Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

По теореме 3 при всех х > 0 для нее существует обратная функция д(х), которая тоже непрерывна и строго возрастает. Дли нее, как известно из курса элементарной математики, используется обозначение д(х) = ~Гх и она называется операцией извлечении корня гп-й степени. Зафиксируем теперь число * > 0 и натурэльяое гп и рассмотрим числа У = ~в,г = 7/х". Тогда у~ = х, у"'" = х", х"' = х", откуда имеем (у")™ = х и у" = х, т.е. ( ~/х) = 7/х".

Это значит, что операция извлечения корня и возведения в целую степень перестановочны, и для числа х возможно использовать обозначения вида г = х"1 и — ! -и1!!! Пусть теперь г = а/Ь и т! — а!/6~ рациональные числа, причем а,а~ — целые числа, а Ь,Ь! — натуральные числа. Положим !!' = = х'1~ы!>! будем иметь е! (аь|~а!ь 1аь +а!ь тг * г+!! .Аналогично, получим ( е)е! (даь!) ь, ,!аа! тг~' х!'!'! 85 Таким образом, для рациональной степени фиксированного числа х выполняются те же функциональные соотношения, что и для целой степени того же числа х. Далее, используя прежние обозначения, допустим, что г > гг и я>1. Тогда с~>1, аЬ >а Ь и уь,>~1а1ь яг>яю Следовательно, при возрастании рационального числа т при я > 1 значения з' возрастают.

Далее положим я = е. Ранее для любого натурального Ь нами были получены неравенства 1+ — <е< 1+— Отсюда следует, что етк < 1+ — < ег. 1 Ь Выполняя очевидные преобразования, получим 1 1 1 ест < 1+ — =,, е тат > 1 — —.

1- Й' Ь+1 Далее, пусть (г~ < 1 и г = т/а. Тогда рп~ < п. Применяя неравенство Бернулли, приходим к неравенству (еь~l")!"'! > (1 -ь 1~а)Р"! е'"I" = е" > 1+ г. Отсюда в случае 0 < г < 1 будем иметь 1 е" < — = 1+ —. 1 — г 1 — г е '>1 — г, еа Пусть теперь о — иррацяональное число, и пусть рациональные числа г~ и г2 удовлетворяют неравенствам г~ < а < гю Тогда если (г~)— множество всех рациональных чисел, определяемых условием г~ < а, то соответствующее ему множество чисел М~ = (е"') ограничено сверху числом е"*. Следовательно, существует число о —— зир (е"'). В е,<а силу аналогичных соображений относительно множества Мт = (е"') существует число тт = 1п1 (е").

~.д>а Покажем, что на самом деле имеет место равенство у~ = ую Для этого сначала заметим, что каждое из чисел е" является верхней гранью множества Мм в то время как у~ есть точная верхняя грань этого множества. Следовательно, для любого г2 > о выполнено неравенство П < г"'. Это значит, что П есть нижняя грань множества Мт. Но так как тт — это точная нижняя грань данного множества, то 7~ < 7ю Выберем теперь некоторые значения т1 и гг с условием [а] < т1 < а < тг < [а] + 1. '1'огда справедливы неравенства е ' < 71 < 72 < е ' < г б < 72 7, < егг е" ег~(ег«-г, 1) < е("1+1 ! (т2 1'1) НО ИОСИОЛьку ЧИСЛО 72 — 71 — фИкСИровано, а ЧИСЛО гг — г1 ) О может быть сколь угодно малым (например, в качестве т1 и тг можно выбрать любые округления числа а с избытком и недостатком), то отсюда следует, что 72 — 71 = О, т.е.

72 = 11. Указанную величину 71 —— 7г — — 7 мы возьмем в качестве значения степени е, т.е. мы по определению полагаем 7 = 71 = 7г = е Тем самым мы определили функцию у = е* для всех возможных вешественных значений х. Осталось показать, что зта функция строго возрастает и удовлетворяет функциональному уравнению вида Г«1сгг Г«1+«~ Прежде всего следует сказать, что из ее определения вытекает, что если т1 < а < тг, где т1 и 12 — рациональные числа, то имеет место неравенство < еа < е«э Но тогда, если а < 11, то на интервале (а, 11) найдется рациональное число тг такое, что имеет место неравенство га <егг <ед Таким образом, строгая монотонность функция у = ег установлена. Пусть теперь д = а+12'. Заметим, что если д — рациональное.

число, то н в этом случае при рациональных т1 и тг имеем Е" = ЕПР Ег' = 1ПГ Е"'. г«<1, гг>г' Доказательство последнего равенства по суШеству повторяет рассуждения, проведенные нами выше для иррационального числа д. Представим теперь число т1 в виде т1 — — «1 +т1', где т', < а и г" < 11, а число тг — в виде т2 = гг+ тг, где тг ) а и тг ) 11.

ат Тогда будем иметь е«, ,'+«!' < е»ед < е«1+«1 — е"е е«, < еи < ещ Отсюда следует, что !г — (еи е»еп! < е«« — е"'. Но ранее мы уже показали, что данное неравенство при произвольных рациональных значениях «г и «г с условием «г < р < гг влечет за собой равенство 6 = О. Другими словами, это означает, что еи — е +е = е»ер и тем самым все требуемые свойства функции у = е*, определенной ранее на всей вещественной ося, полностью доказаны.

Тогда у функции г(х) = е*, отображающей вещественную ось !!! на луч (О, +оо), сугцествует обратная функция у(х), отображающая луч (О,+оо) на всю вещественную ось !к. Эта функция называется нащуральимм логарифмом и обозначается так; у(х) = 1пх. Она всюду непрерывна, строго возрастает и удовлетворяет условию: х = е'"*. Отсюда имеем мха ь* мг !ье+!»г Поэтому справедливо равенство !и ху = !ах+ 1п у. Тем самым установлено основное свойство функции у =!пх. Обратимся теперь к степенной функции у = х, где х > О, Для рациональных значений а ее свойства уже описаны при определении показательной функпни.

Если же а — иррациональное число, то тогда эту функцию мы можем определить равенством х» = е»~»* В этом случае все ее элементарные свойства следуют иэ уже рассмотренных свойств показательной и логарифмической функций. Здесь уместно снова подчеркнуть, что строгое обоснование свойств тригонометрических функций в этой части курса по указанным ранее причянам проводиться нами не будет. В заключение рассмотрим несколько примеров на применение доказанных выше теорем. Примеры.

1. Функции у = агсе(пх, у = агссоех, у = агсгях— непрерывные на всей области нх определения. Это утверждение является прямым следствием доказанных выше теорем. 88 2. Существует единственная функция х = х(у) ( — оо < у < +со), удовлетворяющая уравнению Кеплера х — ее1пх = у (О < е < 1). Действительно; 1) функция д(х) монотонно возрастает, так как при х~ > хт х~ — хз х~+хт 1л — Ут — х~-хт-е(зш х~ -з)п хт)=х~ — хз-2е зш — соз —, 2 2 х1 — х2 х1+хт ) х1 — х2 ~ 2е з1п — соз — <2е~ — =е(а~-хт), 2 2 ~ 2 у~ -ут > (1-е) (х ~ — хт) >О; 2) у(х) = х — е аш х — функция' непрерывная.

По теореме 3 отсюда следует, что на любом отрезке а < у < 6 существует единственная непрерывная функция х(д), удовлетворяющая уравнению Кеплера. Лекция 14 з 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ Т е о р е м а 1 (об обращении функции в нуль). Пусть функция у(х) определена и непрерывна на [а,Ь] и на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т.е. 1(а)1(6) < О. Тогда существует с е (а,6) такое, что у(с)'= О.

Д о и а з а т е л ь с щ е о проведем методом Больцано. Отрезок ,)с —— [а, Ь] разделим пополам точкой х1 = -"ф. Если у(х1) = О, то все доказано. Если нет, то у(х1) имеет знак, отличный либо от у(а), либо от у(6). Обозначим через з1 тот из двух отрезков [а,х1] или [хм 6], на концах которого у(х) принимает значения разных знаков. Теперь разделим з1 пополам точкой хз и выберем отрезок .7з так, чтобы на концах его у(х) имела значения разных знаков. Поступая так и далее, получим последовательность вложенных отрезков .1с ~ з1 Э,7т Э ...

Это последовательность стягивающихся отрезков, так как длина,1„ = б„ = за -+ О при и -~ оо. Пусть хс — общая точка Ю всех отрезков. Тогда если .1„= [а„,Ь„], то а„-+ хо и 6„-+ хс при а — ~ оо, и отсюда у(а„) -э у(ха) и у(6„) -+ у(хс) при п -~ оо Так как Яа„)у(6„)~ < О, то 1пп у(а„)у(Ь„) = уз(хо) < О.

Следовательно, у(хс) = О, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 2 (о промежуточном значении непрерывной функции). Пусть з(х) непрерывна на [а,Ь]> у(а) = а, у(Ь) = ~3 и пусть с — любое число, удовлетворяющее условию а<с<р, если а<р', )у<с<о, если )1<а. Тогда существует точка ас б [а,Ь] такая, что з(хе) = с.

Д о и а з а т е л ь с т е о. Рассмотрим функцию д(х) = у(х) — с. Если д(а) или д(6) = О, то тогда хе —— а или хс — — Ь. Если же д(а)д(6) ф О, то д(а) и д(6) имеют значения разных знаков. По теореме 1 существует точка хо б [а,6] такая, что д(хс) = О, откуда у(хо) = с, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 3 (об ограниченности непрерывной функции). Функцвя, непрерывная на [а,б], ограничена на этом отрезке.

,77 о к а з а т е л ь с пь е о. Проведем доказательство методом Больцано. Предположим противное, т. е. пусть 7'(х) не ограничена. Тогда разделим отрезок,7о = [а,б] пополам. В качестве 71 выберем ту половину, где 7(х) ие ограничена. Снова делим пополам 7ь и выбираем в качестве 79 ту половину, на которой 7(х) не ограничена. Имеем 79 Э,]ь Э .79 Э З,7 Э ...

Получена последовательность стягивающихся отрезков. Пусть хо — их общая точка. В ней 7(х) непрерывна. Возьмем б(1) — окрестность точки хо, в которой [7(х) — 7(хо)! < 1. Тогда ]7(х)! =1(7(х) — У(хо)) + У(хо)! < ]У(х) У(хо)]+ [7(хо)! < 1+ ]7(хо)! и 7(х) ограничена в Ю(1)-окрестности точки хо. Поскольку 6(1) > О, то в ней целиком содержится всякий отрезок,7„, если только его длина б„= бо72" < д(1). Но тогда 7(х) будет ограничена и на .7„, что противоречит построению (,7„). Теорема доказана.

Т е о р е м а 4 (о достижении непрерывной функцией точной верхней и нижней граней). Функция, непрерывная па отрезке, достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани, т. е. В х1 е [а,б] такое, что вцр 7(х) = ~(хь), *в[а,ь] В хт Е [а,б! такое, что 1ПГ ~(х) = 7(хт). ев[а,Ь] Докажем теорему только для вцр7(х), так как для случая ]в[ 7(х) можно рассмотреть функцяю Л(х) = — 7(х). ,[7 о к а з а пь е л ь с пь е о.

Характеристики

Список файлов лекций