Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Действительно, каждая верхняя грань 6 Е В удовлетворяет неравенству а < Ь при любом фиксированном а иэ множества А. Это и означает, что а есть нижняя грань для В. Сформулируем теперь свойство полноты множества вещественных чисел К (свойство, упомянутое в лекции 3.) 17Я. Для всякого пепустого ограниченного сверху множества А множество В его верхних граней 6 содержит минимальный элемент 6', т.е. существует единственный элемент 6' Е В такой, что: !) 6' — верхняя грань множества А, т.е, для всех а Е А имеем Ь' > а; 2) 6' — наименьший элемент множества В, т.е.
для всех 6 Е В справедливо неравенство 6' < 6. Элемент 6' называется точной верхней гранью или супремумом множества А. Обозначение: Ь' = яирА. Прежде чем доказывать это свойство, следует сказать, что точно так же обстоит дело и с множеством нижних граней Р ограниченного снизу множества А, а именно: существует единственный элемент сР Е Р такой, чтсс !) 'т'аЕА => И'<а; 2) та Е Р =х 0' > 0; Н' =1пГА (читается: пьочная нижняя грань, илк анфимум).
Д о к а з а т е л ь с т е о свойства 17 . Мы построим число 6' конструктивно. Можно считать О Е А, и тогдр для всех 6 Е В имеем 6 > О. Действительно, возьмем какое-нибудь а» Е А. Заметям, что для любой верхнеЯ грани 6 Е В выполнено неравенство 6 > аы откуда Ь вЂ” е, > О. Теперь вместо множества А рассмотрим множество А' чисел вида а — аь Если нам удастся доказать, что существует число 6', = епрА', то тогда очевидно, что будет существовать и число 6' = епр А, причем Ь' = Ь', + ао Договоримся десятично-рациональные числа записывать только с нулями на бесконечности.
Заметим, что справедливо следующее правило сравнения чисел между собой. Если о > 6, то выполнено одно нз двух условиЯ: 1) [а] > [6]; 2) [а] = [Ь], (а) > (6), причем, если (а) = О, а»аз...Я» и (Ь) = О, Ь,Ь»... Ь»..., то наЯдется номер Ь такой, что а» =6ы...,а» 1=6» н но а» >6». В множестве А возьмем подмножество Ае, состоящее из всех а Е А с условием а > О, т.е. Ао = (а Е А [ а > О). Для каждого из чисел а Е Ае рассмотрим его целую часть [а] = пс(а). Так как О < [а] < а < 6, то функция [а] при а Е Ае принимает лишь конечное число значений. Наибольшее из этих значений обозначим через ке.
Рассмотрим множество А» С Ае, состоящее только из тех чисел а Е Ае, для которых [а] = хе. Заметим попутно, что для всех а ф А» имеем неравенство а < хе, На множестве А» определим функцию п|(а), равную числовому значению первого десятичного знака после запятоЯ у числа а. Всего она принимает не более 10 значений. Наибольшее из них обозначим через кь Образуем множество Аю состоящее из чисел, принадлежащих Аы у которых п»(а) = хо Обозначим через »1(а) число, получаемое из а заменой всех, начиная со второго, десятичных знаков чясла а нулями, т.е. если а = пе,й1..., то е»(а) = пе,пь Тогда для любого а Е Аз имеем »1(а) = хе, Яы но при всех а й Аз выполнено неравенство а < кщйь Для всех а Е Ат определим функцию пт(а), равную значению ее 2-го десятичного знака.
Наибольшее его значение выразим через хз. Образуем множество Аз С А» такое, что Ча Е Аз пг(а) = хг. Тогда для вг(а), т.е, для числа, полученного заменой всех, начиная с третьего, десятичных знаков числа а нулями, справедливы соотношения вг(а) = хв,хгхг 'ва б Аз, 'а < хе,хгхг ~а ф Ав Продолжая этот процесс далее, на Ь-м шаге, будем иметь вд(а) = хо, хгхг...хд 'та б Ад+г, а < хо,хгхг йд Уа ф Адьг Таким образом, мы получиля последовательность знаков, которые определяют число 6', имеющее десятичную запись вида 6' = хш йгйг..., Докажем, теперь что 6' является точной верхней гранью множества А, т.е. что 6' = вор А. Для этого надо проверить следующие условия: 1) 6' — верхняя грань, т.е.
для всех а б А имеем а < 6', 2) 6' — наименьшая из всех верхних граней, т.е. если Ь < ЬУ, то существует а б А такое, что а ) 6. Докажем условие 1). Допустим противное. Это значит, что существует а б А, такое, что а ) 6'. Тогда нз правяла сравнения чисел имеем, что существует номер й такой, что вд(а) ) хв, йг... хд = вд(6').
А это противоречит построению числа 6'. Теперь докажем условие 2). Если 6 < 6', то по правилу сравнения вещественных чисел существует номер 6 б И такой, что Ьв, Ьг... Ьд = вд(Ь) < вд(Ь') = хв, йг... хд. Но по построению найдется элемент а б Ад+г такой, что вд(а) = вд(6'). Отсюда имеем вд(6) < вд(а), 6 < а. Тем самым свойство 17с доказано полностью. Заметим, что число 6' = ворА может принадлежать А, а может и не принадлежать. В качестве примера рассмотрим множество А рациональных чисел а с условием а < 0 нли аг < 2 и множество В = Я ~ А, составленное из положительных рациональных чисел 6 с условием 6г > 2.
В силу того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, имеем: 1) А 0 В = Я;2)А й В = дг; 3) А ф И, В ф о; 4) для любых чисел а б А и любых чисел 6 б В справедливо неравенство а < 6. Определение 2. Любое разбиение рациональных чисел на два множества со свойствами 1) — 4) называется сечением (дедеинндовым сечением). Ясно, что множество В "ограничивает сверху" множество А, т.е. при любом фиксированном Ь б В выполняется условие 4), и множество В исчерпывает все множество верхнях граней множества А. Покажем, что множество В не имеет наименьшего элемента, а множество А, являющееся множеством всех нижних граней для множества В, не имеет наибольшего элемента.
Это означает, что множество Я рациональных чисел не является "полным", т.е. для него не выполнено свойство 17о. Действительно, предположим противное, т.е. существует минимальное число 6о в множестве В. Рассмотрим число 6о — Ь, Ь б Я такое, что 0 < Ь < -о6 —. Тогда имеем (Ьо — Ь) = Ьо~ + Ь(Ь вЂ” 26о) > Ьо — Ь 2Ьо > Ьо — — 2Ьо = 2.
г з Ьго 2 2Ьо Следовательно, Ьо — Ь б В, что противоречит минимальности числа Ьо. Допустим теперь, что ао — максимальное число множества А. 2-а* Рассмотрим неотрицательное число Ь < 1 с условием Ь < — -ф. Тогда имеем (ао + Ь)о = а~ ~+ Ь(2ао + Ь) < а~р+ Ь(2ао + 1) < а~ ~+ (2 — а~~) = 2. Таким образом, число по+ Ь б А, что противоречит предположению о максимальности числа ао в множестве А.
Понятие сечений в множестве рациональных чисел было введено Ю. В. Р. Дедекиндом (1831 - 1910) для построения теории вещественных чисел. Хотя в нашем курсе эта же задача решается с помощью бесконечных десятичных дробей, следует отметить, что дедекиндовы сечении оказываются полезнымн и в других, вопросах. В частности, на них фактически опирается строгое определение степенной и показательной функций при произвольных значениях показателя степени и аргумента. Определение 3. Функции оь(а) будем называть округлением числа а до й-го знака после запятой. Свойство точной верхней грани. Если 6 = опрА, то И>О В абА такое, что а>6 — к. Д о и а з а эс е л ь с эс е о проведем от противного.
Предположим, что найдется е > 0 такое, что для всех а б А выполняется неравенство 6 — а > е. Но тогда 6' = 6 — е является верхней гранью множества А, которая меньше, чем 6, а это невозможно, поскольку 6 есть наименьшая из верхних граней, что и требовалось доказать. Докажем еще одно свойство вещественных чисел. 26 Л е м м а 1, Для любых вещественных х, у б 1к с условием х < у существует рациональное чясло т/и б эх такое, что х ( ~» ( у. Д о к а з а т е л ь с т е о.
В силу аксиомы Архимеда (свойство 16е) для положительного вещественного числа у — х существует натуральное число п такое, что справедливо неравенство п(у — х) > 2. Отсюда следует, что интервал (пх, пу) имеет длину, превосходящую 2. Следовательно, на этом интервале найдется целое число т такое, что пх < т < пу (например, т = (пу] — 1). Согласно свойству 15е иэ последнего неравенства получим искомое неравенство, Лемма 1 доказана. Замечание.
Так же просто показывается, что между любыми числами х ( у найдется иррациональное число. Действительно, в силу леммы 1 между числами х/э/2 и у/э/2 лежит некоторое рациональное число т/и. Но тогда иррациональное число тэ/2/и находится на интервале (х,у). 1 5. ЛЕММЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ МНОЖЕСТВ, О СИСТЕМЕ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ Л е м м а 1 (об отделимости множеств). Пусть А и  — непустые множества на вещественной прямой, т.е. А э6 8, В ~ 9, А С И, В С 61.
Пусть также для любых а б А и для любых 6 б В выполнено неравенство а < 6. Тогда существует число х такое, что для всех а б А и для всех 6 б В справедливо неравенство а < х < 6. Д о к а з а т е л ь с т е о. Из определения множества В следует, что каждая его точка является верхней гранью множества А. Положим х = зпрА. Тогда, поскольку х — это верхняя грань, для всех а б А имеем неравенство а < х, и так как х — точная верхняя грань А, то х < 6 для любого 6 б В, т.е. для всех а б А и для всех 6 б В имеем а < х < 6. Лемма 1 доказана. Определение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
