Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

2. )О Их=с, 3. 1соэ хйх = эшх + с, так как (81пх) = соэх. Для доказательства этих равенств надо проднфференцировать правую часть и убедиться, что ее производная равна функции, записаиной слева между знаком ( и символом ах. Она называется подынтегральной функп.ией. Знак ) называется знаком интеграла, а выражение, записываемое справа от него, — подынтегральным выражением. Легко видеть, что подынтегральное выражение есть не что иное, как дифференциал любой первообразной функции для у(х).

Действительно, если Р(х) — первообразная для у(х), т.е. Р'(х) = у(х), то по определению дифференциала йР(х) = 7(х)с)х, А так как 1(х)Йх = Р(х) + с, а(Р(х) + с) = ЙР(х), то можно записать равенства ИР(х) = Р(х) + с, Н у(х)йх = ИР(х) = у(х)Ых, (2) / причем знак равенства в последнем соотношении означает, что все функции, входящие в совокупность ) у(х)ах, имеют один и тот же дифференциал аР(х). Также имеем (3) У( И =У( ).

Определение 4. Нахоэкдение неопределенного интеграла от функции у(х), заданной на (а,э), называетси интегрированием этой функции. Саму задачу нахождения неопределенного интеграла можно рассматривать как обратную к задаче нахождения дифференциала функция. состоит из всевозможных функпий, образованных суммами функций г'(х) + С(х), где г" (х) Е ) у(х)Нх, С(х) е ) у(х)ах, т.е. Цх)Их + ~ у(х) йх = (г (х) + С(х)), где (г (х)) = ~ С'(х)Их, (С(х)) = ~ д(х)Йх. Теперь для доказательства (5) в силу свойства (4) достаточно продифференцировать эти равенства.

Доказательство закончено. Заметим, что для простоты применения на символы ) у(х)Их и ) у(х)дх удобно смотреть, как на обычные функции, подразумевая под ними некоторые первообразные для функций У(х) и у(х) соответственно, а равенство между выражениями, в которые они входят линейно, понимать с "точностью до постоянной", имея в виду, что правая н левая части отличаются на функщпо, постоянную па (а, Ь). С помощью свойства (4) можно легко установить еще два свойства неопределенных интегралов, важных для непосредственного интегрирования: правило интегрирования по частям (6) и(х)э(х) — н(х)ае(х) = и(х)ди(х), правило замены переменной где х = ~р(С) — дифференцируемая функция от С, определенная на интервале (а,С7), причем множество значений (у(С)) принадлежит интервалу (а,б). Мы предполагаем, что в обоих равенствах интегралы в левых частях действительно существуют; из этого следует существование интегралов и в правых частях этих равенств.

Докажем свойство (6). Так как по условию интеграл в левой части равенства существует, то ее дифференциал равен Отсюда в силу свойства (4) следует справедливость свойства (6). Для доказательства свойства (7) заметим, что по правилу дифференцирования сложной функции и свойству (3) при * = у(С) имеем ~Х( )Ых) = ~/ ~(х)Нх) — ' = С(х)( — 61.у'(С) = ~(р(С))р'(С). < ~' ау(С) гго Следовательно, согласно свойству (4) интеграл ) у(х)<(х при х = р($) есть в то же время и неопределенный интеграл от функции у(р(1)) р'(Ф), т.е.

' что и требовалось доказать. С помощью дифференцирования легко убедиться в том, что справедлнвы следующие равенства для неопределенных интегралов от простейших элементарных функций: 1) ) х"дх = *„+, + с, п ф — 1; 2) )' ~* = 1п)х)+с; 3) ) -,ф~ — — агсФйх+ с; 4) ( ~г~т = 1 ~ з~- ~ + с; 5) (-(4у г — — агсзшх+с; б) )"-„+- =1п)х+ ~(хеж 1~+ с; 7) )' а*Их = 1-'„—; + с, а > О, а ф 1, ) еЧх = е' + с; 8) ( вшей= — созе+с; 9) 1'соех4х = вше+ с; 10) ) г — сгйх+с, 11) );— т-; —— 1йх+с; 12) )" 1пхИх = х1пх — я+ с.

Как мы уже отмечали, не всякая функпдя имеет точную перво- образную, потому что не всякая функция является производной от другой функции. Рассмотрим, например, функцию 1, если х Е (0,1), у(х) = 2, если х = 1,' 3, если х Е (1,2). Эта функция определена на (0,2) и не может являться производной какой-либо функции Р(х) на (0,2), так как по теореме Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения, а у(х) — всего три значения: 1, 2, 3.

В дальнейшем мы докажем формулу Ньютона-Лейбница, из которой следует, что функция, непрерывная иа интервале, имеет первообразную, т.е. интегряруема. Поэтому все элементарные функции интегрируемы на всех интервалах, входящих в их области одре- деления. Однако в' результате интегрированяя далеко не всегда получаются снова элементарные функции, как это ямеет место при дифференцировании. Например, можно доказать, что функцяи Г ая )(я = / — (янтегральяый логарифм), / !вя г 8!вх э1 я = — яя (интегральный синус) не являются элементарными.

Функции, сами не являющиеся элементарнымя, но определяемые через них с помощью аналитических соотношений тапа интегрирования н дифференцирования, обычно называют спец;мальными функциями. Однако следует отдавать себе отчет в том, что, например, с вычислительной точки зрения специальные функции, вообще говоря, "ничуть не хуже", чем элементарные, а иногда и "лучше". Но все же простейшие элементарные функции имеют преимущество, состоящее в простоте тех функциональных соотношений, которым они удовлетворяют.

Еще раз подчеркнем, что единого метода интегрирования элементарных функций существовать не может, так как первообразная может н не быть элементарной функцией. Но для нахождения первообразной в явном виде имеется несколько приемов. Говоря о методах интегрирования, снова напомним, что для выяснения того, является ли известная нам функция Р(я) первообразной для у(я), нет необходимости "брать интеграл", т.е. вычислять ) у(х)Их, здесь надо просто найти Р'(х) и сравнить ее с у(я) . Примеры. 1.

Пусть функция у(я) имеет непрерывную производную на (а,Ь)„С(я) = ~, с„. Тогда а<обэ Действительно, если я — не целое число, то, поскольку С(я) и ~ с„кусочно-постоянны на интервалах, не содержащих целых а<п<а точек, Р'(я) = -С(я)у'(х).

Равее мы убедились, что Р(х) непрерывна на (а,Ь). Так что Р(я) есть первообразная для функций С(*)У'(я). 1тт 2. Пусть функция у(х) имеет'непрерывную производную на (а, Ь), р(х) = -' — (х). Тогда имеет место формула Действительно, если х — не целое число, то Р'(х) = (-р(хЩх))' = у(х) — р(х)~'(х). Далее, так как Р(х) — непрерывная функция, то Р(х) — перво- образная для функции у(х) — р(х)~'(х). Иногда дифференцирование ответа оказывается очень громоздкой процедурой, так что целесообразно с помощью различных приемов сводить процесс вычисления к табличным интегралам. Для того чтобы уверенно и быстро вычислять интегралы, необходим определенный навык применения стандартных приемов интегрирования.

Самые простые и самые общие из этих приемов — это метод замены переменной н метод интегрирования по частям (см. свойства (5) н (6)). Подробнее с различными методами интегрирования можно познакомиться, например, в (4, 7, 15, 16]. Лекция 30 ДОПОЛНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ПО ГЕЙНЕ НА ФУНКЦИИ, СХОДЯЩИЕСЯ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ Предметом настоящей лекции является распространение классического понятия предела функции по Гейне на общий случай сходимости по базе множеств. Как известно, построение курса математического анализа основано на двух эквивалентных понятиях сходимости: пределах по Коши и по Гейне.

Одновременное использование обоих понятий в курсе мотивируется его содержанием. В частности, это позволяет унифипдровать и сделать значительно яснее использование пределов во всем их разнообразим, включая теорию интегрирования, функции многих переменных и др. Необходимо отметить, что понятие сходнмостн по базе множеств было впервые сформулировано А.

Крыжановским 122] (в несколько отличающейся терминологии). В 1937 г. В.И. Гливенко )23] использовал это понятие для общего определения интеграла. Позже, как отмечал А.Н. Колмогоров, франпузская математическая школа пришла к тому же понятию в рамках теории фильтров. В связы с успешным развитием теории сходимости по Коши возникла неотложная необходимость в соответствующем обобщении понятия предела функции по Гейне [24],125].

Здесь мы решаем эту задачу. Введем понятие Н-предела по базе, которое совпадает с классическим определением предела по Гейне в простейших конкретных случаях. Затем установим эквивалентность понятия Н-предела по базе, введенного нами, и общепринятого определения предела функции по Коши. Наконец, как нетривиальный пример введенного понятия Н-сходнмости по базе, мы продемонстрируем новый подход к определению и исследованию верхнего и нижнего пределов функции по базе.

1, Пусть А — основное множество элементов х, А = (х), и пусть  — база его подмножеств, которая состоит из бесконечного числа окончаний Ь, т.е, 6 С А, Ь б В, удовлетворяющих следующим условиям: 1) каждое окончание является непустым множествоп; 2) для любых двух окончаний 6п Ьэ существует окончание 6з такое, что Ьз С 6| й Ьэ, Определение 1. Мы называем последовательность 1х„], х„б А, фундамекшальной по базе В, если для любого окончания 6 существует только лишь конечное число членов последовательности, которые не принадлежат 6, Определение 2, Фундаментальная последовательность называется монотонной (по базе В), если условие х„Е 6 влечет условие х„+1 Е 6 для каждого окончания 6.

Далее мы ограничимся базами В, удовлетворяющими также следующим условиям: 3) длЯ любых двУх окончаний Ьм Ьз имеем, что либо Ь1 С 6», либо Ь, С Ь,; 4) существует по крайней мере одна монотонная последовательность по базе множеств В; 'б)П =. ЬЕВ 2. Докажем несколько свойств монотонных последовательностей по базе. Л е м м а 1. Пусть (х„) — монотонная последовательность по базе В. Тогда существуют ее лодпоследовательность (у»), у» = х„„, я последовательность окончаний 6» е В, зависящая от (у»), такие, что х„, Е Ь», яо х» ф 6»+и Ь»+1 С Ь».

Характеристики

Список файлов лекций