Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теорема доказана. Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для вычисления пределов. Действительно, при х -+ 0 имеем, например, 5 хз хз 81П Х вЂ” Х вЂ” + — + О(Х ). 3! 5! Отсюда з1пх — х+ хз/6 хз/!20+ о(хз) 1 1пп = 1пп а ФО хз а.+0 хз 120 Важно отметить, что локальная формула Тейлора имеет и глубокий содержательный смысл.
В частности, она обобщает понятие дифференцируемости функции в точке, поскольку при и = ! мы получаем из нее данное выше определение дифференцяала функции. Будем говорить, что при некотором и Е И функции У(х) и у(х) имеют касание и-го порядка в точке хе, если при х -+ хе выполняется соотношение у(х) — у(х) = о((х — хе)"). Тогда локальная формула Тейлора утверждает, что многочлен Тейлора у„(х) имеет касание и-го порядка с функпией У(х). Заметим, что если два многочлена и-й степени Р (х) и Оа(х) имеют касание порядка и в некоторой точке хе с какой-либо функцией у(х), то их коэффициенты совпадают и Р„(х) = Яа(х). Действительно, тогда имеем б„(х) = Ра( ) — Сг„( ) = (Р.(х) - И )) + (У(х) - !Х-(х)) = '((" 1ЗЗ Но так как многочлен 6„(х) имеет степень п, то, устремляя х -+ хэ, получим, что все коэффициенты Ь„(х) равны нулю.
Это и означает, что Р„(х) и Я„(х) представляют собой один и тот же многочлен. Отсюда также следует, что многочлен Тейлора У„(х) = 7„(а, х), из доказанной выше теоремы, определен однозначно. Производные функции Дх) в точке а выражаются через его коэффициенты с» по формулам Яа) = й)с», й = 1,, в, Интересно, что возможна ситуации, когда в точке а функция Дх) вторая производная у"(а) уже не существует, и в то же время в этой точке имеет место касание порядка и > 2 этой функции и многочлена Р„(х) степени п. Тогда при й > 2 величины с» д» = —, 'к!' где с» — коэффициенты многочлена Р»(х) = Я с»(х — а)», можно »=о рассматривать как обобщение понятия производной соответствуюшего порядка функпии у(х) в точке х = а.
Будем называть эти числа метками х-го порядка функции у(х) в точке х = а и обозначать их через д» = д»(~(а)). Приведем пример, в котором на отрезке [а, 6] функция у(х) "почти всюду" разрывна, но в то же время она на "всюду плотном множестве" имеет не только производную первого порядка, но и метки д»(Дх)) любого порядка (точный смысл слов, взятык в кавычки, станет ясным ниже).
Эта функция задается так О, если х — иррациональное, у(х) = и ", если х = — '„", (и», п) = 1, Относительно данной функции ограничимся доказательством утверждения, касающегося существования только первой производной. Очевидно, что если хэ — рациональное число яз отрезка [0,1), то У(х) раэрывна в точке хо. Если хо — иррациональное число, то для любого е > О существует лишь конечное число дробей со знаменателями, не превоскодяшими Ф = [-,') + 1, а именно, гм...,г». Пусть б = пил [хо — г»[.
Тогда для любого х с условием [х — хо[ < э' »<» имеем Щх) — У(хо)( = [У(х)[ < У ~ < Ф < е. »за Далее нам потребуются следующие определение и теорема. Число а называется алгебраическим, если ово удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, Ояо будет иррациональным, если любой многочлев первой степевя с аелымя коэффициентами пе обращается в нуль. Т е о р е м а (теорема Рота). Пусть с — иррациональное алгебраическое чясло и р > 2 — произвольная постоянная. Тогда существует конечное число пар (р,о) целых чисел, о > 1, (р,о) = 1 тахяк, что Пусть хо — любое алгебраическое иррациональное число.
По теореме Рота при р > 2 неравенство р 1 ]*о — -] <— имеет лишь конечное число решений. Обозначим эти решения через сь,...,кс. Зададимся произвольным е > 0 и положим и ' ' ' ' о. ' Ф = так(ды..., о„, р, [1/е] + 1), о = ппп 1хо —— об~ ) о, Тогда, если ]х — хо] < Б, то при х = ти/и, (ти, и) = 1, имеем, что ~ги ~ 1 1 и > У, ] — — хо] > —, ]У(х) — У(хо)] = —. и иг ип' Следовательно, ! у(х) — у(хо) и " „1 1 < — =и « — — <е х — х и э и Ф Есля же х — иррапиональное число, то У(*) — У(хо) .х — хо Таким образом установлено, что при алгебраическом иррациональном числе хо функция у(х) имеет производную, равную нулю.
гзо Назовем множество А всюду илов!ммм на отрезке [а,Ь), если для любой точки х б [а, Ь) в каждом интервале, содержащем х, находится хотя бы одна точка множества А. Тогда указанная выше функция будет: 1) разрывна на всюду плотном множестве отрезка [0,1], 2) непрерывна на всюду плотном множестве в [О, 1], 3) иметь производную на всюду плотном множестве в [0,1] (см. [34]). В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос'. Будет ли функция д(х) на отрезке [а, Ь] дифференцируема и раз, если в каждой точке этого отрезка у функции у(х) существует метка ! д„у(х)? Пример функпяи у = е '! 6!не!!~ дает отрицательный ответ на этат вопрос.
В заключение приведем другое доказательство локальной формулы Тейлора, допускающее простое обобщение на случай функций от нескольких переменных. Второе д о к а з а т е л ь с !и 6 о и!еоремм. Применим метод математической индукции по параметру и. При и = 1 утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что и ) 1. Из условяя теоремы вытекает, что функция г(х) дифференцируема (и — 1) раз в некоторой окрестности У точки х = а, и в самой точке дифференцируема и раз.
Кроме того, в точке а сама функция и все ее производные до и-го порядка включительно равны нулю. Далее, пусть х Е 1! и Дх = х — а. Обозначим через д(1) функцию вида у(1) = г(а+1Дх). Тогда имеем г(х) = г(х) — г(а) = г(а+ Дх) — г(а) = у(1) — у(0) Отсюда, применяя формулу Лагранжа к функции у(1), при некотором (, 0 < 4 < 1, получим г(х) = у'(~) = г,'(а+ уДх)Дх. Заметим, что точка а + сДх е Г Поэтому к производным в правой части последнего равенства можно применить предположение индукции с заменой значения параметра и на и — 1.
'Тогда будем иметь г'.(а+ СДх) = о([х — а[" ). !66 Отсюда следует, что г(х) = о(~х — а("). Теорема доказана. т 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки можно записать приближенное равенство Дх) ш Д„(а, х).
Оказывается, что многочлен ~„(а, х) может хорошо приближать Дх) н в некоторой, иногда весьма большой, окрестности точки а. Более того,.знание всех чисел у1"1(а), соответствующих только одной точке а. часто позволяет вычислить ((х) при любом х с любой требуемой степенью точности. Этот факт важен не столько для вычислений, сколько для построения теории, Выражаясь более точно, мы сейчас докажем одну из важнейших теорем анализа, центральную теорему курса в этом семестре, а именно: формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме (или в форме Шлемильха-Роша). Т е о р е м а (формула Тейлора). Пусть Дх) — (и+ 1) раз дифференцируемая функция иа интервале (хе, х|). Пусть а < Ь вЂ” любые дяе точки из этого интервала.
Тогда для любого положительного а > О существует точка е, лежащая между а и 6 такая, что +1уЬ вЂ” ~ „+, у<"+П() г„(Ь) = у(Ь) — У„(а, Ь) = ~ — ) (Ь вЂ” с)" + а [Ь вЂ” с (и+ 1)! Напомним, что ~„(а,Ь) = у(а) + —,(6 — а) + -+, (6 — а)". г ( а ) ~ 1 е 1 ( а ) ~7 е к а з а гп е л ь с ш в е. Определим число Н равенством Х(6) — Д (а, Ь) (Ь вЂ” а)а По существу, нам надо доказать, что на интервале (а,6) найдется точка с такая, что О и+ (6 )е+г-а У ( ) а (и+ 1)! 1зт Докажем зто, опираясь на теорему Ролля. Равенство, определяющее число Н, можно записать так: у(Ь) — у„(а, Ь) — Н(Ь вЂ” а) = О. Рассмотрим функцию у(1), определенную на (а,ь] соотношением „,(1) = У(6) -У„(1,6)-Н(Ь-1)".
Тогда, очевидно, у(а) = О. Кроме того, имеем, что 1с(1) дифференцируема на (а,ь) и непрерывна на (а,Ь). Далее, так как справедливо равенство у„(6,6) = у(ь), то р(Ь) = У(ь) — У(ь) — Н(ь — Ь)" = О. Следовательно, по теореме Ролля на интервале (а,6) производная р'(Г) обращается в нуль в некоторой точке с, т.е. ср'(1) = О при 1 = с, с Е (а, Ь). Запишем 1~'(1) в развернутой форме: 1о (1) = — ~„(1,6) + ан(ь — 1)е Я) + —,(Ь вЂ” М) + + —,(Ь вЂ” Ф)") + аН(Ь вЂ” 1)'" У'(1) „, У'"'(1) с Так как при з = 1,...,н имеем то у (М) = оН(Ь вЂ” 1) — (Ь вЂ” 1)": Отсюда при $ = с получаем Ь вЂ” сг" у,'( ) - Н(Ь ) — г1»+ и! Следовательно, н = + 1(ь — )"+' а (и+ 1)! Доказательство закончено.
С л е д с т в и е. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемнльха — Роша верна и прн а > 6. Доказательство. 1. Если Ь = а, то 1„(а,Ь) = Яа), г,(Ь) = О и формула имеет место. 2. Если 6 < а, то применим теорему к функции у(з) = )'(2а — з), 61 = 2а — 6. Тогда 61 > а и справедливо равенство д(Ь1) = у„(а, 61) + В„(61).
Но легко убедиться в том, что у(Ь1) = у(6), д„(а,Ь1) = ~„(а,Ь), )1„(61) = г„(Ь). Действительно, имеем (Ь1 — а)* = (а — Ь)' = (-1)'(Ь вЂ” а)'; у'(а) у(")(а) у„(а,Ь1) =у(а)+ — (Ь1 — а)+ . + (Ь1 — а)" = г(з)(а) = У(а) + †(Ь вЂ” а) + + (Ь вЂ” а)" = у„(а, 6). Далее при некотором с1, а < с1 < 6, справедливо равенство (в+1) а 61 — с1 (и+ 1)! Положим с = 2а — с1. Тогда 6 < с < а, (в+1) .(6,) =""~ — '') ' '"'( —.)-+ =..(6). а '), Ь вЂ” с (и+ 1)! Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша в случае а > Ь имеет тот же вид, что и при а < 6. Следствие доказано. Частные случаи формулы Тейлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
