Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Неоднородным дифференциальным выражением называется линейная комбинация конечного числа мономов разного порядка, но от тех же функций 1,д,...,Ь. Следует отметить, что на любое дифференциальное выражение можно смотреть как на функцию двух независимых переменных, а именно: х и Их. Но в данный момент нас будет интересовать не функциональная, а алгебраическая сторона вопроса, точнее, свойство дифференциального выражения сохранять свою форму при замене независимой переменной х на функцию р(1) и, соответственно, Нх на т(ут(1) = р'(~) тй. Поясним более тетко, что конкретно имеется в виду. Если подставим в однородное дифференциальное выражение Р порядка 6 вместо х функцию х(~), то вместо дифференциала Ых~ будем иметь выражение (И~р(~))" = = (ут'Я)" (Йт)", а вместо производных ут т(х),д<"т(х),..., 6<т~(х) — выражения у (р(т)),д ~(~р(М)),...,6„„(~о(М)), т.е.

мы получим некоторое дифференциальное выражение Вт, завсящее от т и от тй. Другое дифференциальное выражение Вю зависящее от тех же величин ~ и й, получим, если то же однородное выражение Р применим к функциям Др(1)),д(ут(1)),...,6(те(1)), те, вместо 1т"1(х),д~д~(х),..., 6(т)(х) рассмотрим Я )(дт(т)),д~„~(р(т)),..., Ьт~,')(~р(т)), а вместо (~Ь)" — выражение (ттт)". Если при этом оказывается, что вне зависимости от вида функции р(т) имеет место равенство В, = Вю то мы говорим, что дифференциальное выражение Р обладает свойством иивариаитиости, или инвариантно относительно замены переменной.

В противном случае мы считаем, что оно указанным свойством не обладает. Иными словами, инвариантность В означает возможность перестановки порядка выполнения операции замены переменной и операции вычисления этого дифференциального выражения, т.е, коммутативности этих двух операций. В смысле введенных нами понятий дифференциалы первого и высших порядков являются однородными диф4еренциальными выражениями, причем первый дифференциал обладает свойством инвариантности (относительно любой замены переменной), а дифференциалы порядка, большего единицы, этим свойством не обладают. Заметим, однако, что в случае линейной замены переменной инвариантность все же имеет места. Возникает вопрос о том, существуют ли дифференциальные выражения порядка, большего единицы, обладающие свойством инвариант- ности.

Было известно, что, вообще говоря, инвариантные дифференцяальные выражения от нескольких функций существуют. В течение ряда лет профессор МГУ А. А. Кириллов привлекал внимание математиков к цпушей от О. Веблена проблеме, связанной с описанием классов инвариантных дифференциальных выражений. Прояснить ситуацию в указанном круге вопросов в значительной степени удалось ф. М. Малышеву в 1978 г. Единственным инвариантным дифференциальным выражением, зависящим от одной функции, является первый дифференциал.

Для двух функций у и и все инвариантные выражения порождаются двумя однородными дифференциальными выражениями В1 и Вз вида В1 —— ~'й'пят, Вт = (т "у' — ~'ув)с(яз. Он доказал общую теорему о конечности количества У(п) "образующих" однородных дифференциальных выражений от п функций и получил оценку Ж(п) ( и!. Кроме того, для степени инвариантного дифференциального выражения имеет место неравенство а < п(п+ 1)/2 (23). В заключение приведем еще одну теорему, которая касается производных высших порядков от сложной функции.

Т е о р е м а 2(теорема Валле Пуссена). Пусть функции г"(я) я и(я) имеют и-е производные. Тогда для и-й производной функции С(я) = г'(и(я)) имеет место следующая формула С~" ~(я) = ~ ~Р~ ~~~~~ ~(и)Р«+в+ + «+2«+зч+ =« о'1У ' 1' 2~ 3' Поясним, что суммирование в правой части ведется по всем целым неотрицательным числам а, р, ч,..., удовлетворяющим равенству а + 2Р -1- 3 у + = и.

,7 о к а з а т е л ь с т е о. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, мы, очевидно, приходим к ыз равенству вила в С1" >(х) = ~ сь(х)г 1" 1(и), ею! где сь(х) — некоторые выражения, вид которых не зависит от конкретного задания функций у = Р(и), и = 1(х). Поэтому для определения точного выражения сд(х) через функцию и(х) мы можем использовать любые удобные для нас функции. В силу этого будем считать, что Р(и) и и(х) — многочлены и-и степени, записанные в виде Р(и) = Р(ио)+ г, +.

+ гь г'(ио) „г"1"1(ио) и(х) = и(хо+ 1) = и(хо) + 1 — + . + 1" и'(хо) и1" 1(хо) П и.' Здесь мы полагаем, что переменные х н 1 определены равенствами х = и — ио ио = и(хо), 1 = х — хо. В этом случае функция С(х) будет представлять собой многочлен степени ио, который может быть записан в виде С(.) =С(..).— ~. ' С'(хо) С" (хо) „С" (хо) „ 1' и' (п~)' и, кроме того, в виде С(х) = Р(ио) + ~ — 1+ " + — 1" / + Р'(ио) /и'(хо) и("1(хо) „1 11 Г1"1(ио) /и'(хо) и1" 1(хо) „1 и! 1 1! и! Раскрывая скобки в последнем равенстве с помошью полинома Ньютона (см. замечание к 11 гл. П) и сравнивая коэффициенты при в получившемся выражении с первым равенством, приходим к утверждению теоремы.

Теорема 2 доказана. 1 5. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Пусть хо — внутренняя точка области определения у(х). Определение. 1. Функция у(х) возрастает в точке х = хо, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой: а) у(х) > У(хо) при х > хо, б) Дх) < У(хо) при х < хо ясно, что точка х = хо является точкой возрастания функции Дх), если — >О прн Ьхфб А1'(х) Ьх в некоторой окрестности точки * = хо, 2. Функция у(х) убывает в точке х = хо, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой: а) у(х) < у(хо) прн х > хо, б) ~(х) > У(хо) при х < хо. Точка х = хо является точкой убывания функции Дх), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство — < О при Ьхфб.

Ь~(х) Ьх 3. Функция имеет в точке локальный максимум (локальный миннмум), если в некоторой проколотой окрестности этой точки выполняется неравенство Дхо) > 1'(х) (соответственио Дхо) < 1(х)). 4. Функция 1'(х) имеет локальный экстремум в точке х = хо, если в этой точке оиа имеет или локальный максимум, «ли локальный минимум.

Т е о р е м а (достаточное условие возрастания нли убывания функции в точке). 1. Если у'(хо) = с > О, то тока х = хо — точка возрастания функции у(х). 2. Если у'(хо) = с < О, то функция 1(х) убывает и точке х = хо. ,7 о к а э а т е л ь с т е о. 1. Так как у(х) у(хо). то существует число б = б(с/2) > О такое, что неравенство Дх) — 1(хо) с х — хо 2 115 выполняется для всех точек проколотой е-окрестности точки х= хе.

В втой окрестности имеем с у(х) — у(хе) Зс 0« — < —. 2 * — хе 2 Следовательно, ЬУ имеет тот же знак, что и Ьх, т.е. хе — точка возрастания. Случай 2 сводится к случаю 1 заменой Дх) на — у(х). Эта теорема называется л е м м о й Дарбу. Лекция 19 6 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, КОШИ И ЛАГРАНЖА Т е о р е м а 1 (теорема Ролля).

Пусть функция Дх) непрерывна на [а,Ь] и диффереяцяруема во внутренних точках этого отрезка. Пусть также у(а) = ДЬ). Тогда иа ингаервале (а,6) существует точка ( такая, что у'(с) = О. Д о к а з а т е л ь с га в о. Функция Дх) непрерывна на [а,6]. Следовательно, на этом отрезке найдется точка хы в которой у(х) имеет максимум, а также точка хм являющаяся точкой минимума для у(х). Если х~ — — хм то г(х) постоянна на отрезке [а, 6] и ~'(х) = О всюду на [а,6].

Если же х~;Ь хм то либо ~(х~), либо у(хэ) не равна /(а) = у(6). И' та точка из них, для которой равенство не имеет места, будет внутренней точкой отрезка [а,6] и одновременно точкой локального экстремума. Обозначив ее через б, имеем ~'(г) = О, поскольку в противном случае была бы точкой возрастания или точкой убывания функции у(х). Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (теорема Коши). Пусть функции Дх) и д(х) непрерывны на отрезке [а, 6] и дифференцируемы внутри него. Пусть д'(х) ф О при всех х б [а, Ь]. Тогда на интервале (а, 6) найдется точка с такая, что Да) — у (6) у' (с) д(а) — д(Ь) д'(с) ,Уоказашельство.

Преобразуя эквивалентным образом требуемое равенство с учетом того, что д'(с) ф О, имеем (г(а) — ДЬ))д'(с) — (д(а) — д(Ь))У'(с) = О. Заметим, что слева в последнем равенстве стоит значение производной функции Н(х) в точке х = с, где Н(х) = д(х)Ц(а) — г(6)) — ~(х)(д(а) — д(6)). Таким образом, нам достаточно доказать существование точки с, в которой Н'(с) = О. Но функция Н(х) дифференцируема во внутренних точках отрезка [а,6] и Н(а) = Н(Ь) = -д(а)ЯЬ) + Да)д(6).

Поэтому по теореме Ролля существует точка с б (а,6) такая, что Н'(с) = О, что и требовалось доказать. ыг С л е д с т в и е (теорема Лагранжа). Пусть функция 1(х) непрерывна на отрезке (а,6) я диффереяцируема на интервале (а,6). Тогда имеет место формула )'(а) — 1(Ь) = У'(с)(а — Ь), где с — некоторая внутренняя точка этого отрезка. Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение следствия является частным случаем теоремы Коши при у(х) = х. Это следствие называется также формулой конечных прира1пеиий.

Замечания. !. (О схеме доказательства леммы Дарбу). Эта лемма утверждает, что если у'(хэ) > О, то в точке хэ функция у"(х) возрастает. С другой стороны, ее возрастание означает, что приращение функции азу(х) = у(х) — у(хэ) и приращение аргумента Ьх ='х — хэ имеют одинаковый знак и Ь|(х) ф О при съх ~ О в некоторой окрестности точки хэ. Доказательство этого факта, по существу, основано на свойстве функции, имеющей положительный предел, быть положительной на некотором окончании базы. В данном случае у'(хе) = !(ш > О, э-+ э о Х вЂ” ХЕ и поэтому в некоторой проколотой окрестности точки хэ мы имеем неравенство у(х) — у(хе) > О. х — хе Это и означает, что в данной проколотой окрестности точкк хэ значения азу(х) и 1ьх имеют одинаковый знак и Ь,~(х) ф О при Ьх -е О.

2(а) (По поводу теоремы Коши). Для справедливости утверждения теоремы, в частности, требуется, чтобы у'(х) ~ О для любого х, принадлежащего отрезку [а, 6). Отсюда следует, что у(а) — у(6) ф О, т.е. в знаменателе отно1нения в формудировке теоремы стоит ненулевое число. Действительно, если мы предположим, что у(а) = д(6), то по теореме Ролля существует число с такое, что у'(с) = О, но по условию теоремы это не так. (б) (Геометрическая интерпретация теоремы Коши).

Характеристики

Список файлов лекций