Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Опь прояьиеяого. Пусть А = вцр 7'(х), хо[а,Ь] А ф,7(х) при всех х Е [а,б]. Тогда А > 7(х) для любого х. Но тогда А —,7(х) — непрерывная функция и А — 7(х) > О при всех х Е [а,б]. Следовательно, у(х) = л7~ тоже непрерывна. Поэтому й(х) ограничена по теореме 3 и, значит, найдется В > О такое, что 1 А — 7(х) Отсюда '1 1 А — 7(х) > —, 7(х) < А — —, В' В' те. чнсло А — 1и есть верхняя грань, которая меньше, чем А, но зто противоречит тому, что А — наименьшая верхняя грань. Теорема доказана.
91 Так как для непрерывной функции у(х) на отрезке точная верхняя грань н точная нижняя грань достижимы, то А = вору'(х) называют максимальным значением у(х), а В = 1п1 у(х) — минимальным значением у(х) и пишут В = ппп у(х). ке(а,6! Пример. Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и пусть а = х1 < хз « х„= Ь. Тогда существует точка г, Е [а, Ь] такая, что выполняется равенство У(х1)+У( т)+" +П ) УЫ)— Действительно, пусть га = пппЩхд)„У(хз),..., У(х„)), М = гпак(У(х~), У(хт),, У(хе))- Тогда, очевидно, справедливо неравенство ~(х1) + У(хг) + + ((хе) и Следовательно, в силу теоремы 2 о промежуточном значении непрерывной функции отрезок [га, М] принадлежит области значений функции у(х), и потому существует точка ( Е [а,Ь] такая, что у(~) = А. Это и есть искомая точка.
Лекция 15 $ 6. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ Запяшем определение функции, заданной на множестве Х и непрерывной в точке хо Е Х: для любого г > 0 существует б = б(е) > 0 такое, что при всех х Е Х и [х — хо[ < б имеем Щх) — у(хо)[ < о'. Вообще говоря, при фиксированных е > 0 у каждой точки хо будет свое значение велнчины б(е), т.е. б(е) зависит от хо и это можно символически записать' так: б(г) = б(е, хо). Если оказалось, что для любого г > 0 н всякой точки хо Е Х величина б(г) не зависит от хо, то функция у(х) называется равномерно непрерывной на множестве Х.
Запишем это определение более четко в эквивалентной форме. Определение. Функция у(х) называется равномерно непрерывной на Х, если г в>0 3 б=б(в) >О такое, что г хм хо Е Х: [хг — хо[ < б ~ [1(х1) — у(хо)[ < г. Т е о р е м а (теорема Гейне — Кантора). Функция, непрерывная ва отрезке, равномерно непрерывна яа вем. Д о х в з в т е л ь с ш в о.
(От противного). Пусть )(х) непрерывна, но не является равномерно непрерывной на [а,б]. Тогда й е > О: У б > О: Э а (у Е Х: [а — 1у[ < б и [г(а) — ((13)[ > г. Рассмотрим последовательность б = б„ = 1/и. Каждому и тогда соответствует пара точек а„, ф„ такая, что [а„ вЂ” 4„[ < 1/гг, [у(а„) — ~(11'„)[ > е. Последовательности (а„) и (Д,) являются ограниченными. По теореме Больцано-Вейерштрасса из а„можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (а„„), т.е.
а„„-г хо Е Х прн /с -+ со. Далее, [а„, — р'„,[ < 1/пю 93 следовательно, т„, = а„, — )г„, есть бесконечно малая последовательность и Щ -+ хе при /с -+ оо. Но тогда уь = ~(а„,) -> )(хе), гь — — у(ф„,) -г,г(хе) при и -+ оо, т.е. 1ь = )уь — гь! -+ 0 при в -+ оо. Но это протяворечит тому, что гь = )уь га( ) е, так как, переходя в этом неравенстве к пределу при В -+ со, получим 0 > е, что неверно.
Доказательство закончено. Доказательство теоремы Кантора проходит аналогично и для множества Х, которое не обязательно является отрезком. Достаточно, чтобы множество Х было ограниченным и содержало все свои предельные точки. ( 7. СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ. КОМПАКТ. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА КОМПАКТЕ Опрнцелеиие 1. Множество точек (на вещественной прямой) на эывается замкнутым, если оио содержит все свои предельные точки, Напомним, что хе — предельная точка множества А, если во всякой окрестности точки хе находится бесконечно много точек, принадлежащих А (а сама точка хе может принадлежать или не принадлежать А).
Определение 2. Множество называется открытым, если каждая его точка содержятси в ее Е-окрестности, целиком состоящей из точек этого множества. Пример. Интервал — открытое множество, а отрезок — замкнутое множество. Определение 3. Ограниченное замкнутое множество (на вещественной прямой) называется компактом. Утверждение 1. а) Если А — замкнутое множество, то Аг = В~А открыто. б) Если В открыто, то В1 — ЩВ замкнуто, Д о к е з е ег е л ь с т е е. а) ага противного). Если существует а б Ам у которой нет окрестности, целиком состоящей из точек множества Ам:ао во всякой е-окрестности точки а есть хотя бы одна точка из А, отличная от а, а следовательно, и бесконечно много точек из А.
Но тогда а есть предельная точка множества А, и ввиду замкнутости А имеем, что а б А, но а б Аь Имеет место противоречие. 6) Пусть ~3 — предельная точка для В1 и Р Е В. Тогда в любой ее окрестности есть точки Вы а это противоречит тому, что у любой точки множества В есть окрестность, состоящая из одних только точек множества В. Это значит, что,У ф В, т.е.
ф Е Вы следовательно, В1 замкнуто, что и требовалось доказать. Утверждение 2. а) Любое объединение открытых мнох1еств открыто„конечное пересечеяяе открытых множеств — тоже открытое множества. б) Любое пвресечение замкнутых множеств замкнуто, конечное объединение замкнутых множеств замкнуто. Л о к а з а гв е л ь с пг в о. Пусть а Е и А„. Тогда существует номер » оа такой, что а Е А „и существует б-окрестность точки а, целиком принадлежащая А». Обозначим ее Ог(а). Тогда Ог(а) С ЦА», те.
» и 0А» открыто. Пусть теперь а Е () Аь. Тогда Э Ог (а) С А,„У пг н » ь»1 при б = ппп(бы..., б ) имеем Таким образом, утверждение а) доказано,а утверждение б) следует из утверждения 1 б), что и требовалось доказать. Определение 4. Пусть заданы множество А и система множеств (В). Будем говорить, что В есть покрытие А, если для любого а Е А су|цествуег В Е (В) такое, что о Е В.
Следующее утверждение обычно берут за определение компакта. Утверягдение 3 (лемма Бореля). Из любого покрытия компакта открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытне. Д' о к а з а ог е л ь с вг в в. Ога противного. Пусть А — компакт, тогда 3 отрезок зю такой, что А С зс (поскольку А ограничено). Делением отрезка пополам строим систему стягявающихся отрезков 1с З 11 з . з 1» з...
с условием, что множества Аг1/ь не допускают конечного покрытия для любого к. Пусть хб — их общая точка. Поскольку Зь ОА не допускает конечного покрытия, в каждом отрезке 1ь есть точки из А. Это значит, что точка хс Е А, так как А замкнуто. Всякая точка множества А покрыта некоторым множеством из системы множеств (В), т.е. существует множество В такое, что хв Е В. Далее, существует номер к такой, что зь С В, поскольку длина,Уь -г О, а В открыто. Тем самым В покрывает Д, и АГ1зь допускает конечное покрытие. Противоречие. Лемма доказана.
Т е о р е м а 1(обобщение теоремы Гейне — Кантора). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на яем. До ко з а эг е л ь с эг в о. Возьмем любое е > О и зафиксируем его. Каждую точку хс б К накроем б'-окрестностью радиуса б' = у~б(~1, хе), где б(гг,хс) = б опРеделаетси из УсловиЯ, что длЯ любого * б К с условием (х — хо) < б имеем )/(х) — /(хе)( < е/2. Каждая такая У-окрестность — это открытое множество. По лемме Вореля выберем конечное подпокрытие для К. Пусть оно состоит из интервалов Эг,...,4, с длинами соответственно бы.,.,б» и центрами аг,...,а».
Положим б(е) = ппп(бг,...,б»). Если теперь хг и хг таковы, что ~хг — хг~ < б(е), тогда при некотором а = а, имеем, что точка хг принадлежит гб(ьг,а)-окрестности точки а, те, ~хг — а~ < -'б(-',а). Но б(с) < -'б(-', а), поэтому )хг — а( = )(хг — хг) + (хг — а)) < )хг — хг)+ (хг — а) < б —,а Отсюда (/(хг) — /(а)( < е/2. Но так как (/(хг) — /(а)( с е/2, то !/(хд) — /(хг)) = )(/(хг) — /(а)) + (/(а) — /(хг))) < < (/(хд) — /(а)!+ !/(хг) — /(а)! < е. Это и означает, что /(х) равномерно непрерывна на К. Доказательство закончено. Примеры. 1. Функция у = ~/х равномерно непрерывна при х > 1.
Действительно, для любых хыхг > 1 имеем неравенство (~/х — ~/хгг) = < ( < — = е (хг — аг) (хг — хг) / б 4хг+ Ф:гг Отсюда для любого е > О получим, что при б = 2е Ч хмхг б (1,+оо); )хг — хг~ < б ~ )~/хг — ~/хгг( < е. 2. Функция у = хг не является равномерно непрерывной на Ж, поскольку при г = 1 справедливо неравенство для разности 1 1 г г 1 у(п+ -) — у(п) = (и+ -) — (п) = 2+ — > 1 = е л и пг при всех натуральных о, а это означает, что не существует числа б(1) > О такого, что для любых двух точек, находящихся на расстоянии меньшем б(1), модуль разности значений функции х в этих точках был меньше 1.
Ради полноты приведем позитивную формулировку свойства функции /(х) не быть равномерно непрерывной на множестве А. Определение 5. Функция г(х) не является равномерно непрерывной на множестве А, если можно указать такое г > О, что при всяком б > О найдутся числа а, = а,(б) Е А и аз = ат(б) Е А с условием ~а1 — ат( < б, для которых )((а1) — Дат)! > ю Замечания. 1.
В данном определении вместо всех б > О достаточно ограничиться только числами б вида б = б„= 1/и. 2. Непрерывность функции в некоторой точке хе предполагает, что функция У(х) определена в некоторой б-окрестности этой точки. Доказанная выше теорема 1 справедлива в несколько более общей ситуации. Приведем соответствующее определение. Определение 6. Функция у(х), определенная иа множестве А, называется непрерывной в точке ха относительно данного множества А, если для любого е > О найдется б = б(е) > О, такое, что при всех х Е А с условием (х — хе( ( б выполнено неравенство )Дх) У(хо)) С е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
