Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этом случае окончания Ьз Е В (х — ~ 0) имеют вид 0 < )х( < Ю, но образ любого окончания Н Е Р, Ы = (1 ( 0 < (8! < 61), имеет вид х = О, т.е. в окончании Ьз базы В не содержится образ ни одного окончания базы Р, т.е. не емполненм условия теоремы 1. 3. Пусть у(х) -+1 при х -+ а и у(1) -+ а при С вЂ” + 6, причем у(С) ф а в некоторой проколотой окрестности точки 6. Тогда для сложной функции Ь(Г) имеем Ь(1) = У(у(1)) — +1 при С -+ 6. Действительно, каждое окончание базы х -+ а представляет собой некоторую проколотую окрестность точки х = а.
Но в силу условия у(1) -+ а и е(1) ~ а при 1 -+ 6 зта окрестность содержит образ некоторой проколотой окрестности точки 1 = 6 при отображении х = у(1). Таким образом, здесь выполнены условия теоремы 1, и поэтому Ь(1) -+ 1 при 1 -+ 6, что и требовалось доказать. Доказанные нами теоремы применяются при вычислении пределов функций. 4. При х -+ 0 имеем хз+2х+1 Оз+2.0+1 у(х) -+ ~( з+ + 1 Оз.сб.с 1 5. При х -+ 2 имеем 2з+2 2-ь1 9 2з 1-2-ь1 11 6. Прн х -+ оо имеем 1+ аг+ ат 1 У. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ Определение 1, Пусть а(х), 1У(х), у(х) бесконечно малые функции по базе В.
Тогда, если а(х) представлена в виде ( ) = 11(х)7(х), то говорят, что а(х) имеет больший (или более высокий) порядок малости, чем В(х) или у(х). Определение 2. Бесконечно малые функции а(х) и В(х) называ- ются эквивалентными (по базе В), если разность б(х) = а(х) — В(х) имеет более высокий порядок малости, чем а(х) (нли р(х)).
В этом случае пишут: а )1 (по базе В). Утверждение 1. Следующие утверждения эквивалентны: 1) а (У (по базе В); 2) к — 1 (по базе В), у ! (по базе В). Д о к а э а т е л ь с ш в о. 1) По условию б = а — р имеет более высокий порядок малости, чем а, т.е. б = а7, где 7 — бесконечно малая функция. Следовательно, имеем 1У = а — б, р" а — б а(1 — у) 7 +1. а а а 2) Обратное утверждение доказывается аналогично.
Определение 3. Пусть функция у(х) не обрыцается и нуль на некотором окончании базы В. 1, Если функция Ь(х) = ф финально ограничена (по базе В), то пишут !"(х) = 0(у(х)) (по базе В). Читается: у" есть О большое от у по базе В. Или пишут так: г(х) < у(х) (по базе В). В случае, когда у(х) (( д(х) (( у(х), говорят, что функции у(х) и у(х) имеют одинаковый порядок по базе В.
2. Если функцня 6(х) — бесконечно малая, то пишут у"(х) = о(у(х)). Читается: у есть о малое от у. 3. Если существуют число б > О такое, что для любого окончания 6 базы В найдется х б 6 с условием )Ь(х)) > б > О, то пишут у(х) = й(у(х)) (по базе В), Читается: у' есть омега от у (по базе В). 4. Функция у (х) = О(х ) при х -+ О называется бесконечно малой порядка пт.
Знаки О(у), о(у), й(у) предложены Э, Ландау, а знак (( ввел И. М. Виноградов. Глава 1У НЕНРЕРЬ1ВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 12 1 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ Определение 1. Функции у(х) называется непрерывной в точке хо, если выполнено одно из следующих эквивалевтиых условий: 1) У е>О 3 б=б(е)>0 У х: (х — хо(<б =«)У(х) — У(хо))<с; 2) 1пп Цх) = ~(хо); 3) 1пп г'(х) = г" (!пп х ~; « "««а 1 «-+«о / 4) у(х) = у(хо) + а(х), где а(х) — бесконечно малая фупкция при х -+ хо, а(хо) = О; 5) для любого е > О имеем: е-окрестиость точки г(хо) содержит образ (при отображеиия Д) пекоторой окрестности точки хо.
Эквивалентность этих определений следует из доказаниых ранее теорем о пределах. Определение 2. Функция называется непрерывной справа, если У(хо+) = 1пп У(х) = У(хо); «-~«.+ непрерывной слева, если г(хо-) = 1)гп г"(х) = У(хо) Утверждение 1. Для того чтобы Г"(х) была непрерывной в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы г"(х) была одновременно непрерывна справа и слева. Д о к а э а т е л ь с т е о.
Необходомося~ь. Если у(х) непрерывна, то г(х) -+ у(хо) при х -+ хо. Это значит, что для любого е > О существует б = б(г) > О такое, что при всех х; (х — хо( < б справедливо неравенство (у(х) — у(хо)( < с, Но тогда при всех — б < х — хо < О имеем (/(х) — г'(хо)) < е, т.е. г'(х) непрерывна слева. Непрерывность справа устанавливается аналогично. досагаагачносагь. Функция У(х) непрерывна справа и слева при х -+ хо. Тогда Ч с>О 3 б,=бг(е)>0 Ч % 0<х-хо<бг =г !У(х)-У(хо)]<с; 3 бг=бг(е)>0 Ч х: -бг<х — хо<0 =г ]У(х) У(хо)]<с.
Возьмем 6 = пнп(быбг). Тогда для любого г > 0 существет б > 0 такое, что при всех х: ]х — хо] < б имеем )У(х) — У(хо)] < о, т.е. У(х) непрерывна в точке хо. Утверждение доказано. Пример. Пусть У(х) непрерывна в каждой точке отрезка [а,б]. Тогда функция Р(х) = ~~~ с»У(п) — У(х) ~~~ с» а<»<х а<»<х тоже непрерывна в каждой точке отрезка (а,б] (непрерывность в концевых точках отрезка понимается как непрерывность справа или слева). Действительно, имеем: функции г'(х) непрерывна при х = хо, где хо — нецелое число, поскольку в некоторой окрестности этой точки П(х) = ~ с»У(п), А(х) = ~ с» — постоянные.
Пусть хо а<»<х а<»<х целое число. Тогда Р'(хо+) = !пп г(х) = ~ г»У(п) — У(хо) ~', с» = г"'(хо), х-аха+ а<»< Ъа а<»<ха ~(хо — ) = )!гп Р'(х) = ~ с»У(п) — У(хо) ~~~ с» = Р'(хо). а<»<ха-1 а<»уха-г В силу предыдущего утверждения г (х) непрерывна в точке х = хо. Свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих свойств пределов. Пусть У, у непрерывны в точке хо. Тогда в точке хо имеем: а) сгУ+сгу непрерывна для всех сысо е !к; б) Уу непрерывна; в) У/д непрерывна, если у(хо) фО; г) если У(хо) об О, то существует б > О такое, что У(х)У(хо) > 0 'Ф х Е (хо — б, хо + 6) (т.е. У(х) сохраняет знак); д) 7(х) ограничена в некоторой окрестности точки хе.
е) если 7(х) непРеРывна в точке хэ, д(У) непРеРывна в точке уо = 7(хэ), то 6(х) = д(7(х)) непрерывна в точке ха. э 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Перечислим элементарные функции. 1. Р(х) — многочлен, Р(х) = асх" + . +аз. 2. Рациональная функция 7(х) = Р(х))Ц(х), где Р(х), Я(х) многочлены. 3. Показательная функция 7(х) = а', и > О, а ф 1.
4. Степенная функция 7(х) = х = е'"'"*. 5. Логарифмическая функция 7(х) = 1ой,х, а > О, а 76 1. б. Все тригонометрические функции, 7. Всевозможные суперпозиции всех этих функций. Эти функции носят название элементарных потому, что только они рассматриваются в рамках элементарной математики. Описание их функциональных свойств существенным образом опирается на опреде- ление понятий показательной, степенной и логарифмической функций, а также на определения функпий синус и косинус от вещественного аргумеята.
Следует сказать, что в элементарной математике свойства перечисленных функций устанавливаются, в основном, описательно, исходя из наглядных арифметических и геометрических соображений. В курсе математического анализа эти функции используются главным образом в качестве материала для применения обшей теории, и мы могли бы оставаться на данной "наивной" точке зрения на них. Одна- ко средства математического анализа позволяют дать вполне строгое определение всех основных элементарных функций. Для показа- тельной, логарифмической и степенной функций зто будет сделано нами сразу после научения свойств монотонных функций.
Несколько сложнее ситуация с тригонометрическими функциями, поскольку их определение должно опираться на понятие длины дуги окружности илн на понятие степенного ряда, которые будут изучаться нами лишь во второй и третьей частях курса. Пока же, отвлекаясь от строгих определений и опираясь на основные функциональные свойства, мы докажем непрерывность показательной функции у = а* и функции у = е1п х. Утверждение 1. Прв любом хэ б В фупкцяя у = а* непрерывна. Д о к а з а т е л ь с тп в о.
Пусть а > 1. Тогда надо доказать, что для любого г > О существует б = 6(г) > О такое, что при всех х о-е~ < об-~о < о ез ! < ах ~о ! < аЕ Оначала докажем, что а~' — 1 < е1, Положим Тогда 1/б1 > Ж, т.е. б1 < 1/1т'. Так как (1+ е1) > 1+ е1Ф > 1+ е1 — > а, Е1 то 1 + Е1 > а11~ > а '. Отсюда следует, что Е1 а '> — =1— > 1 — е1. 1 + Е1 1 + Е1 а' — 1<е1 Окончательно имеем -е1 < а ' — 1 < а* ' — ! < а ' — 1 < е1, следовательно, )а о — 1(<Е1 ° Тем самым доказана непрерывность /(х) = а' в точке хо. Доказательство закончено. с условием )х — хо~ < б имеем (а* — а*'( < е, нли, что то же самое, (о' *' — 1~ < Еа " = е1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
