Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Системой вложенных отрезков называется множество М, элементами которого являются отрезки, причем для любых Аы Аз б М выполнено одно из условий; А| С Аз или а з С Аы т.е. все точки одного отрезка принадлежат другому отрезку. Л е м м а 2 (о системе вложенных отрезков). Пусть М вЂ” система вложенных отрезков.
Тогда существует число х такое, что для любого отрезка А б М имеем, что х б Ь. Это значит, что все отрезки А из множества М имеют общую точку х. Д о к а з а т е л ь с ти е о. Пусть А — - множество левых концов отрезков, принадлежащих М,  — множество их правых концов. Тогда для всех а б А и для всех 6 б В имеем а < 6. Действительно, пусть а — левый конец отрезка [а,Ь'] б М и Ь вЂ” правый конец другого отрезка [а',6) с М. Возможны два случая: 1) [а',Ь] С [а,Ь']; 2) [а',Ь) Э [о,6'].
В случае 1) имеем а < а' < 6 < Ь', а в случае 2) имеем а' < а < Ь' < 6, Тогда в силу леммы об отделимости существует число э такое, что для любого отрезка [а, 6] с М справедливо неравенство а < э < 6. Лемма 2 доказана. Замечание. С помощью леммы 2 (о системе вложенных отрезков) можно доказать несчетность множества точек отрезка.
(Указание. Предполагаем, что все точки пересчитаны. Отрезок делим на три части. Тогда точка с номером один не принадлежит одному из этих отрезков. Делим его на три части. Точка с номером два не принадлежит одному из получившихся отрезков деления и т.д. По лемме 2 существует точка х, принадлежащая сразу всем отрезкам, но эта точка не занумерована.) Определение 2. Система М вложенных отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если все эти отрезки занумерованы, причем любой отрезок с ббльшим номером содержится в любом отрезке с меньшим номером. Определение 3. Последовательность вложенных отрезков называется стягиваюнтейся, если среди отрезков, в нее входящих, имеются отрезки сколь угодно малой длины, Другими словами, каково бы ни было положительное число е, в последовательности стягивающихся отрезков содержите» и такой отрезок, длина которого меньше е. Л е м м а 3.
Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом только одну. Д о к а з а т е л ь с т е о. Первая часть утверждения следует из леммы 2. Докажем его вторую часть, Если бы все отрезки содержали одновременно две различные точки а и 6 (где а < 6), то тогда длина каждого отрезка из М была бы больше, чем 6 — а > О, но это не так, поскольку по определению в М есть отрезки и меньшей длины. Теперь лемма 3 доказана полностью. Глава 11 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция 5 1 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. БИНОМ НЬЮТОНА И НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ Для обоснования метода математической индукции мы будем использовать следующее свойство натуральных чисел: в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел существует наименьшее число.
Убедимся в том, что данное свойство действительно имеет место. Для этого возьмем какой-нибудь его элемент (это можно сделать, так как данное подмножество не пусто). Если окажется, что выбранный элемент минимален, то свойство доказано. В противном случае натуральных чисел, меньших данного числа, конечно. Рассматривая нх последовательно, мы найдем требуемый минимальный элемент. Метод математической индукиии состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел и > 1, достаточно; 1) доказать это утверждение для и = 1; 2) предположить его справедливость при и = к и к > 1; 3) доказать, что оно верно при и = к+ 1.
Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение верно для всех натуральных и. Допустим противное. Тогда множество тех и, для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент т. Число т ф 1, поскольку утверждение верно для п = 1. Число т не может быть больше 1, так как утверждение в этом случае было бы верно для т — 1 и в силу п, 3 оно было бы справедливо и для т, что противоречит выбору числа т.
Замечание. Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедлявые и при и > гп, где т > 1. В ходе доказательства надо заменить первый шаго доказать утверждение при и = т, а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости пользуясь тем, что и > т. Перейдем к рассмотрению формулы бинома Ньютона. Сначала определим величину (и! читается: зн-факториал). В частности, имеем О!=1, 1!=1 21=2 1=2, 31=3.2.1х6 и тд. Т е о р е м а 1. Имеет место равенство (формула бинома Ньютона) (1+ х)" = Со + С~х+ + С,",х" + .
+ ~сх". (Коротко зту формулу можно записать так: о (1+ х) = ~ ~~сх а=о и! где С,", = (") = ' — биномиальный коэффициент.) "= ь = ь1(п ь)1 Д о к а з а т е л ь с»т е о проведем методом математической индукции. 1. Прн и = 1 формула верна: 1 + х = 1 + х, поскольку (') =(') = 2. Пусть формула бинома Ньютона справедлива при и =1, 1 > 1. 3.
Докажем, что она верна при и = 1+ 1. Сначала докажем вспомогательное утверждение о биномиальном козффициенте: при 0< к < п — 1 имеем (') (.;)=(':) Действительно, и! и! к((» — к)! (к+ 1)!(и — й — 1]! + и! ( 1 1 1 (»+11 й)(и — й 1)1(,п-й+ 1+1! (,й+1! Далее имеем (1+ )8+1 — (1+ )Ф(1+ )— — + х+ + х+ х+ + х+ х+ =(':) ("')" ("')" ("') "' зо Теорема 1 доказана. Замечание. Подобным образом доказывается и формула для воли- нома Ньют«она от л неизвестных вида «! (х+у+ .+х)" = ~~,х 'у~'...х ', Й|+ "+Й,=н где /сы...,х, — целые положительные числа. При изложении теории предела последовательности нам потребуется приводимое далее неравенство Бернулли, Т е о р е м а 2. При х > -1, х ф О я при целом «> 2 справедливо неравенство (неравенство Бернулли) (1 + х)" > 1+ х«. ,л о к а з а тл е л ь с гл е о (по индукции).
Сначала убедимся, что при « = 2 оно верно. Действительно, (1 + х) = 1+ 2х + х~ > 1+ 2х. Предположим, что для номера « = х оказалось, что утверждение справедливо: (1+ х) > 1+ йх, где и > 2. Докажем его при « = и + 1. Имеем (1 + х)"+' = (1 + х)"(1 + х) > (1 + Ь)(1 + х) = — ] 4~ (х л- ])х .ь хз > ] .ь (/„ л ])х Теорема 2 доказана. Следует отметить, что метод математической индукции допускает многочисленные, иногда неожиданные, модификации.
В качестве примера приведем доказательство одной теоремы из книги известного норвежского математика Т. Нагелля [34). Под методом мультпи«ликатлиеной индукции мы будем понимать доказательство, которое проводится по следующей схеме. 1. Опытным или каким-либо другим путем выдвигается гипотеза' о том, что для кажцого номера «(> 1),выполнено свойство Е. 2.
Проверяется, что свойством Е обладают все простые числа р. 3. Предполагается, что некоторое натуральное число г« обладает свойством Е. з] 4. Исходя из предположения индукции доказывается, что числа вида тлр тоже обладают, этим свойством. 5. Отсюда по теореме об однозначности разложения на простые сомножители натуральных чясел, больших единицы, вытекает, что свойством Е обладают все натуральные числа, и тем самым установлена справедливость гипотезы из пункта ! ([34], с. 16). Докажем этим методом свойство мультипликативности функции Мебиуса, определяемой на множестве натуральных чисел следующим образом; 1, если к=1, д(л) = О, если рт делит л, ( — 1)", если л=рт...р„, рьфрь!тф(,1<1,!(г. Будем говорить, что функция у(л) натурального аргумента является мультлиллакалтавмон, если для любых взаимно простых чисел тл и л справедливо равенство /(тлл) = у(тл)У(л).
Достаточно доказать утверждение о мультипликативности функции Мебиуса только для чисел тл и л, не делящихся на квадрат простого числа, т.е. бесквадратлнмх чисел. Зафиксируем произвольное тл. Покажем, что утверждение имеет место для л = р, где р произвольное простое число.
Действительно, поскольку (тл,л) = 1, то р(тлр) = ( — 1)'+, если тл = рт...р„и рт,...,р„— различные простые числа. Следовательно, р( р) = р( )р(р) Пусть утверждение верно для л = к. Докажем его для л = ттр, где р — произвольное простое число.
Так как л — бесквадратное число, то ()т,р) = 1. По условию (тл, л) = 1, поэтому (тл/т,р) = 1. Тогда по доказанному утверждению для простых чисел и по предположению индукции имеем цепочку равенств д(тлл) = р(тлттр) = р(тлтт)д(р) = = р(тл)д(!)р(р) = р(тл)р(/цр) = р( )д(л) Тем самым мультипликативность функции Мебиуса доказана. Заметим, кстати, что функция Мебиуса возникает во многих областях математики, играя важную роль при изучении ее дискретных объектов. зз з 2.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Определение 1. Фулкляя, определенная на множестве натуральных чисел И н лривямающая числовые значения, называется числовой последовательностью нлн просто последовательностью.
Обозначения: хмхз,хз..., нли, коротко, (х„), или, если это не вносит путаницы, просто х». Примеры. 1. Последовательность 6» длин вложенных отрезков (см. определение 2 зб) (А»), А» С %, А»+~ С А» т п б И. 2. х» = с при всех натуральных п (постоянная последовательность). Определение 2. Если (х») и (у„) — две числовые последовательности, то (х»+ у») называется суммой двух числовых последовательностей, (х» — у») — разностью двух числовых последовательностей, (х„у» ) — произведением двух числовых последовательностей, лри у„ф О последовательность (х„/у„) называется частным двух чистовых последовательностей. Замечание.
Обычно мы подразумеваем, что запись а/6 сама по себе предполагает выполнение условия 6 ф О. Последовательности бывают: 1) ограниченными сверху, если найдется а такое, что для всех членов последовательности .выполняется х„( а; 2) ограниченными снизу, если существует 6 такое, что х» > 6 прн всех лбИ; 3) ограниченнымн, если существует с такое, что для каждого номера и б И имеем ~х»~ < с. Определение 3. Последовательность (х») называется бесконечно большой, если для любого с > О множество тех членов последовательности, которые удовлетворяют неравенству 1х„~ < с, колечко. Другими словами, это значит, что для всякого с ) О существует номер п» = пс(с), такой, что все члены последовательности (х») с номерами, большими чем пю удовлетворяют неравенству ~х„~ ) с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
