Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 12
Текст из файла (страница 12)
хВЬ(а) УЕЬ(а) Положим в = в„= „-'. Тогда можно считать, что Ь(„— ') С Ь( — „' ) прн всех лг > ль. Действительно, если, напРимеР, 6(гт) а! Ь(1), то вместо 6(г) можно взять 6в из условия Ьв С Ь(1) а) 6(г) и тд. В силу этого имеем 1 1 1 1 т( — ) < тл( — ), .М( — ) > М( — ). лт лг лт лг Кроме того, при всех х Е 6(в) справедливо неравенство т(в) < У(х) < М(в). Каждому в = в„> О соответствует свой отрезок У„= (т( ~ ), М( ~ )1.
Вся совокупность отрезков 1„ образует последовательность стягивающихся отрезков, так как при в„ > в, тл(в„) < т(в,) < М(в,) < М(в„), т,е. !а С ааа. По лемме о системе стягивающихся вложенных отрезков существует точка ! такая, что для любого номера л имеем ! Е У„. Докажем, что !1тУ(х) = !. Для этого нам надо доказать, что для любого во > О существует Ьь(во) Е В такое, что при всех х Е 6)(в) справедливо неравенство )У(х) — !( < во. В качестве Ьь(во) возьмем Ь(Ц, где л > 2во '. Тогда пРи всех х,у Е Ьт(во) по условию Коши выполняется неравенство 1У(х) — У(уП «вЂ” 1 во л 2 а гамаа аа цааааата аасааат аааььт И при всех х Е 61(со) имеем т — < у(х) < М Кроме того, 1 Е 1(-„'). Это значит, что тп — <!<М Отсюда Теорема доказана полностью.
Определение. Две базы В1 и Вх называются эквнвалентнымн, если любое окончание базы В| содержится в некотором окончания базы Вю и наоборот. Заметим, что для эквивалентных баз утверждения о пределах будут выполняться одновременно. Лекция 11 1 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТИ ПО КОШИ И ПО ГЕЙНЕ Т е о р е м а. Сходнмости функции /(х) по Коши и по Гейне при х'-+ хо эквивалентны. Другими словами, существование предела функции по Коши прн х -+ хе влечет за собой существование предела функции по Гейне по той же базе н наоборот, причем в обоих случаях значения пределов совпадают, Д о к в з а т е л ь с т в о.
1. Пусть существует 1пп у(х) по е.ч ее Коши. Докажем, что существует соответствующий предел по Гейне. Действительно, из условия имеем, что У е>0 Л б=б(е) >О, такое, что Ч х. 0<)х — хч~<б выполняется неравенство Щх) — Ц < е. Пусть (х„) — произвольная последовательность, стремящаяся к хч при и -+ оо и х„ф хе при всех и е 1Ч. Тогда для любого б > 0 существует Ф1 = Ю1(б) такое, что при всех и > М1 0 < (х„— хе~ < б. Так как б можно взять любым, то и для б = б(е) справедливо то же утверждение. Нам надо доказать, что для любого е > 0 найдется номер Ф(е) такой, что 1~ и > Ф(е) имеем (~(х„) — 1~ < е Положим о'(е) = %1(б(е)).
Тогда, ввиду того, что 0 < /х„— хе( < б(е), имеем )у(х„) — 1( < г. Тем самым прямое утверждение доказано. 2. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любой последовательности (х„) с условиями х„-+ хе и х„~ хе имеем у(х„) -+1 пря и -+ оо. Далее будем рассуждать от противного. Пусть 1 не является пределом функции у(х) по Коши. Это значит, что найдется е > О, такое, что у б>0 цх 0<)х — хо!<б д к оро выполняется неравенство й ) ат Рассмотрим последовательность б„= 1/и.
Тогда для любого и найдется число х„такое, что: 1) х„4 хо, 2) !х„— хо! ( 1/и, но 3) (/(х„) — !! > с. Заметим, что числа (х„) образуют последовательность, сходяшуюся к хо. Следовательно, в силу сходимости по Гейне при и -э со существует предел )пп /(х„) = 1. Но тоа.э со гда, переходя к пределу в неравенстве !/(х„) — !) > г, будем иметь О = )! — !( > е. Полученное противоречие устанавливает справедливость второго утверждения теоремы.
Доказательство закончено. 1 6. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Напомним, что сложной функцией Ь(х) называют функцию вида Ь(. ) =/(д( )), где /(д) и д(х) — некоторые функции такие, что область определения /(у) содержит есе множество значений, принимаемых функцией д(х). Функцию Ь(х) еще называют композицией (нли суперпознцией) функций / и д. Символически это записывается так; Ь = /од.
Следовало бы ожидать, что справедлива следующая теорема: Пусть 1пп д(х) = уо, !пп у(д) =1. Тогда имеем х-+ха 9-+м 1пп /(д(х)) = !. Такое утверждение справедливо, например, для непрерывных функций. Однако в общем случае эта теорема неверна. Пример. (О, если хфО, /(х) = ~ д(х) = О. 1, если х=О, Тогда 1ппд(х) = О, !пп/(х) = О, у(д(х)) = 1 т' х б)к, !пп/(д(х)) = 1. Тем не менее, справедливы следующие утверждения.
Т е о р е м а 1. Пусть 1пп д(х) = до, 1пп /(у) = /(ра). Тогда х~~~ т-+м имеем 11щ У(д(х)) = /(да). ,Уо ха з а т е л ь с т в о. Нам надо доказать, что для любого г > О существует б = б(е) > О такое, что при всех х с условием О < 1х — хо) < б имеем (У(д(х)) — У(уо)~ < е. Далее, для любого заданного е > О существует бг — — б1(е) > О такое, что при всех у: (у — ус( < бг имеем (ц(у) — У(уо)) < г. Для зтого б1 существует б = б(б1) > О такое, что при всех х с условием О < )х — хс) < б имеем Ы ) — уь! < б1.
Полученное б нам и требовалось найти. Теперь при всех х с условием О < ~х — хь) < б имеем (д(х) — уа~ < б1. Следовательно, Щд(х)) — У(уо) ~ < е. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. Пусть 1пп х„= а, 1пп!(у) = !'(а). Тогда имеем «««о " ' з-«а 1пп у(х«) = !(а). ,й в к а з а т е л ь с т в в.
Надо доказать, что для любого е > О существует пс — — пс(г) такое, что при всех и > пв выполняется неравенство Щх„) — у(а)) < е. По условию имеем: 1) для любого г > О существует б1 — — б1(е) > О такое, что при всех у с условием (у — а! < б1 выполняется неравенство (~(у) — у(а)) С е; 2) существует пс = пц(б1) такое, что при всех и > пв выполняется неравенство )х« — а) < б|. Положим пс = пс(б1(е)). Тогда при всех и > пь имеем ~х„— а( < б1 и 1У(х«) — У(а)( с е.
Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть 1пп д(х) = уа, прячем для всех х нз в-+«О некоторой проколотой окрестности точки хс имеем д(х) у! уь, и пусть Бгп у(у) = !. У~за Тогда 1пп У(д(х)) =!. ,!! о к а з а т е л ь с т в о. Нам надо доказать, что для любого - > О существует б = б(в) > О такое, что при всех х с условием О < (х — хс! < б выполняется неравенство /У(д(х)) — Ц < е.
бз По условию имеем, что для любого г > О существует 61 — — 61(г) > О такое, что при всех у с условием О < (д — уо( < 61 выполняется неравенство )ы (д) — 1) < е. Для заданного б7 > О имеем также, что существует 87 = б(б1) > О такое, что прн всех х с условием О < )х — хо! < Бт выполняется неравенство (д(х) — уо! < Юг И, кроме того, по условию существует бз > О такое, что при всех х с условием О < (х,— ха( < Ьз справедливо неравенство д(х) ф до. Тогда возьмем 6 = пйп(Яз, Бт(61(г))). Получим, что при втой величине о выполняется требуемое неравенство.
Теорема 3 доказана. Пусть теперь у(х) имеет предел по базе В. В каком случае сложная функция 6(7) = у(д(1)) по некоторой другой базе Р имеет тот же предел? Другими словами, когда в функции, стоящей под знаком предела, разрешается делать замену переменной х на новую переменную 1 с соответствующей заменой базы В на новую базу Р так, чтобы значение предела сохранялось? Здесь имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 4.
Пусть 11гпт(х) = 1. Тогда для того чтобы в существовал 1п 1(д(1)) =1, достаточно, чтобы при отображении х = д(1) каждое окончание 6 базы В содержало (целиком 1) образ некоторого окончания Н базы Р. ,(Г о к а э а т е л ь с ш в о, В силу определения предела функции по базе В имеем, что для всякого г > О существует окончание Ь = 6(г) Е В такое, что при всех х Е 6 имеем )7(х) — Ц < г. Из условия теоремы следует, что существует окончание 4 Е Р такое, что д(Н) С 6, и, следовательно, для любого 1 Е И !У(д(1)) — 6 < е, что и означает справедливость утверждения теоремы.
Доказательство закончено. Примеры. 1. Пусть 1пп Г(х) =1, х = -. 1 г-+с С 70 Тогда 1пп у Действительно, любое окончание 6 = (х ! (х!) с) базы В (х -+ оо) содержит целиком образ окончания 4 = (1) ф < 1/с) базы Р (1-+ 0). 2. Пусть 1, если х =О, У(х) = О, если х фО, и у(1) = — О. Тогда !пп Дх) = О, но 1ппДу(С)) = 1, т.е. сложная функция имеет другой предел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
