Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Д о и а з а ог е л ь с ге е о аналогично доказательству леммы Дарбу, Например, если у'(х) > О при х Е (а,а+ е), то а — краевой минимум, поскольку при х е (а,а+б) существует с Е (а,а+ 6) такое, что у(х) — у(а) =У'(с)(х — е) > О, т.е. Др) > Яа). Лемма 2 доказана. Обпгаи схема построении графика функции у(я) 1. Найти область определения функции У(я). 2. Учесть особенности функции (четность,периодичность, знакопеременность). Найти пересечения графика с осями координат.

3. Отметить значения функции на границе области определения и в точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты. 4. Найти наклонные асимптоты. 5. Определить участки монотонности. Определить локальные и краевые экстремумы. 6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба. 7. Отобразить перечисленные особенности функции при построении ее графика. Лекция 26 з 16. ИИТЕРПОЛИРОВАНИЕ Целью интерполирования, или интерполяции, является приближенное нахождение функции по известным значениям этой функции и ее производных в некоторых заданных точках области ее определения. Эта задача становится определенной, если задан вид функции и число неизвестных параметров не превышает количества заданных значений функции и ее производных.

Так, например, многочлен и-й степени имеет и+1 параметров (его коэффициенты) и может быть определен по значениям его в и+ 1 различных точках. Пусть в точках х1,..., х„многочлен Р(х) принимает соответственно ЗНаЧЕНИЯ ДХ1),, ЬХс). Т е о р е м а 1. Существует единственный мпогочлсп Р(х) степени и — 1 такой, что Р(хь) = ~(хь), lс = 1,..., и.

,7 о к а э а т с л ь с»и в с. Имеем 1, если х= хм Яь(х) = О если х х1 ° хь 1 хь» \ «хс где 1чь(х)— (х — хг)... (х — хь 1)(х — хь+1)... (х — х„) (хь — х1) (хс — ха 1)(хь — хь+г)... (хь — х„) ' Тогда Р(х) можно записать в виде Р(х) = 1(х1)Я1(х) + -. + 1(х„)Я„(х) Докажем, что многочлен Р(х) единственен. Действительно, допустим, что существует еще один многочлен с указанными свойствами, т.е. ч(хь) = э(ха).

Отсюда получим, что многочлен (и — 1)-й степени имеет и корней; а именно, Г(хь) = О, )г = 1,..., и, Следовательно, Р(х): — О, т.е. многочлены Р(х) и Я(х) тождественно совпадают. Теорема 1 доказана. Формула, задающая многочлен Р(х), называется ннтерполнпнонной формулой Лагранжа. При этом точки хг,...,х„называют Узлами интерполяции. Пусть ~(х) — 'некоторая функция.

Обозначим через Рь(х) многочлен степени х — 1, принимающий в точках х1,...,хь значения 1(Х1),...,1(хь). Тогда ннтерполяционную формулу можно записать в виде в Р(х) = Р1(х) + ~ (Рь(х) — Рь 1(х)) = Р„(х). 1=2 Многочлен Рь(х) — Рь 1(х) степени й — 1 в силу определения обращается в нуль в точках Х1,...,хь 1. Следовательно, он имеет вид Аь(х — хо) (х — хь 1). Коэффициент Аь совпадает со старшим коэффициентом многочлена Рь(х) и в силу интерполяционной формулы Лагранжа равен (х1 — хг)...

(х1 — хь) ,1 (Хг) у(хь) + + (хг — х1)(хг — хз) . (хг — хь) (хь — Х1)... (Хь — хь 1) Таким образом, коэффициент Аь является некоторой функцией от хг,...,хь. Обозначим ее через Аь = Д(хг,...,хь). Тогда интерполяционный многочлен Р(х) можно записать так: Р(х)=~1(х1)+(х — Х1)~р(х1, хг)+ +(х — х1)... (х — хе 1)Д(х1,..., Хе), где, очевидно, полагая х = х1, имеем у1(х1) = Дхг). Эта формула называется интерполицнонной формулой Ньютона. Функции уь(х1,..., Хь), /с = 1,..., п, называются интерполирующами функциями.

Полагая в формуле Ньютона х = х„, получаем 1( .) = Р(х») = 1( ) + (» — )Ы л ) +" +(х„— х1)... (х„— х„1)у„(х1,..., Х„). Здесь узел интерполяции х„ — произвольное число, поэтому, заменяя х„ на х, будем иметь )(х) = ~(х1)+ (х — Х1)~2(Х1, хг)+ + (х — х1)...(х — х 1)~э(Х1,...,х) ° уменьшим количество узлов интерполяции на один, исключив точку х„1, запишем эту формулу для узлов интерполяции х1,...,х„г,х и вычтем получившееся тождество из предыдущего. Тогда получим 1.-1(хг,,х -г,х)-У -1(х1, ",х -1) .1е1Х1 ~ ° ° ~ Х» — 1~ Х) Х х» — 1 гвв Таким образом, при п = 2,3,...

имеют место соотношения Дх) — Дх) ) ~г (хи х) — Л (х „хг) Уг(хг х) = гз(хмхг х) = х — х1 х) — хг которые позволяют с помощьй простого алгоритма вычислить интерполирующие функции. Для определения всех коэффициентов интерполяционного многочлена Ньютона (и — 1)-и степени достаточно вычислить значения интерполирующих функций в -в( — -1 точках (с учетом кратности), Здесь существенно, что при добавлении новой точки интерполяций интерполирующие функции, вычисленные ранее, сохраняются и надо только добавить к ним значения интерполирующих функций в этой точке.

Т е о р е м а 2. Пусть функция Д(х) имеет и-ю производную яа отрезке (а,Ь), а < хг < хг « . х„< 6. Тогда имеет место формула у(6) = Р„(6) + В(6), где В(Ь) =, (Ь вЂ” хг)... (Ь вЂ” х„), ~1п)(с) причем с — некоторая точка, прянадлежащая (а,Ь). Д и к а з а т е л ь с ш в о. Рассмотрим вспомогательную функщпо В(х) = Дх) — Р„(х) — (х — хг)... (х — х„)Н, где Н вЂ” некоторое число, значение которого мы выберем ниже.

Имеем В(х)) = . = В(х„) = О. Величину Н найдем иэ соотношения В(6) = О. Отсюда по теореме Ролла, примененной п раз, получим, что существует числгь с Е (а,6), для которого В1")(с) = О, откуда у(")(с) — п)Н = О. Следовательно, ( и ) ( с ) и! Теорема 2 доказана. Лекция 27 6 17. МЕТОД ХОРД И МЕТОД КАСАТЕЛЪНЫХ (МЕТОД НЬЮТОНА). БЫСТРЫЕ ВЪ|ЧИСЛЕНИЯ Пусть функция у(х) дифференцируема на отрезке [6,6]. Тогда у(х) непрерывна на [а, 6] и по теореме Коши о промежуточном значении для любого и б %, лежащего между числами Г(а) и 1'(Ь), внутри отрезка [6,6] найдется точка с такая, что у(с) = а.

Естественной и важной задачей и в теоретическом, и в практическом смысле является задача вычисления приближенного значения числа с с наперед заданной точностью. Например, можно поставить вопрос о нахождении корня уравнения хт = 2 с точностью до десяти знаков после запятой, т.е. для ч'2 найти приближенное значение се такое, чтобы имело место неравенство [~/2 — са[ С 10 16 и т.п. Рассмотрим два естественных метода нахождения таких приближенных значений, а именно: метод хорд и метод касательных, который еще называют методом Ньютона, поскольку Ньютон первым его применил. Эти методы важны не столько сами по себе, сколько тем, что они являются простейшей моделью многих вычислительных процессов, применяемых в гораздо более сложных ситуациях.

Оба метода итерационные, т.е. они состоят в последовательном вычислении некоторых чисел х„ха,..., х„,.... При этом разность [с — х„[ -+ 0 при и -+ со, и поэтому, начиная с некоторого номера пс, она должна стать меньше наперед заданного значения, называемого заданной точностью или погрешностью вычисления. Метод хорд. Число х1 определим как абсциссу точки пересечения горизонтальной прямой у = а с "хордой" графика функции у = 1(х), т.е. с отрезком, соединяющим точки (а,у(а)) и (Ь,Г(Ь)). Обозначим отрезок [а, 6] через Ге.

Полагая А = у(а) и В = 1(6), исходя из подобия соответствующих треугольников для нахождения величины х1 имеем уравнения: а — А  — а а — В х1 — а 6 — х1 х1 — 6 Отс1ода находим х1(а — А) — 6(а — А) = х1(а — В) — а(о — В), — а(о — В) + 6(о — А)  — А 160 часам в качестве 1~ берем один из отрезков [а,х~] или [х'~,Ь] так, „тобы число а вновь находилось между значениями 1(х) на его концах, т.е.

па концах отрезка 1, функция 1(х) — а имеет значения разных знаков. По тому же правилу находим 1т и т,д. Получим систему вложенных отрезков: 1е Э 1~ З . ~ 1» ~ ... Как известно, они содержат общую точку с. Если, например, ~'(х) > О, то 1(х) не убывает, и тогда из непрерывности 1(х) следует, что 1(с) = а, поскольку на концах каждого из отрезков 1„функция у(х) = 1(х) — а имеет значения разных знаков.

Метод касательных. Этот метод состоят в следующем. Пусть для простоты а = О. (Если это не так, то вместо уравнения 1(х) = а рассмотрим уравнение у(х) = О, где у(х) = 1(х) — а.) Величину х~ определим из соотношения — = 1'(Ь) т.е, х~ = Ь вЂ”вЂ” 1(Ь), 1(Ь) Ь вЂ” ., ' ' У (Ь)' При и > 1 далее имеем У( '.) х»+1 — х» .у (х») В обоих методах надо еще уметь определить момент, когда следует оборвать процесс вычислений.

Чтобы упростить решение этого вопроса и сократить объем вычислений, применяют следующий комбинированный метод. Метод хорд и касательных. Сущность этого метода состоит в нахождении пар точек х„,у„, подчиненных следующему условию < с < у„.

Схема вычисления величин х„и у„такова. Пусть У»(х) > 0 на 1с — — [а,Ь]. Определим х~ по методу хорд, а у~ по методу касательных. Тогда имеем х~ < с < уы и далее за 1~ принимаем отрезок [хну~]. Точно так же, находя хт по. методу хорд, а ут по методу касательных, получим отрезок 1т — — [хм уз] и т.д. Как только окажется, что [х„— у„[ < Ь, на этом процесс вычисления с с точностью до Б обрывают.

Характеристики

Список файлов лекций