Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Т е о р е м а 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке функция 1(х) была интегряруема на нем, необходимо я достаточно, чтобы для любого г ) 0 сушествоваля ступенчатые функции Л(х) и д(х) с условием Л(х) < 1(х) < д(а), и такие, что 1(д) — 1(Л) < с.
Эту теорему мы доказывать сейчас не будем, поскольку построим теорию интеграла Римана, основываясь на более традиционном подходе, и в рамках этого подхода критерий ынтегрируемости и будет доказан. Тем самым, покажем, что оба подхода к построению интеграла Римана дают один и тот же класс иытегрируемых функций. Отметим также, что рассмотренный выше подход дает возможность определыть понятие площади фигуры Р через вписанные и описанные 185 простейшие фигуры. Подобным образом далее определим фигуры, измернмые по Жордану, и докажем, что для измеримостя по Жордану криволинейной трапеции, отвечающей функции у(х), необходимо и достаточно, чтобы г(х) была интегрируема по Риману. Существуют и другие конструкцяи, с цомощью которых можно ввести понятие и площади, и определенного интеграла, интересующего нас в первую очередь.
Смысл этих конструкций состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждой функции из некоторого класса свое число таким образом, чтобы при этом выполнялось ряд естественных свойств, которыми обладает площадь простейших фигур. Заметим, что чем сложнее конструкция, тем шире становится класс функций, для которых понятие "определенный интеграл" приобретает смысл. Мы здесь будем рассматривать конструкцию, предложенную немецкиМ математиком Б.
Риманом, и поэтому соответствующий интеграл будем называть интегралом Римана. Также познакомимся и с интегралом более общего вида; интегралом Лебега, но, в основном, будем заниматься интегралом Римана. Изложение оригинальной конструкции Б.Римана можно найти в его статье "О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда", написанной им в 1853 году.
Впервые эта статья была опубликована в 1867 году, На русском языке она появилась в 1914 году (" Харьковская математическая библиотека", серяя В, 1в2). Заметим, что, например, интеграл Лебега является более' общим, чем интеграл Римана, на том основании, что все функции, интегрируемые по Риману, также являются интегрируемыми по Лебегу, но не наоборот.
Но подчеркнем, что если функция интегрнруема двумя разными способами, то значения интеграла всегда обязаны совпадать. Так что задача расширения понятия интеграла может состоять только в том, чтобы приписать числовые значения определенным интегралам от все более широких классов функщяй, не меняя при этом значений интегралов для тех функций, у которых это значение установлено. Переходим к изложению конструкции интеграла Римана. Будем считать, что функпия г(х) определена на интервале (а,,б), содержащем 'отрезок [а, 6].
Определение 1. Конечное множество Т точек хм хм..., х„называется (неразмеченным) разбиением отрезка [а,б], если в ) 1 н а=ха<х1« . х„=з. Определение 2. Будем говорять, что разбиение Т~ предшествует разбиению Тэ (или разбиение Тт следует за разбиением Т1), есл» имеет место теоретнко-множественное включение Т1 С Тт (нлн Тт Э Т1). Рюбненне Тэ называется измельчением разбиения Т~. Очевидно, справедливы следующие свойства. 1а. Всякое разбиение есть измельчение са~юого себя. 2~. Если Тз — — ТкИТз, то разбиеиие Тз есть измельчеиие и разбиения Т1, и раэбиеиия Ть Для любого раэбиеиия Т = [хе,хь...,х„) через Ь» обозначим отрезок вида [х» ьх»]. Длину этого отрезка обозначим так: ккх» = х» — х» Определение 3.
Величина бает = квак Ьх» ивзывается диаме1<»бк тром разбиении Т. На каждом из отрезков Ь» выберем точку (», 6 = 1,...,о, т.е. х» 1 < 6» ( х». Определение 4. Совокупность точек (хе,...,х„,бь...,б„) называется размеченным разбиением отрезка [а, Ь]. Обозначим его через У, а соответствующее ему иеразмечеииое разбиеиие — через Т = Т(т').
Определение 5. Сумма о(У) = УЫ1)ккхк + ". + Ш )Ьх = К Я») 1»хк »кп называется интеграиьиой суммой функдии,1(х), соответствуюшей размечевяому разбиеиию К Определение 6. Число 1 яазывается определенным интегралом (Римана) от функция 1(х) ва отрезке [а,6], если для всякого к > 0 сушествует 6 = 6(е) > О такое, что для любого размечевяого рвзбяеяия У отрезка [а, 6] с условием Ьт < 6 справедливо яеравевство [1 — п(У)[ ( е, т.е.
о [1 — ~,И»)6» к[< е »и1 Для интеграла ! используют обозиачеиие ь — 1(х) ох. квт Определение Т. Функция 1(х), для которой существует интеграл Римана, лазываетсл интегрируемой (по Риману) ва отрезке (а, 6]. Легко доказать следующее утверждение. Если существуют два числа 11 и 1г, удовлетворяющие определению интеграла Римана от функции 1(х) па отрезке (а, Ь], то они совпадактг, т.е. 1г — — 1г. Действительно, если, например, 1г < 1г, то в качестве величины е возьмем число, равное -'(1г — 11). Тогда в силу определения интеграла существует число Ю = 6(е) > О такое, что для любого размеченного разбиения У с условием гак < Ь имеем ]о'~ — 1г] < е, ]аъ — 1г] < е. Следовательно, Отсюда получим 1г — 11 < 1г — 1ь что невозможно, так что имеем 1г = 1г.
Утверждение доказано. Ь Определенный интеграл 1 1(х) Их можно рассматривать как предел а по некоторой базе. Определим эту базу, т.е. опишем множество окончаний, из которых она состоит. Напомним определение базы В подмножеств Ь основного множества А.
Окончании 6 С А базы В, т.е. ее элементы, удовлетворяют следующим условиям: 1) пустое множество не является окончаняем базы; 2) для любых двух окончаний 6п 6г базы В найдется окончание Ьз б В с условием 6з С Ьг О Ьг. В качестве основного множества А возьмем множество всех размеченных разбиений отрезка (а,Ь]. Для каждого Ь > О рассмотрим множество 4 С А, состоящее изо всех размеченных разбиений с диаметром Ьг меньшим, чем 6, т.е. гбг < б. Совокупность множеств (Ьг) и будет искомой базой. Интегральная сумма ц(У) является.функцией, определенной на множестве.А размеченных разбиений У.
Тогда определенный интеграл от функции 1(х) на отрезке (а, 6] оказывается не чем иным, как пределом интегральных сумм ц(У) по базе В, т.е. 1 = 1(х) йх = 1ппа (У). в а Напомним, что это равенство означает следующее: для всякого числа е > О существует окончание Ьг = Ьг(е) базы В, такое, что для любого размеченного разбиения У б Ьг(е) имеет место неравенство ]ц(У) — 1] < е. Отметим, что в предыдущем определении интеграла в качестве б = б(е) > О надо взять величину б, которая порождает окончание Ью(г). Так как интеграл — это предел интегральных сумм по базе В, то к нему применимы теоремы о пределе функции по базе множеств. Докажем следующее важное свойство интегрируемых функций. Т е о р е м а 2.
Пусть функция т(х) интегрируема на отрезке (а, Ь]. Тогда она ограничена на нем. Д о к о з а ю е л ь с т в о. Предположим, что функция г(х) не ограничена на отрезке (а,Ь]. Возьмем любое разбиение Т; а = хэ < х~ < < х„= Ь этого отрезка такое, что зт < б. Тогда существует отрезок Ь„= (х„ых„], на котором функция у(х) не ограничена. Покажем, что н(У) не ограничена. Возьмем любое число М > О. Построим разметку У разбиения Т такую, что ]н(У)] > М. С этой целью точки б1,...,(, 1,б,+м...,б„возьмем произвольно. Положим У(бь)Ьхь й 1,КЗЬ' Поскольку функция у(х) не ограничена на отрезке з„, существует точка б, Е ьь, такая, что Отсюда имеем ь У(6)Ахь в=1,вяжи > Ьх,— А=М, И+А ьтх,.
/о(У)/ > !~(б,)Ьх,]— следовательно, в(У) не ограничена, т.е, функция у(х) — ие интегри- руема. Теорема 2 доказана. Лекпзгн 2 1 3. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ Установки критерий ннтегрнруемостн по Рнману функция, ограннченной на отрезке.
Определение 1. Верхней суммой Дарбу функцнн,у(х) на отрезке [а, Ц, отвечающей разбненяю Т = (хе, ., х„), называется сумма е $(Т) = ~) М»Ьх», »вц где М» = вор 1(х), Ь» — отрезок [х» их»), а Ьх» — его длвна. евйь Нижней суммой Дарбу называется сумма е в(Т) = ~пц,Ьх», »вц где т» = Чп1 1(х). аЕйв Определение 2. Число 1* = )п1 Б(Т) называется верхним инте- ТЕА' гралом, а число 1, = впр в(Т) — нижним интегралом от фуннцян ТЕЛ' )'(х) на отрезке [а, Ц, где А — множество всех разбненнй [а,6]: Т е о р е м а 1. (Крвтернй Римана ннтегрнруемоств фупкцнв на отрезке). Для того чтобы ограявчеяная функция была внтегряруема на отрезке, небходнмо и достаточно, чтобы выполнялось условие (пп (Я(Т) — в(Т)) = О. йт-~в Для доказательства этого критерия нам потребуются следующие свойства верхних в нижних сумм Дарбу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
