Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Коротко это определение записывается так: т' с > О В пс — — пз(с)такое, что т' и > пс имеем )х» ! > с. Пример. Последовательности (у» = л), (т» = — и) — бесконечно большие последовательности. 2 Иша по»»»»очаю~» аел» зз Определение 4. Последовательность (х„) называется бесконечно малой, если для всякого е > О множество членов последовательности (х„), удовлетворяющих неравенству !хп( > е, конечно.

Коротко это определение записывается так: 'г' е > О 3 по = по(с) такое, что г и > по =г )х„! < с. Примеры. 1. Длины отрезков из последовательности стягивающихся отрезков (см. определение 3 15) образуют бесконечно малую последовательность. 2. х„ = 1/и — бесконечно малая последовательность. Чтобы это доказать, надо для всякого е > О найти хотя бы одно натуральное число по = по(е) такое, что У и > по имеем (х„( < е. В качестве такого по — — по(е) возьмем число [1/е) + 1. Тогда для каждого и с условием (11 1 и > по(е) = ! - ! + 1 >— имеем -' < е, что и требуется.

И вообще, если надо доказать, что (х„) — бесконечно малая последовательность, то, по существу, надо найти хотя ои одно по(с) с нужными свойствами, т.е. такое, что если и > по(с), то выполняется неравенство !х„) < г, или хотя бы каким-либо образом доказать его существование. Т е о р е м а 1. Бесконечно малая последовательность ограничена, Д о к а з а т е л ь с т е о. Пусть (х„) — бесконечно малан последовательность. Тогда, например, неравенству !х„( > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее членов.

Сумму модулей таких членов обозначим через со. При этом считаем, что со — — О, если таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена х„ имеем неравенство )хь) < с = со + 1. Следовательно, бесконечно малая последовательность (х„) ограничена. Теорема 1 доказана. 34 Т е о р е м а 2. Если (х„) — бесконечно большая последовательность и х„ф О, то (1/х„) — бесконечно малая последовательность, и наоборот, если (х„) — бесконечно малая последовательность и х„ф О, то (1/х„) — бесконечно большая последовательность. Д о к а з а п1 е л ь с т в о, Ограничимся рассмотрением только прямого утверждения. В этом случае при любом е > О неравенство )1/хь( > е равносильно неравенству (х„) < с = 1/е, которому, в свою очередь, удовлетворяет лишь конечное множество членов, поскольку (х„] — бесконечно большая последовательность.

Это значит, что (1/х„) — бесконечно малая последовательность. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. 1. Если (х„) — бесконечно малая последовательность, то ((х„Π— бесконечно малая последовательность, и наоборот. 2. Сумма (разиость) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малан последовательность.

Д о и а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение теоремы непосредственно следует нз определения бесконечно малая последовательность. Докажем второе утверждение. Пусть (х„) и (у„) — бесконечно малая последовательность. Тогда для любого е > О существуют номера п1(с/2) и пт(е/2) такие, что Уп > п|(-1 .=ь )х„) < — и Уп > пт — =ь (у„( < —.

Тогда, полагая пв —— так(п1(в/2), пт(е/2)), имеем 'тп > пв =ь )х„т у„) < )х„)+ )у„! < — + — = е. 2 2 Следовательно, (х„+ у„) — бесконечно малая последовательность. Теорема доказана. С л е д с т в и е. Алгебраическан сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а т е л ь с гп в о очевидно.

Т е о р е м а 4. Произведение бесконечно малой последовательности иа ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (хь) — бесконечно малая последовательность, а последовательность (уь) ограничена. Тогда при некотором с > О имеем )у„! < с для всех п б И. Далее, так как (хь) — бесконечно малая последовательность, то для всякого е > О найдется номер п~(ег) с условием, что )х„~ < е~ — — с/с для всех и > п~(с~).

Поэтому, полагая пц(е) = п~(е/с), будем иметь 'чп > яе(с) =~ )х„у„) < )х„) с < — с = с. с Другими словами, (х„у„) есть бесконечно малая последовательность. Теорема 4 доказана. С л е д с т в и е 1. Произведение двух бесконечно мапых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а гп е л ь с ш е о. Согласно теореме 1 одну из двух бесконечно малая последовательность мы можем рассматривать как ограниченную последовательность.

Тогда их произведение будет бесконечно малой последовательностью в силу предыдущей теоремы. Следствие доказано. С л е д с т в н е 2. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а гп е л ь с тл в о получается очевидным последовательным применением предыдущего утверждения. Следствие доказано. Т е о р е м а 5. Если (х„) — постоянная и бесконечно малая последовательность, то *„ = О.

Действительно, если х„ = с ф О, то в )с)/2-окрестности нуля нет ни одной точки нашей последовательности, и это значит, что (х„) не является бесконечно малой последовательностью. Теорема 5 доказана. Примеры. 1. (и") — бесконйчно малая последовательность при 14<1. 1 Действительно, если О < 4 < 1, то д = —, где Ь > О. В силу 1+Ь' неравенства Бернулли (1+ Ь)" > 1+ пЬ при и > 2. Отсюда имеем 1 1 Ч" < < —.

1+ иЬ пЬ Зададим теперь е > О. Нам надо выбрать по — — пе(е) так, чтобы для каждого и > пе выполнялось неравенство д" < е. Для етого достаточно, чтобы было справедливо такое неравенство: 1 ! 1 — <е со пЬ> — сз и> —. пб Ье 36 Положим Покажем, что для всех и > по имеем д" < е. Это следует из цепочки неравенств 1 1 1 п" +1 по" )Йе Л п(и — 1) (1+Л)" > 'Лт прн и>2. 2 Отсюда получим пд — „< Лт<е, п — )> — „, 2 и> — +1. Лт Положим ио = — г +'2. Тогда для всех п > по будем иметь ид" < е. следовательно, (д") есть бесконечно малая последовательность.

2. ид" — бесконечно малая последовательность при ~д~ < 1. 1 Рассмотрим случай О < й < 1. Тогда й = —, где Л > О. Из 1+Л' формулы бинома Ньютона имеем Лекп,ия 6 т 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 1. Последовательность (а ) называется сходящейся, если существует число 1 Б 2 такое, что последовательность ои = аи — 1 является бесконечно малой последовательностью. В этом случае говорят, что (аи) сходится или что (аи) имеет предел и этот предел равен 1. Записывают зто так: 1пп аи = 1 или а„-+1 при и -+ оо. »-о о» Это определение на "с-языкеи можно записать следующим образом: чс > О 3 по = по1е), такое, что Уп > пс имеем ~о„— 1~ < с.

Будем говорить также, что последовательность (аи) расходится к "плюс бесконечности", если для любого с > О лишь длн конечного числа членов ее выполняется неравенство пи<с. Обозначается это так: 1пп аи = +со или аи -э +оо при и -+ со. по»о Последовательность (а„) расходится к »минус бесконечности", еслн для любого 6 < О лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство аи >Ь. Обозначается это так: 1пп аи = -со или аи — э † при и — э со.

и-+оэ И, наконец, последовательность (аи) расходится к "бесконечности", если для любого с > О лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство 1а„( < с. Обозначается это так: 1пп аи = оо или а„— > оо при и -ь оо. и-о о» зв Утверждение 1. Если (а») сходится, то она имеет единственный предел. Д о к а з а ш е л ь с т в о. Пусть зто не так.

Тогда существуют числа 1г ~ 1г такие, что последовательности а» = ໠— 1г и !3» = ໠— 1г обе являются бесконечно малыми последовательностями. Отсюда а„+1г = а» = /1„+1г, поэтому 1~ — 1г = 11„- о» есть бесконечно малая последовательность. Но тогда по теореме 5 г 2 имеем 1г — 1г — — О, т.е. !г =1г Утверждение 2. Если (а„) — бесконечно малая последовательность, то 1пп а„= О.

Характеристики

Список файлов лекций