Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Заметим, что можно ограничиться случаем е, < 1. В качестве б(е) мы возьмем число б1 — — б1(е1) > О такое, что нз неравенства )х — хо) < б1 следует неравенство (а* *' — 1) < е1. Далее положим б(е) = б1(е1) = ф.. Имеем — б1 < х — хо < б1 . Так как а > 1, то Утверждение 2. Функция /(х) = э1пх непрерывна в точке хя Д о к а з а т е л ь с т е о. Вспомним, что 1япх( < (х(. Имеем тогда х — хо х+ го) * — хо )япх — япха~ = 2вп1 сое < 2 2 2 2 = (х — ха). Таким образом, для любого е ) О положим 6(е) = е, и получим )в1пх — в1пхо! < г Ч х: (х — хо( < я Следовательно, функция /(х) = япх непрерывна. Эти утверждения можно записать так: в!их = в1пхь+ а(х), а* = а~'+ 11(х), где а(х),;9(х) — бесконечно малые функции. При х -+ О, т.е.

при ха = О, имеют место более точные соотношения, которые называются замечательными пределами; 1) е(пх/х 1, 2) (е* — 1)/х 1. Эти пределы используются далее для изучения дифференциальных свойств элементарных функций. Лекции 13 9 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Утверждение 1. Имеют место соотношения: а) 1пп 1+ = е; е->с ~ б) 1пп(1+ х)1! = е; *ча в) 1цп — "1 +е1 = 1; еча г) 1пп — ','=1. е.в 0 ,О а к а з а т е л ь с т в о. а) Рассмотрим сначала случай х — + +со.

В силу свойства монотонности показательной функции справедливы иеравеиства 1+ — < 1+ — < 1+— Но мы знаем, что 1пп 1+ — = е. Отсюда 1пп 1+ — = е, 1пп 1+ — = е, т. е. справедливы утверждения а + — ) — е <е; +1) «4-1 + — ~ — е <е. и У е > О 3 Л!1 — — Ф1(е): Ч и > Ф1 =~ 1 Э А!г= Ще): т п>.х!т --~ 1 Тогда при и > тах(о'маг) имеем и е — е< 1+ — ) <е+е; и+1 ) в+! е — с< 1+-) <е+е. и (е1 1 (е1+1 е — е < 1+ — < 1+ — < 1+ — < е+е. 79 Если х > 1+ тах(Фп А!9) = М, то [х) > тах(Иы Фз) = Ф вЂ” 1. Следо- вательно, при х > А! справедливы неравенства Таким образом, получим Ф '««е>ОЭд«: Чх>!У ~ 1+ — ) — е <е.

х) Это значит, что 1+ — «е при х «+со. Рассмотрим теперь случай х -« — оо. Положим у = — х. Тогда, используя теорему 4 16 гл. П1 о пределе сложной функции, будем иметь 1пп 1 — — = 1пп 1 +— Соединяя вместе случаи х — «+сю и х « — оо, приходим к соотношению !пп 1+ — = е. 1' " е = 1пп 1 + — ~ = 1пп(1 + х) ~~. у->сю «у е->О в) Так как (1+х)'~*=е * «е при х — «О, то из непрерывности и монотонности функции у = ее следует, что 1п(1 + х) )пп ю-~О г) Вновь воспользуемся теоремой о пределе сложной функции, полагая у(х) = е* — 1 -«О при х — «О, !п(1+ у) Пр) = -«1 при у — «О, У и, кроме того, у(О) = 1. Тогда имеем Ду(х)) = х — «! при «О утверждение г), Утверждение 1 полностью доказано.

Отсюда следует Утверждение а) доказано. б) Для доказательства соотношения 1пп(1+х)«ух = е воспользуемся к-~О той же теоремой 4 16 гл. Ш. Полагая х = 1/у, получим Утверждение 2. 1пп '— '",' = 1. ~-~0 в(пх х 1ях — « — —. 2 2 2 Отсюда получим Ввт сова « — 1, Последние неравенства связывают четные функции, поэтому они имеют место при О < (х~ < х/2. Так как совх — непрерывная функция, то по теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем 01п х !пп — = 1. х-+0 Х Доказательство закончено. Примеры вычисления пределов.

1. 1пп 1-+'1 — = а. *-~0 (1 + х)а 1 гь1ь(1+х! 1 еав+ь(ь) 1 х х х 1+ ах+ о(х) — 1 = а + о(!) + а при х -+ О. х Этот прием называется заменой бесконечно малой функции на эквивалентную ей. ь-~0 1 — сов 2яца $2(-*+ ( )) — '+о(х2) 1 х 2 2 х х2 — — + 0(1). х 2 Таким образом: 1) (1+ х) = 1+ах+ 0(х) при х -+ О; 2) СОВ Х = 1 — х— + О(Х2) Пря Х -+ О; с 1+ — ' = е*. Положим х„= -„*-+ О при и -ь оо.

Тогда по пределе сложной функции имеем с ь 1+ — 1пп ((1+ х )1~*") = ехк " ~ — е 3) !пп ь-~сю 2СОРемЕ о 1пп 81 Д 0 к а з а п2 е л ь с ьа в 0. При О < х < ХУ2 рассмотрим сектор единичного круга, отвечающего дуге длины х, и два треугольника, один из которых вписан в сектор, а второй, прямоугольный, содержит его, имея с ним общий угол и сторону на оси абсцисс. Сравнивая пло1цади этих фигур, имеем 1 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1. Функция ~(х) называется непрерывной на множестве А, если она непрерывна во всякой точке х б А.

Если не все точки множества А входят в него с некоторой окрестностью, то это определение чуть-чуть меняется, например: Определение 1а. Функция !"(х) называется непрерывной на отрезке 1 =!а, 6], если она непрерывна лри всех ха с условием а < ха < 6, яелрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке 6.

Определение 2. Функция т(х) на множестве А называется а) неубывающей (т' 1' на А), если !(а) < !"(6) при всех значениях а,ЬбА, а<Ь; б) невозрастаюшей (1 1 на А), если Ца) > 1(Ь) лри всех значениях а,ЬбА, а<Ь; в) (строго) возрастаюшей (т 'Ц'), если Да) < т (Ь) лри всех значениях а, Ь б А, а < Ь; г) (строго) убывающей (у 66), если 1(а) > ДЬ) лри всех значениях а,ЬбА, а<Ь.

Если Дх) неубывающая, или невозрастающая, или возрастающая, или убывающая на А, то ~(х) называется монотонной функцией на А. Определение 3. Если в своей области определения функция Дх) ве является непрерывной в ~очке хю то она называется разрывной в точке хю Точка ха называется точкой разрыва !(х). Определение 4. Точка ха называется точкой разрыва первого рода функции Дх), если существуют конечные пределы 11тп Дх) ~-~~0+ и 1пп 1(х). В противном случае точка разрыва функции ((х) ~-э~оназывается точкой разрыва второго рода. Примеры, 1.

у = (х) имеет разрывы первого рода в целых точках. 2, у = з1п1/х в точке ха = 0 имеет разрыв второго рода. (Рассмотреть две последовательности х„ = †„, у„ = -„-7т+ †„.) Определение б. Разрыв первого рода в точке хэ называется устранимым, если существует !пп 1(х) = 1, но ! ф ((ха). т-+по Этот разрыв устраняется, если по-новому определить (или, возможно, доопределить) !(х) в точке х = хю положив !'(ха) = 1ппа,х, !'(х). Если 1(х) -+! при х — э хэ, ио 1(х) не определена при х = ха то говорят также, что имеет место устранямый разрыв. В противном случае разрыв первого рода называется неустранимым. Т е о р е м а 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке).

Пусть функция у(х) — монотонная на отрезке [а,6]. Тогда ояа может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода. Более того, при всех хв б [а,6] имеем !пп Е(х) = !п( у(х) =1ы йпз у(х) = впр у(х) =!ю *-~*а ь в>*а ' ~-+*О-,<„ 12 < у(хв) < 11 если е'(х) не убывает. если же функция е"(х) не возрастает, то 1пп е(х) = впр у(х) =!ы !пп у(х) = !пГ у(х) =Ез, в +ва+ в>вв в-+вв — в<во 11 < У(хо) < 1з. Д о н а з и ш е л ь с щ е о. Рассмотрим только один случай, когда функция у'(х) не убывает (у Т) на [а,Ь]. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Докажем теорему в этом случае: !пп у(х) = (п1 Е'(х) = Еы ~-+во+ в>эо Совершенно аналогично доказывается, что !пп Е(х) = вцр У(х) = Ег.

э-~во- в<ва Так как 11 — точнан нижняя грань множества значений у(х) при г>хо, то: !) Е(х) > 11 Ч х > хэ,' 2) 'Ф е > О 3 х1 > хв такое, что у(х1) <11+ в. В силу того, что у(х) неубывающая функция, имеем тх: ха<в<я! => 11<У(х) <11+в, следовательно, Е~ —— , !пп, „+У(х). Имеем еще, что число у(хэ) есть нижнЯЯ гРань дла [У(х)1 пРи х > хю откУда У(хв) < Еы Аналогично Е(хэ) > Ею откуда Ет < е(хв) < Еы что и требовалось доказать.

Т е о р е м а 2 (критерий непрерывности монотонной функции). Пусть у(х) определена и монотонна на отрезке, [а,6]. Тогда для непрерывности ее на этом отрезке необходямо и достаточно, чтобы для любого 1 б [у(а),у(Ь)] нашлась точка хв б [а,6] такая, что Е(хв) =1, Л о и а з п ш с л ь с ш в о.

Рассмотрим только случай неубывающей Функции Е"(х) на отрезке [а,6]. Необходимость. Возьмем любое число 1 б [У(а), У(6)]. Рассмотрим множество К = (х) С [а,6], Дла котоРых У(х) > 1, и пУсть хо = 1пГХ. Тогда, поскольку У(х) неубывающая функция, имеем )1п1 У(г) = 1пГ У(х) = !1 > 1. е-~ко+ к>жп При х < хо (если хо 46 а) У(х) < 1.

Отсюда Елп У(х) =12 <1, е +хО— т.е. 12 < 1 < Е1. Если У(х) непрерывна на [а,Ь], то У(х) непрерывна в точке хо, т.е. 1 = 11 — — У(хо). ('ледовательно, 1 — !2 — !1 — У(хо). Если же го = и, то У(а) <1< 11, но из непрерывности функции У(х) в точке а слева следует, что У(а) =11, а значит, 1 = У(а) =11.

доснтточность. Будем ра1'суждать от противного. пусть У(х) имеет разрыв в точке хо и У(х) не убывает на [а,6]. Тогда для значений 11 — — !пп У(х), 12 = Епп У(х) выполняются неравенства е-1ао+ к -Ф е ю— 12 < 11 и 12 < У(хо) <'11 Возьмем 1 б (12.11) и 1 ф У(хо). Имеем: 1 > У(х) при г < х1ь 1< У(х) при х > хо, Еф У(х) при х = хо, 'г.е.

функция не принимает значение 1 на [а,6]. Таким образом мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью. Т е о р е м а 3 (об обратной функции). Пусть функции у = У(х) строго возрастает и непрерывна на отрезке [а,Ь]. Тогда существует функци» х = д(у), строго возрастакицая, олределениая на отрезке [У(а), У(6)1 и непрерывна» на нем, такая, что у(У(х)) = х, т.е, у = У Д о к а з а т е л ь с 1н е о.

!. Отображение [а,6] -+ [У(а), У(ЬЦ ! инъективно, где '!а,Ь] = !1, [У(а),У(6)] = Г2, т.е. является вложением. Другими словами, для любых точен х1 ф хо имеем неравенство У( ) Ф У( 2) 84 2. Отображение / сюръектнвно, т.е. являегся накрытием. Это имеет место по теореме 2, утверждающей, что для любого числа 1 Е (/(а), /(6)] найдется точка хо Е (а, 6) такая, что /(хо) =!. Следовательно, .(' есть биекция, т.е.

У устанавливает взаимно однозначное соответствие между 1~ и 1ю Тогда существует обратное отображение 9, т.е. обратная функция х = 9(у). 1. Эта функция монотонно возрастает, так как если д! > йю то 9(уг) = х! и 9(уз) = хю причем 1(хг) = д! и /(хз) = ую Отсюда х! > хю поскольку 1(х) монотонно возрастает.

2. Эта функция 9(у) принимает все значеяия из [а, 6), так как для каждого х! сушествует д такое, что 9(у) = х, и этим у является число У(х). Отсюда в силу теоремы 2 имеем, что функция 9(у) непрерывна на отрезке 1ю Теорема полностью доказана. Используя доказанные выше теоремы о монотонных функциях, снова обратимся к изучению элементарных функций. Прежде всего, заметим, что при натуральном гп функция 1(х) = х = х... х является '~ ' Г !!! непрерывной и строго возрастающей при х > О. Действительно, если а > 6 > О, то а'">па ~6>а эР>. >аЬ !>6™1 Непрерывность же функции 1(х) = х™ следует нз того, что она является произведением гп непрерывных функций вида у = х.

Характеристики

Список файлов лекций