемме у(г)у(х) также ммтегрмруемо ма отрезке (а, 6]. л[оказоюельсэкео. Имеем Тогда нз утверждений 8 н 2 следует, что нронзведенне функцнй [(х) н у(х) ннтегрнруемо на отрезке (а,6]. Утверждение 9 доказано. Т е о р е и а (об ннтегрнруемостн сложной функцнн). Пусть ~(х) ммтегрмруема ма отрезке (а,6], т = [пГ у(х),М = впр у(х), м пусть ое[а,61 ое[о,ь[ р(х) непрерывна ма отрезке (тп, М).
Тогда сложная фуякцмя Ь(х) = [о(у(х)) ммтегрмруема ма (а,6]. Д о к а з а э1 е л ь с тл о о. Возьмем пронзвольное е > О. Тогда в смлу равномерной непрерывности функции ~р(х) на отрезке (~и, М] имеем, что существует число Ю = 6(е) > О такое, что для лкзбых хы хз Е (пк,М] с условием ]х1 — хз] < 6 выполняется неравенство ]р(х1) — р(хз)] < е. Далее, в силу критерия ннтегрнруемостн функции у(х) на отрезке (а,6] найдется раэбненне Т этого отрезка такое, что йу(Т) = ~~ ык(У)Ьхк < еб, ккп где ык(У) — колебанне функцнн у(х) на отрезке Ьк раэбнення Т. Разобьем все отрезки Ьк, Ь = 1,...,и, раэбнеяня Т надва класса.
К первому классу отнесем те Ьк, для которых справедливо неравенство ык(у) < б. На этих отрезках также нмеег место неравенство ык(Л) < ы Ко второму классу отнесем все остальные отрезки разбмення Т, т.е. те, для которых ык(у) > Ю. В связн с этим сумму йк(Т) представим в ваде Йл(Т) = Й1+ Йз где Й1 — — ~~ "ык(Ь)йхк, йз = ~ омк(Ь)ккхк, причем знак "штрих" в сумме Й1 означает, что суммирование ведется по 6, отвечашпсэм отрезкам Ьк разбиения Т, относящимся к первому классу, а знак """ в сумме Йз показывает, что суммнрованне ведется по числам Ь, отвечаюшнм отрезкам Ьк нз второго класса. Из определенна суммы Й1 нмеем Й~ — — ~~~ 'ык(Ь)Ьхк < е ~~~ 'Ьхк < е(6 — а). к к 216 Оценим сверху сумму длин отрезков Ьь, принадлежащих второму классу.
Имеем сахь < ~Х~ ьч~(у)сьхь < ~» ссь(Д[6хь = Йу(Т) < Ьс. к ь ь Следовательно,,» б»хь < г. ь Пусть С = »пах ]Р(х)]. Тогда для суммы йт получим оценку с"е[т,м[ Йь = ~~~ омь(Л)Ьхь < 2С~ "сбхь < 2Сс. Таким образом, имеем йь(Т) < с(6-а+2С), те. в силу произвольности выбора числа с > О получим соотношение' шЕйл(Т) = О Т а зто в силу критерия ннтегрируемости означает, что Л(х) = р(у(х)) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Теорема доказана.
з 10. АДДИТИБНОСТЬ ИНТЕГРАЛА РИМАНА Свойство аддитивности интеграла выражается следующим утверждением. Т е о р е м а. Пусть функции У(х) ввтегрируема иа отрезке [а,6]. Тогда для любой точки с б [а,Ь] ова ивтегрируема ва отрезках [а, с] и [с,Ь]. И наоборот если у(х) ивтегрируема иа [а,с] и [с,6], то ова ивгегрвруема ва [а,6], причем с ь ь ~(х) с[х + ~(х) ~[х и ~(х) Их Д о х а э а нь е л ь с в» е о. Пусть функция у(х) интегрируема на отрезке [а,Ь]. Тогда в силу критерия интетрнруемости имеем, что Ый(Т) = О, т.е. для любого с > 0 существует разбиение Т такое, что Т Й(Т) < с.
Рассмотрим разбиение Тс --ТО (с),отрезка [а,Ь]. Получим Й(Тс) < Й(Т) < с. Разбиение То можно представать как обьедивение разбиений Т» отрезка [а,с] и Тт отрезка [с,Ь]. Позтому Й(Т») + Й(Тз) = Й(Тс) < г. Следовательно а(т ) <, й(т ) < В силу иыфимум-критерия иытегрируемости функции у(х) отсюда имеем, что у(х) ицтегрируема ыа отрезках [а, с] ы [с, Ь]. Пусть теперь Дх) иитегрируема на [о, с] и [с, Ь]. Тогда для любого е > О существует разбиение Ть отрезка [а,с] и существует разбыеиие Тт отрезка [с, Ь] такие, что с Е й(т,) < —, а(т,) < —.
2' 2' Следовательно, для разбиения Т = Ть Ото отрезка [о,6] имеем й(Т) — й(Т ) + й(Т ) < — + — — с. Отсюда в силу ипфимум-критерия интегрируемости у(х) следует, что у(х) является интегрируемой па [а,6]. Возьмем произвольыые размечеыиые разбиения отрезка У1 отрезка [а,с] и Ут отрезка [с,Ь], У = Уь ОУь отрезка [а, 6]. Имеем равенство о(У) = а(У1) + а(Ут). Переходя в ыем к пределу при О~ -ь О, получим равенство (1).
Теорема доказана. По определению, положим, О ь Пусть Дх) ыцтегрируема ыа [с,а]. Тогда пры с < а, по определению, полагают с а ~(х) <(х = — ~(х) Их. а с В силу зтого определеиия утверждение теоремы можно переформулировать так. С л е д с т в я е. Пусть хо < хы а,6, с Е [хо, хь] и фуякция у(х) яитегряруема па отрезке [хо, х1]. Тогда о ь а у(х) Ых+ Дх) дх+ 1(х) Ьх = О. о с ь Здесь утверждается также, что интегралы на указаыиых отрезках с концами а,Ь,с существуют.
Для доказательства ввиду симметрычности равенства отпосительыо точек а,Ь,с достаточно рассмотреть один случай а < с < 6. Но это точно совпадает с утверждением теоремы. Г МН ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА Лекция 6 6 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ФУНКЦИЯ ОТ ЕГО ВЕРХНЕГО (НИЖНЕГО) ПРЕДЕЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА В предыдущей главе доказано, что если фуыкцня у(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то для любого х б [а, 6] она интегрнруема на отрезке [а, х], т.е. существует фуыкцня г'(х) = / у(и) аи. а Докажем несколько свойств этой функции.
Т е о р е м а |. Пусть у(х) внтегрируема на отрезке [а,6]. Тогда г (х) = [ у(и) аи является непрерывной функцией на этом отрезке. а Д о к а з а во е л ь с тв в о. Из нытегрыруемосты функции у(х) следует, что она ограничена на отрезке [а, 6], т.е. найдется постоянная М > 0 такая, что для всех а б [а,6] выполняется неравенство [у(х)[ < М. Возьмем любые точки х, х+ Ьх б [а,6].
Имеем ~шо*н=хь.~ь*)-Р(*о=~ / а г о< ) ооой зма*~. Зададимся произвольным числом е > О. Тогда для любой величины гъх с условием [Ьх] < тг имеем [Ьг'(х)] < е. Следовательно, функцня ЬР(х) является бесконечно малой пры Ьх -+ Опт.е. функция Р(х) непрерывна на отрезке [а,6]. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2.
Пусть функция у(х) внтегрируема на отрезке [а, 6] н непрерывна во внутренней точке хо этого отрезка. Тогда р(х) = ] ~(и) ди днфференцнруема в точке х = хо и р'(хо) = у(хо). о Д о к а з а и е л ь с т в о. В силу непрерывности функции з'(х) в точке хо для всякого числа е > 0 существует б = б(е) > 0 219 таксе, что для всех и с условием ]и-хо] < 6 справедливы неравенства У(хо) — е < У(и) < У(хо) +е.
Возьмем любое ]Ах] < о так, чтобы отрезок с концами хо и хо+Ах содержался бы в отрезке ]а, Ь]. Ивтегрируя веравевства, получим ао+ао *е+а* 1 1 Ьх,/ — (у(хо) — о) ав < Р(хо+ й х) — Г(хо) 1 Г Ьх < — ( (У(хо)+е) 1и, — Ах / т.е. прв любом Ах с условием ]Ьх] < д выполняются веравевства . Дхо) — е « У(хо) +е. ,16г" (х) Ьх Отсюда имеем Р'(хо) = 1пп — = Дхо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
