Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Но зпр(о„) = О. Это значит, что: 1) а„< О для любого и б И; 2) для любого е > О найдется число и такое, что -е < оь < О. Но аь не убывает, позтому при всех и > и имеем -е < оь < о„< О, 1о„( < 1оь1 < е. Таким образом, в качестве па — — па(е) можно взять указанное выше число х. Т е о р е м а 2. Невозрастаюшая, ограниченная снизу последовательность имеет предел, равный (п7(а„). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Вместо (а„) рассмотрим последовательность (6«), Ь«т — а„. Тогда 1и!(а„) = — зпр(6«) и теорема 2 следует из теоремы !. Пример. Итерационная формула Герона, Пусть 1/ а! х«+1 — 1 х» + ( 2 !, х«(' где а — фиксированное положительное число, хг — любое положительное число. Докажем, что (х«) — убывающая последовательность при и > 2, ограниченная снизу величиной «/а, и что 1пп„ х„ = т/а. Действительно, имеем: » г Из предыдущих формул получим хг». х„> ~/аш Далее, в силу теоремы Вейерштрасса для монотонной последовательности существует 1пп х„= х >,/а > О. Тогда справедливо «->«« равенство 1/ а 1пп х«4г — — — ~!пп х„+ «-~««2 1»-» «1пп х„/ ' «-+с« т. е, — х+ —; х = ~/а.
При вычислении квадратного корня из положительного числа по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков быстро растет. Важно отметить, что если в процессе вычислений допущена ошибка, то в дальнейшем она будет автоматически исправлена (саморегулирующийся итерационный процесс). Дадим другое доказательство того, что х« -4 т/а при п — 4 со. Из равенства , — (х„ ш «/а)г х»ег 1 ма = 2х„ имеем х«+г — т/а х„— ~/а' «г х»ег + ~/а х„+ «/а Положим х, — ~/а х1+ т/а = Ч. Прн хг > О имеем !о! < 1. Далее получим *.
— чг х„+;/а =Ч откуда ! ! г" х„= /а г"-' 46 г" ' 5.= .— г =,,.й. 2д г— Заметим, что величина Ь» определяет скорость сходимости данного итерационного процесса. г -1 Далее так как д — бесконечно малая последовательность, то 1пп х„= ~/аю ».» со Число е.
Т е о р е м а 3. Последовательность имеет предел. ~7 о к а з а ю е л ь с т в о. Сначала заметим, что при Й > 1 /с! = е(е — Ц... 2 1 > 2" '. По формуле бинома Ньютона получим » ч 1п и — 1 и †5 о=2+~ к)п и и к=г Но тогда » а <2+ г — =3 — — сз. — с ~ 2к-1 к=я Кроме того, в выражении а при й > 2 с ростом и возрастает й-й член суммы и число членов всякий раз увеличивается на единицу, т,е.
а„не убывает и 1а„) ограничена, Ло теореме Вейерштрасса последовательность (а») сходится. Теорема 3 доказана. Следуя Эйлеру, предел втой последовательности обозначают через е. Известно, что е = 2,71828 1828459045... Постоянную е называют иеперовмм числом или числом ~7. Непера (1550-1617)1.
Логарифм числа а по основанию е называется матуральии.ч логарифмом числа а и обозначается символом 1па. ет «+1 Рассмотрим далее последовательность 6« = 1+ 1) . Имеем 6« = 1пп 6« со 1пп (1+ — / . 1пп 1 1+ -/ = е. и-ссо " «-+со 11 П/ «-ссо 1 П/ Последовательность (6«) убывает. Действительно, из неравенства Бернулли при и > 1 имеем 6„(1+ ) 6«+, (1+, )и+з 1+ 1 '~"~ п+1 ( и+2 ') и+1 — > 1+ па+ 2п,~ и+ 2 сс п(п+ 1)/ и+ 2 (и+ 1) +п(п+ 1) п(п+ 2)г Следовательно, 6« > е. Так как 6« > е > аи, то 11" 1 3 0 < ги = е — аи < 6« — аи = 1+ -) — < —.
и,) и и Величина ги характеризует скорость сходимости последовательности (аи). Поскольку число е играет важную роль в анализе, дадим для него другое выражение. Т е о р е м а 4. Пусть 1 1 1 с«=1+ — + — + + —. 1! 2! и! Тогда 1пп си = е. п-соо ,7 О К О З а 1П Е Л Ь С т В О. ИМЕЕМ, ЧтО ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Сп) является монотонно возрастающей и ограниченной. Действительно, 1 1 1 1 си<1+1+-+ — + ..+ — =3 — — <3. 2 28 2п1 2»1 Следовательно, существует предел 1пп„+, с„= е1.
Далее, так как 1+ — =и<с„, Е» ио 48 то с < ег. Тогда при фиксированном к < п имеем ,=ссг ( ) — гс(!юссг —,(! — -) . (! — ). к=г кюг Отсюда е = !Йп а„> !пп с1,(и) = с„ »-ссю»-+сю те. е — верхняя грань для (с,). Но так как 1пп с, = зпр(с,) = еы ! -! сю то е > еы Следовательно, е = еь Теорема 4 доказана. Заметим еще, что если е = с„+ г„, то 1 ! / 1 1 0<г„= ~~ — < (1+ — + (с! (и+1)! (, и+2 (и+2)г кю»+г 1 1 п+2 1 (п+ 1)! 1 — 1/(и+ 2) (и+ 1)(и+ 1)! и и! Т е о р е м а 5. Число е — иррациональное.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Тогда е = р/д, (р,а) = 1, и с учетом сделанного выше замечания имеем 1 0<с — се< —. ч.Ф Домножая обе части неравенства на ф, получим, что А = с!!(е — сг) есть целое число и в то же время О < А < 1/д, что невозможно. Доказательство закончено. Даддм определение еще одной известной константы, играющей важную роль в математическом анализе. Теоремаб. Пусть 1 1 7» = 1+ — + + — — !пи. 2 и Тогда существует пр д 7 = 11щ 7„. »-ссю Д о к а з а т е л ь с гп в о. Последовательность (7„) монотонно убывает.
Действительно, 1 1 / 1г 7»ег — 7» = — — !п(и+ 1)+1пи = — — 1п 1+ — / < О, и+1 — и+1 ~ иl так как и+! а+1 1 <1и 1+ — ~, поскольку е < 11+ -) = 5„, что было уже доказано выше. Далее покажем, что последовательность (7„1 ограничена снизу числом О, Из доказательства теоремы 3 имеем 1 ! и+1 1 1и 1+ — ( < 1, т.е. 1и < —, п и и Поэтому 1 1 2 3 п+1 7„= 1+ — + + — — 1пп > 1п — +1и — + +!и — 1пп = 2 и 1 2 п и+1 1 =1и » — О.
и и+1 Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность 17„1 имеет предел, что и требовалось доказать. Данный предел называется постоянной Л. Эйлера и обычно обозначается буквой 7 или буквой С. Для этой константы Эйлер вычислил 15 десятичных знаков после запятой, а именно: 7 = 0,577215664901532, Отметим, что с арифметической природой постоянной Эйлера связан ряд старых математических проблем. В частности, до сих пор неизвестно, является ли константа 7 алгебраическим или трансцендентным числом.
Попытки выразить эту константу через известные величины, например, через х, е или логарифмы алгебраических чисел„пока тоже не имели успеха. Поясним, что число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического много- члена с целыми коэффициентами. Заметим также, что если у этого многочлена коэффициент при старшей степени неизвестной равен единице, то данное число называется целым алгебраическим числом. Очевидно, что к алгебраическим числам относятся все рациональные числа.
Если же число не является алгебраическим, то оно называется трансцендентным. В качестве еще одного приложения теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности приведем пример последовательности, задаваемой с помощью простой формулы и принимающей только значения простых чисел. 50 Т е о р е м а 7(теорема Миллера).
Существует такое вещественное число а > 1, что если а=по 2 '=ам...,2 "=о„+,, то [а»] — простое число при всех и > 1. Другими словами, существует вещественное число о > 1 такое, что при всех и > 1 натуральные числа (»2т являются простыия числами при всех п > 1.
Д о х а з а т е л ь с т е о теоремы 7 опирается на знаменитую теорему П. Л, Чебышева, известную так же как "постулат Бертрана" (см., 'например, [18]): для любого х > 1 существует простое число р такое, что х < р < 2х. Построим последовательность р» = [о») по индукции. Положим р, = 3. По теореме П. Л. Чебышева существует простое число р„+ы удовлетворяющее условиям 2'" < р„+1 < р»+1+ 1 < 2г "+'. Если р»+1+ 1 = 2г"+, то р»+1 — — 2г"+1 — 1 не может быть простым, "1, так как оно имеет делитель 2*1»"+~! — 1. Следовательно, 2"" ( р„+1 ( р„+1 + 1 ( 2»"+~.
Положим н» вЂ” !Овт... !Овтр», у» — !Оят...!ОЯт (р» + 1). » » Очевидно, из неравенств Р» < 1обтр»+1 < 1обт (Р»+1 + 1) < Р» + 1 имеем и„( и„+1 < е»+1 < о», так что и», э» — монотонные последовательности. Следовательно, по теореме Вейерштрасса существует предел !пп и» = а и и„( а <»». а = !окт... !обт о», » то в силу монотонности функции у = !окт х получим р» < о» < р»+ 1, т.е. р» = [а»].
Доказательство теоремы 7 захончено. Лекп»»я 8 ( 6. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНΠ— ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТИЧНОГО ПРЕДЕЛА У ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Опр~»еленпе 1. Пусть (а„) — некоторая последовательность н пусть (»„) — некоторая строго возрастающая последовательность, состоящая нз натуральных чисел. Тогда последовательность 6„= а»„ называется подпоследовательностью последовательности а„. Опр~»еление 2.
Если существует !пп 6„= !, то ! называется э-э се частичным пределом нля предельной точкой последовательности Т е о р е м а 1 (теорема Больдано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности (а„) можно выбрать сходящуюся подпоследовательнос ть. Д о я а з а оэ е л ь с и в о. По условию имеем, что найдется с > О такое, что )а„~ < с для всех п. Разделим отрезок 1» = ( — с,с) пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности.
Назовем его 1~ и в качестве первого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент а„, б 1ы т.е. положим 6» = а„,. Затем отрезок 1э снова разобьем на два и обозначим через 1т ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности (а„). Среди них выберем такой член а„„номер которого пт превосходит число пы и положим 6т = а„,, Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку 1», получим отрезок 1з С 1» и член 6з = о„, с условием пз > пт. Далее таким же образом найдем 6» = а < б 1а С 1з, 6» = оэ, б 1» С 1» и т.д. В результате мы получим числовую последовательность (6») и последовательность вложенных отрезков (1»), причем 6» б 1», 6» = а„„, и» < п»э~ при всех 6 б г!, Другими словами, (6») будет подпоследовательностью для (а»).
Осталось показать, что (6») сходится. Для этого заметим, что длина б» отрезка 1» равна с 2»+', откуда б» -+ О при 6 -+ со. Это значит, что последовательность вложенных отрезков (1») стягивается и все отрезки 1» имеют единственную общую точку !. Именно это число ! и будет пределом для (6»). Действительно, если 1» — — [з»,!»), то з» <!<!», !» — »»=б», о»=! — з» <б» !У»=!» — !<б». Но так как б» -э О при /с -+ сю, то ໠— + О и !у» -+ О.
откуда з» = !+ о» вЂ” + !, !» = (+ р» -э !. И так как 6» = аь», в» < а„, < !», то 6» = а„„-+1 при Iс -+ оо, что и требовалось доказать. з 7. КРИТЕРИЙ КОШИ ДЛЯ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Очевидно, что из теоремы 1 об прямо вытекает следующее необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. Опрецеление 1. Последовательность (а„) называется фундаментальной нлн последовательностью Коши, если выполнено условие: У е > О Л по = по(е), такое, что Ч т,п > по имеем 1а — а„~ < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
