Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пример. Пусть у(х) = х~ при 0 < х < 1. Тогда имеем ~'(х) = 2х при 0 < х < 1, у'(О+) = О, ~'(1 — ) = 2. Докажем теперь теорему о производной обратной функции. Вообще говоря, правило дифференцирования обратной функции просто следует из теоремы о производной сложной функции, но мы докажем его при более слабых предположениях, не требуя заранее существования производной обратной функции.
Т е о р е м а 2 (о производной обратной функции). Пусть функция у(х), определенная и непрерывнол на отрезке (а,6], имеет обратную функцию у(у), определенную на отрезке У, концамя которого являются точки 1(а) и ДЬ). Пусть хо — внутренняя точка отрезка (а,Ь], а уо — внутренняя точка 1, причем У(хо) = уо и у(уо) = хо. Пусть в точке х = хо функция у(х) имеет производную, отличную от нуля, т, е. 1'(хо) Р О. Тогда в точке уо функция д(у) имеет производную у'(уо), причем ,7 о к а з а т е л ь с т в о.
Если известно, что у'(уо) существует, то воспользовавшись предьгдушей теоремой, получаем: д®х)) = х, (у®х))) = 1, но (У(У(х))) = У (УоУ (хо). Следовательно, 1 У (Уо) = уч( Если существование производной заранее не предполагается, то доказательство проведем так.
Заметим, что Дх) строго монотонна на (а,Ь], следовательно, у(у) непрерывна на У и строго монотонна на нем. По определению производной У(У) У(Уо) о~и~ у — уо если этот предел существует. В силу непрерывности Дх) в точке х = хо и теоремы о пределе обратной функции имеем, что у(у) -> у(уо) = хо прн у -+ уо. Определим на 1 функцию г(х), полагая г(хо) = 1/у'(хо) и х — хо г"(х) = при х ф ао. Тогда г"(х) непрерывна в точке х = хо, поскольку х-хо 1 1 Р(хо) = 1пп = 1пп е~кь у(х) — у(хо) ~ко ЕЫ~ЕЫ ~'(хо) к-еа 1оо Сделаем замену переменной вида х = я(у): я(у) — яЬо) я(у) — я(уо) У(яЬ)) — У(я(уо)) у — уо Применяя теорему о пределе сложной функции, получаем, что суще- ствует предел 1пп Г(я(у)) = г (хо) = —, 1 о о.
У'(х),ая1„,1 Но, с другой стороны, 1нп г"(я(у)) = 1пп = я'(уо). я(у) — я(уо) 9->Уь о +оп у уо Тем самым доказательство теоремы 2 закончено. Т е о р е м а 3 (об инвариаитности формы первого дифференциала). Если вместо дифференциала независимой переменной х в формулу для дифференциала ау(х) функция У(х) подставить дифференциал некоторой функции х = р(1), то полученное выражение окажется дифференциалом сложной функции я(1) = ~(~р(1)), Другими словами, пусть ф = с1ах — днфференпиал функции у(х) в точке х = а, сйр = соа1 — дифференциал 1о(1) в точке 8 = а, причем 1р(о) = а. Тогда функция с14р = с1соа1 — дифференциал функции я(1) = ~(1р(Ф)) в точке 1 = о.
,7 о к а з а 1п е л ь с т е о. Эта теорема является прямым следствием теоремы о днфференцируемости сложной функции, так как согласно последней ЫяЯ = я'Яа1 = с1 стй = с! И1о(8), что и требовалось доказать. Смысл этой очень простой и, казалось бы, "пустой" теоремы станет понятным позже, когда мы увидим, что дифференциалы высших порядков уже не обладают свойством инвариантности. Пример. Решение уравнения Кеплера х = х(у): х — 66)в*= у, 0 < е < 1 — дифференцируемая функция в силу теоремы о производной обратной функции, причем 1 1 — е соо х(у) 106 ~ 3.
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Пусть 1(х), у(х) дифференцируемы, с Е 1й. Тогда имеем; 1) (с1'(х))' = с~'(х); 2) Если Г(х) = сопеь, то Г'(х) = О; 3) (з (х) + у(х))' = г'(х) + у'(х). Эти утверждения следуют из определения производной. Докажем, например, утверждение 3. Имеем: Ь(1 + д) = Ь 1+ Ьу. Откуда ь(У+ у) ьУ ьд = — + — -о У' + у' при Ьх -~ О. Ьх Ьх Ьх 4) (Дх)у(х))' = ~'(х)у(х) + ~(х)у'(х). ,Показательство.
Имеем Ь(Зу) 1(х+ Ьх)у(х+ Ьх) — З".(х)д(х) Ьх Ьх 1(х + Ьх)у(х + Ьх) — 1(х)у(х + Ьх) + 1(х)у(х + Ьх) — 1(х)у(х) Ьх 1(х + Ьх) — ~(х) . у(х + Ьх) — у(х) -+ д(х)1'(х) + у(х)у'(х) при Ьх -+ О, так как у(х + Ьх) -+ у(х), — -+,1'(х), — -+ у'(х) при Ьх -> О. Ь|, Ьд Ьу Ьх ( 1 )' у (х) у(х) ут(х) л1 о к а з а т е л ь с т в о. Имеем 1 1 ЬЯу) 7 +а ) у'~ у(х) — у(а + Ьх) у' поскольку Дд, 1 1 +д -о — при Ьх -+ О. у(х + Ьх) у(х) Следствия: и 1 (д1 " д)'тЕд1." дь "у' а=1 1от 2 ( — ) у у Производные элементарных функций (х")' = пх" ее+а* — е* ее* — 1 (е )'= 1нп =е 1нп =е; Ь -ио Ьх а*- 0 Ьх е!п(х+Г1х) — е!пх е!и 0' (01п х)' = !пп !$3п сое х+ — = сое х; Ь*-~0 Ьх Ьи-~0 .ЬЮ 2 (сове)' = -ешх, так как совх =е!п (-" — х); 1 1 1 1 (!пх)' = у'(у(х)) ег!и! е'"* х — — — — у(х) = 1пх, у(х) = е* обратная функция; у = х", о ~ Π— степенная функция, (хи)' = (еа!ии)' = (о!Пх)' еи!ии = нхи 1' гяпхт' сове совх+в!пх ешх 1 сов х сове х сове х 1 (агсе1п х)'— *) -,Д вЂ” —; — —, Л=Р гх .
т' 1 (агссовх)' = ( — — агЫпх) — 12,/Г=хг 1 1 ( ч*г= — г — — = —,; Гк (агсгй х) + 1 1+ хг 1 (агссгй х)' = — —. 1+ хг' Из теоремы 2 о дифференцировании сложной функции и из правил дифференцирования следует: (аи)! (еи Ь а)г еи!и а(х !и а)~ аи !п а. !пх ' 1 1 (1ой, х)' = ( — ) 1па !па (1п у(х))' = —; у'(х) у(х) и'и (ви)/ (си сии)/ еи!пи(0 !в п)ю ни (ег !г1 и и Замечание. Если !г(х) = у(у(х)), то символы Д(у(х)) и ~'(у(х)) определяются равенствами Д(у(х)) = Ч(х), Я(д(х)) = уг(у(х)), где уг(х) = у'(х). Лекция 18 1 4.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть у(х) является дифференцируемой в каждой точке интервала ;а, Ь). Тогда каждой точке х б (а, Ь) можно поставкть в соответствие число — производную у'(х) в этой точке. Полученная функция называется функцией, производной от данной, и обозначается также Г'(х). Может случиться, что она сама тоже имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной функции 1(х) и обозначается так; Подобным образом определяются третья, четвертая и все последующие производные: у'а(х) = (1' (х))', 1(")(х) = (у(" )(х))'. Пример.
(хэ)а = ((хз)')' = (Зхэ)' = бх. Т е о р е м а 1(формул» Лейбница). Пусть и, э имеют и-е производные. Тогда справедлива формула (ае)(э) н(п) + (и — 1)э! + ( ) п(п 2) а + + н (и) 2 где н(0) = п, е(0) = ю Д о к а э а га е л ь с т е о. (По индукции~.
При н = 1' утверждение теоремы справедливо. Предположим, что оно верно при н = э > 1. Докажем его при и = 4+ 1. Имеем юэ (О ) (т+1) (з-т) ) Ч ~ (О~) (т) (а-т+1) 4-~ ) П1/ Х-' '1,ГП/ т=е т=е *+1 8 (1) ( +1) т О) (1) ( +1) 1=1 1=0 (),р|,(* )~ ()„. ° ) ()„т' (() ~ ( ' ))„сер- ° 1 1т1 О+1 + р (1) (3-1+1) 1=Π— )"" поскольку Теорема 1 доказана Имеется еще одно обозначение для п-й производной, а именно: у(п)( ) дпу( ) У( ) 1(Х" Последнее обозначение связано с понятием дифференциала высшего порядка, к определению которого мы приступаем.
Пусть функция у(х) дифференцируема на (О,Ь). Тогда существует ее дифференциал Щх) = ~'(х)Нх. Зафиксируем значение приращения аргумента Нх = дх = Ь. Тогда 1(((х) можно будет рассматривать как функцию от х, заданную на том же интервале (О,Ь). Если она дифференцируема, то дифференциал имеет вид. 4У'(х)Ь) = Ул(х)ЬДх. Если мы в зтом случае значение Дх возьмем снова равным Ь, то получим Н(у'(х)Ь) = у"(х)Ь = ~О(х)Нх .
Это выражение называется вторым дифференциалом и обозначается 1Ру(х), т.е. 4,)(х) = ~о(х)Нх . ыо Аналогично определим; »( у(х) = »»(о~у(х)) = у"'(х)»»х , Ю'~(х) = <Ц»(" 'Ях)) = ~~"~(х)Йх". Очевидно, в силу такого определения можно записать: у(»»)( )» ( ) <~х»» Целесообразность введения понятия и-го дифференциала будет ясна' позднее. Например, далее мы увидим, что приращение»ау(х) во многих случаях можно представить в виде ,(» ь»2»,(зу,( у ЬУ = — + — + — +... + — +... 1! 2! 3! и! (формула Бернулли). Смысл этого равенства мы уточним тогда, когда будем его доказывать.
Заметим, что уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности. Действительно, если »'(х) = »»(х) и» "(х) = Уг(х), то при х = д(») имеем Щд(й)))»» — — (~»(д(й))д'(г))» — — ~г(д(м)) (д'(г)) + Л(д(й))д (т). Отсюда получим о~у(д(х)) = у»»(дя)»»»~ = ~" (д(х))(»»д(х))~ ~- ~'(д(х))»(зд(х), в то время как второй дифференциал функции у(х) равен и при подстановке в правую часть равенства функции д(1) получим выражение ~" (д(х))(»»д(х))~, которое, как видим, отличается от правой части равенства для»»~у(д(х)).
Следовательно, свойство инвариантностн для второго дифференциала не имеет места. Для того чтобы глубже прояснить сущность свойства инвариантности дифференциала, мы рассмотрим несколько более общие понятия. Будем называть дифференциальным моиомом Рь порядка Ь от и функций )(х),д(х),..., 6(х), и ( Ь, одной пе)эеменной х следующее выражение Рь = с1~~~(х)д(д1(х)...Ьтт1(х) ех~, где о+)т+ . + т = Ь, причем о,ф,..., у являются натуральными числами и с — некоторая вещественная постоянная. Всякая линейная комбинация дифференциальных мономов фиксированного порядка от одного и того же набора функций у,д,..., 6 называется однородным дифференциальным выражением порядка Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
