Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1. Остаточный член в форме Лагранжа (а = о+1). В этом случае а + 1 1 Ь вЂ” с / (и + 1)! (и + 1)! 2. Остаток в форме Коши (а = 1): и + 1 6 — а „, 1("+1) (с) гз(Ь) = — — . (Ь вЂ” с)" + 1 Ь вЂ” с (и+ 1)Г Ь вЂ” с с = а+у(Ь вЂ” а), О < д < 1, 1 — д = —, Ь вЂ” а' (6) = ( — )"+'(1 — д)" У ( ( )). и! 139 Замечания. 1. Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае а = О обычно называется формулой Маклорена. 2.
Сравнивая формулы Тейлора с остаточными членами в общей форме и в форме Пеано, видим, что в первом случае имеем более точны» результат, однако достигается зто за счет более жестких требований к функции. В самом деле, в первом случае в окрестности точки, в которой рассматривается разложение, требуется существование (п+ 1)-й производной данной функции, а во втором случае— только (и — 1)-й производной, то есть на две производные меньше. Лекния 23 1 13. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА К НЕКОТОРЫМ ФУНКПИЯМ 1.
Показательная функняя1 /(х) = е . Имеем /(О) = /'(О) = " = /(»)(О) = 1 /("+'1(х) = .* Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает внд Х2» «+1 е'=1+ — + — + + — + ев, 0<0<1. 1! 2! п! (и + 1)! При любом фиксированном х остаток в ней стремится к нулю, поскольку «+1 1пп = О. »-нм (и+ 1)! 2. Функння /(х) = вгпх. Имеем /("1(х) = яп х + п- 2/' /(~~+'(дх) =вгп Вх+(2х+1) — .= ( — 1)йсовдх. 2/ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дает з в гй-1 .2й+1 в1пх = х — — + — — .+ ( — 1) + ( — 1) совдх.
й-1 й 3! 5! (2(г — 1)! (2х + 1)! 3. Функния /(х) = сова. Имеем лг /("1(х) = сов х + « — ), 2) 1(дх) = сов дх+ 20 —, = (-1)й сов дх. 2/ Тогда хг х~ .гй-2 гй сов х = 1 — — + — — .. + ( — 1) + ( — 1) — совдх. й-1 й 2! 4! (2(с — 2)! (2й) ! 141 4.
Функннн у(х) = 1п(1+ х). Имеем у (х) = —, у1"1(х) = ( — 1)" 1+ х (1+ х)" Следовательно, х2 хг .о 1п(1+ х) = х- — + — -" +(-1)" 1 — + Л, 2 3 п Заметим, что если (х(< 1, то В„-+ 0 при п ~ оо. Кроме того„ а) если 0<х<1, то Щ<„+г 6) если — 1< — г<х<0, то )Л„(<ф — -„~, где (остаток в форме Коши). 5. Фунюспнн у(х) = (1+ х) . Имеем у00(х) = а(а — 1)...
(а — и+ 1)(1+ х) поэтому а(а — 1) г а(а — 1)(а — 2) 2 3! + а(а — 1)... (а — и+ 1) а+ К где В„= ( 1) ( ) "+'(1+0 ) " ' 0<0 <1 (остаток в форме Лагранжа), а(а 1) .. (а и) чт1(1 д )а 1 1 Вг + гх ( уг, 0< г< (остаток в форме Коши). Если (х) < 1, то Н„-~ 0 при п -~ со. Мы видим, что во всех этих случаях й» -+ 0 при и -+ со. Другими словами, 1пп Д„(О,х) = ~(х). 242 Это предельное выражение символически записывается так: У(х) = ~(а) + †, (х — е) + + , (х — а)" + ..
у~(а) урй (е) я называется ридом Тейлора функции у(х) в точке х = а. Заметим, что при всех и Е Ф для и-го члена ряда имеет место равенство ~Ой(а) „~Р'Дх) д"~(х) 1 Поэтому ряд Тейлора можно переписать в следующем виде иу Ру д" у Ь|= — + — + + — +...
1! 2! и! Тем самым определен точный смысл равенства, приведенного ранее в лекции 18, 14. Замечание. Ряд Тейлора не всегда сходится к породившей его функции. Пример. 1 Х(х) = е т, если хфО, О, если х=О. Тогда при любом натуральном й имеем уйй(0) = О. Таким образом, мы видим, что ряд Тейлора нулевой, а породившая его функция отлична от тождественного нуля. ыз Лекция 24 1 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ. ВЫПУКЛОСТЬ Наша дальнейшая цель — применение построенной теории к решению задач, связанных с изучением поведения функций. Одна из них — задача отыскания локальных и глобальных экстремумов функций. Ранее мы уже доказали ряд утверждений подобного типа. Напомним их, а заодно и некоторые понятия, которые потребуются далее. 1. '1'очки х, в которых 1'(х) = О, называются стационарными. 2.
Критерий возрастания (в широком смысле) на интервале (а,6) дифференцируемой функции: для того чтобы функция у(х) не убывала на (а, Ь), необкодимо и достаточно, чтобы ~'(х) > 0 на (а, Ь). 3. Критерий возрастания в строгом смысле: для того чтобы ,((х) строго возрастала на (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы ~'(х) > 0 на (а,6) я, кроме того, г"'(х) ф О ни на каком интервале (., 6,) Э (., 6). ' Отсюда имеем достаточное условие строгого возрастания: для того чтобы 1(х) строго возрастала, достаточно, чтобы ~'(х) > О при всех х б (а, 6).
4. Т е о р е м а Ферма. Если в точке хо б (а, 6) имеется несобственный локальный экстремум функции у(х), то хо — стационарная точка. Далее мы выведем несколько достаточных условий достижения функцией локального экстремума в заданной точке. Т е о р е м а 1. Пусть у(х) дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки хо (т.е. в этой точке у'(хо) = 0). Тогда: 1а) если )'(х) > О слева от хо и у'(х) ( 0 справа от хо, то хо точка строгого локального максимума функции 1'(х); 1б) если ~'(х) ( 0 слева от хо и ~'(х) > 0 справа от хо, то хо— точка строгого локального минимума у(х); 2) если ~'(х) имеет справа и слева от точки хо один и тот же знак, то хо не является точкой экстремума ни в широком, ни в строгом смысле.
Д о к а з а га е л ь с га е о. 1а. По теореме Лагранжа имеем 1(х) = У(хо) + ~'(с)(х — хо), где точка с находится на интервале с концами хо и х. 144 Из условия следует, что 1'(с)(х — ха) < О. Действительно, если х — хс > О, то с > ха и, значит, ('(с) < О, (х — хс)У'(с) < О; если же х — ха < О, то 1'(с) > О и (х — хо)('(с) < О. Отсюда получим, что У(х) < )(ха), что и требовалось доказать. Доказательство п. !б проводится аналогично, 2. Если ~'(х) > О справа и слева от ха, то 1'(с)(х — хо) < О слева и > О справа. Отсюда имеем 1(х!) < 1(ха) < 1(хз) при х~ < ха < хт, что и требовалось доказать.
Случай У'(х) < О рассматривается аналогично. Доказанная нами теорема позволяет сформулировать следующее правило исследования стационарной точки иа экстремум: Если при переходе через стационарную точку слева направо производная меняет знак + на знак †, то функция имеет локальный максимум в этой точке, если меняется знак — на знак +, то функция имеет локальный минимум, я если она не меняет знак, то локального экстремума нет. Т е о р е м а 1а. Пусть 1(х) непрерывна в некоторой окрестности точки и дяфферепцяруема в проколотой окрестности этой точки.
Если 1'(х) меняет знак + па знак — прн переходе через точку ха слева направо, то 1(х) имеет локальный максимум, если знак — па знак +, то локальный минимум, и если не меняет знак, то локального экстремума пег. Д о к а з а ш е л ь с т е о совершенно аналогично доказательству теоремы 1, так как там мы нигде не пользовались существованием производной функции )'(х) в точке х = ха. Обшее правило отыскания (локального и глобального) экстремума функции ((х) на отрезке в случае, когда 1(х) непрерывна и кусочно-дифференцнруема (т.е, дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек). Находим все стационарные точки и точки, в которых 1'(х) не существует, и проверяем их на экстремальность. Затем, добавляя концевые точки и выбирая наибольшее и наименьшее из значений функции в этих точках, находим ее глобальные экстремумы.
Т е о р е м а 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть ('(ха) = О и существует 1а(хд), Тогда: 1) если )" (ха) < О, то точка ха — точка (строгого) локального максимума; 2) если 1а(хс) > О, то точка ха — точка (строгого) локального минимума. ,7 о к а з а т е л ь с т е о. 1. Так как 1а(ха) < О, то 1"(х) Убывает в точке х = хш и посколькУ 1'(хс) = О, то ~'(х) менЯет знак шз с + на — при переходе через хо слева направо. Поэтому по теореме 1 точка хо является локальным максимумом. 2. уо(*о) > О, поэтому У'(х) возрастает в точке х = хо. Из теоремы 1 тогда следует, что хо — точка локального минимума. Доказательство закончено. Т е о р е м а 3 (третье достаточное условие экстремума). Пусть У'(хо) = " = У1"-')(хо) = О, У)")(хо) ~ О. Тогда: 1) если у)~")(хо) < О, то хо — точка локального максимума; 2) если у(оь)(хо) > О, то хо — точка локального минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
