Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 17
Текст из файла (страница 17)
С учетом сделанных ранее замечаний, данное определение непрерывности можно записать через предел функции по некоторой базе. Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, остаются полностью справедливыми и в том случае, когда условие непрерывности функции в точке заменяется на сформулированное выше определение непрерывности относительно множества А, если только множество А = К является компактом. 4 Зчщчн но макеэачюю мкип~ Глава т' ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 16 1 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Свойство функции у(х) быть непрерывной в точке х = а равносильно тому, что разность а(х) = у(х) — у(а) является бесконечно малой при х -+ а. Другими словами, это означает, что ,г'(х) = )'(а) + а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при х -+ а. Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке х = а имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е.
формулу) а(х) = у(х) — у(а). Это выражение называется приращением функции у(х) в точке х = а, Оно обозначается так: а(х) = ЬДх). Данное обозначение используется даже и в том случае, когда у(х) не является непрерывной функцией в точке х = а. Итак, если Ьу(х) -+ О при х -+ а, то функция у(х) будет непрерывной в точке х = а, и наоборот. Для простейшей функции у(х) = х ее приращение а(х) = х — а называется приращением аргумента, поскольку при у(х) = х значение функцин у(х) равно значению аргумента. Это выражение имеет специальное обозначение: о(х) = Ьх.
Имеем, что Ьх -+ О при х -+ а. Аргумент,х можно выразить через его приращение Ьх. Действительно, х = а+ (х — а) = а+Ах. Следовательно, при фиксированном а пряращение Ь~(х) можно рассматривать как некоторую функцию от Ьх, т.е. а(х) = ЛДх) = у(х) — у(а) = у(а+ Ах) — у(а) = )У(Ьх). Когда хотят подчеркнуть, что значение Ь('(х) равно А при х = а и Ьх = б, то пишут Ьь|(а) = А или ЬДх)( е=а = А. за Пример. Коли,у(х) = хт, х = 1, Ах = 2, то Ь(~~)~ 9п = ((я+ах)9 — ~9)~ ап = 9 — 1 = 8. Теперь рассмотрим более подробно приращение Ьу(х) как функцию от приращения аргумента Ьх, Очень важным для построения всего курса математического анализа является случай, когда Ьу(х) бесконечно мала и прн атом еще и эквивалентна линейной функции вида сЬх, где с — некоторая вещественная постоянная.
В этом случае говорят, что приращение ЬД(х) имеет линейную часть, называемую дифференциалом функции у(х) в точке х = а, а функция у(х) называется дифференпмруемой в точке х = а. Другими словами, мы приходим к следующему определению. Пусть 1'(х) определена в некоторой Б-окрестности точки х = а. Определение 1. Линейная функция д(Ьх) = сЬх называется дифференциалом прнрапхення Лу(х) (яля дифференциалом самой функпин у(х) в точке х = а), если Ьу(х) сЬх при Ьх -+ О, т.е. Ь((х) = сЬх+ 'у(Ьх)Ьх, где с б К я у(Ьх) — > О при Ьх -+ О. Дифференциал функции у(х) обозначается ф(х) или просто пу'. Из определения вытекает, что Ь~(х) ' ~х-~0 Дх Если прн этом с ф О, то Ьу — -э 1 прн Лх -~ О. ф Отметим, что функция у(з х) определена в некоторой проколотой окрестности точки х = а, функция Ьу(х) определена в некоторой б-окрестности этой точки, а функция ф(х) = сЬх определена для всех х б 1к.
Нам удобно будет доопределить функцию у(Ьх), полагая у(О) = О. В результате в равенстве Ь|(х) = ф(х) + у(Ьх)Ьх, определяющем дифференциал ф(х), все участвующие функции будут определены и непрерывны в некоторой окрестности точки Ьх = О. Далее, легко видеть, что Ьх = пх. 99 Определение 2. Число с = ~~ называется производной функции 1(х) в точке х = а. Для производной используются следующие общепринятые обозначения: с = у~(а) = — = Ру(х)[ Фх) хаа Если 4'(х) существует, то, исходя нз определений 1 и 2, мы также можем написать 1'(а) = 1пп = с, у(х) — у(а) т.е. у(х) — Да) у~(а)(х — а) при х -Ф а.
Введенные выше понятия дифференциала н производной функции имеют не только глубокий аналитический смысл, но вполне определенный физический, точнее, механический, а также геометрический смысл. Введем понятие касательной к кривой в данной точке. Определение 3.
Касате.аьная, точнее, наклонная касательная к кривой у = Дх) в точке координатной плоскости с коордииатамв х = и, у = 1(а) — это такая прямая, которая проходит через точку (а,т'(а)), я ее угловой коэффициент х, т.е. тангенс угла ее «аклона, равен пределу углового коэффициента Й(Ьх) "секущей" прямой, проходящей через точки (а,у(а)) н (а+ Ьх,т(а+ Ьх)) пря Ьх -+ О. Поэтому говорят, что касательная — это предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной раскрывается следуклцнм ее свойством: число у'(а) есть тангенс угла наклона касательной к кривой, задаваемой уравнением у = у(х), на координатной плоскости хОу в точке (а, у(а)). Механическая интерпретация. Если 1 — текущее время; з(1)— путь, пройденный телом за отрезок времени 1 — 1е, где 1е — начало отсчета, то с.'ьз(1) [1-, есть путь, пройденный телом за время от 1 = а до 1 = а+ Ж, т.е.
Ьз(1) = з(а + Ы) — з(а). Отношение Ьз(1) есть средняя скорость на отрезке времени [а,а+ Ы), а предел этой скорости при Ы -+ 0 — мгновенная скорость тела в момент времени 1 = а. Именно зту величину показывает спидометр автомобиля прн его движении.
Утверждение 1. Если функция Дх) дифференцируема в точке х = а, то оиа непрерывна в этой точке. Действительно, тогда Ьу" 41 = сЬх, поэтому Ьу бесконечно мала при Ьх -+ О, а значит, 1'(х) непрерывна в точке х = а. Примеры. 1. Пусть у(х) = х~, а = 2,5. Тогда Ьу(х) = (а+ Ьх)з — аз = 2пЬх+ (Ьх)~, Ьу(2.
5) = бах+ (Ьх)~, Ьх = Й:, п1'(х) = 2айх, пу(2,5) = Ых. 2. Пусть у(х) = Зх — 1, а = 2. Тогда Ь|(х) ~,-з= Д2+ Ьх) — ~(2) = ЗЬх = ф(2) = ЗИх. Дифференциал функции, если он существует, является линейной функцией приращения аргумента, поэтому его называют линейной частью приращения аргумента. Если ~'(а) ф О, то дифференциал в точке х = а называется еще главной частью приращения. Это название отражает свойство разности вида 11(Ьх) = Ьу — ф, которая есть о(Ьх), а следовательно, и о(ф), т.е. ~1У вЂ” йУ = о(ИУ). Таким образом, эта разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем ф, и поэтому дифференциал ф вносит при малых Ьх главный вклад в значение приращения Ьу.
Легко привести пример функции у(х), непрерывной в точке х = О, но не дифференцируемой в этой точке (т.е. 1(х) не Имеет дифференциала и производной в этой точке). Действительно, для функции ж ж х, если х>0, У(х) = И= — х, если х< 0, имеем ЬЦх!) = /х + Ьх/ — /х/.
Отсюда при х = 0 получим ~1[~и!) ! -с= ~Ьх~. Тогда )Ьх) + )Ьх) — — + 1 при Ьх -+ О+, — -+ — 1 при Ьх — + 0 Ьх Ьх т. е. !пп — не существует. ~ЬЫ Ь* О~ Но все же правый и левый пределы в этом случае существуют. ()ни называются правой и левой производной функции.
Приведенный пример показывает, что непрерывная функция может и ие иметь дифференциала. Для некоторого класса таких функций вводится более общее понятие односторонних производных. Определение 4. Конечные пределы (если они существуют) ~Х~, )(х) — 1(а), Ьт' . Дх) — 7(а) Ь*-~о+ Ьх е-+а+ х — а де-~о- Ьх е-~а- х — а называются соответственно правой и левой производной функщни Дх) в точке х = а. В рассмотренном выше случае р = (х( односторонние производные в точке х = 0 существуют, при этом правая производная в этой точке равна +1, а левая — 1. Связь понятий односторонних и обычной производных между собой выражается следующим очевидным утверждением. Утверждение 2. Функция Дх) имеет производную в точке х = а тогда и только тогда, когда существуют левая и правая производные и о«и равны между собой.
Лекция 17 1 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Т е о р е м а 1. Пусть функция ~р($) дифференцируема в точке ~ = о, причем у(о) = Ь, ~р'(и) = а. Далее, пусть функция у(х) диффереицируема в точке а = Ь, причем у'(Ь) = ~д. Тогда сложная функция 9(1) = У(Ф)) диффереипируема и точке 1 = а, причем у(1)=р а. Д о к о з а п1 е л ь с е и о. В силу дифференцнруемости функций ;о(~) и у(х) имеем 9мг(1) = аЫ+ а1(Ы)Ы, а1(0) = 0; АДх) = ДХх+ Д(Ьх)Ах, Д(0) = О.
Здесь а1(Ь|) и )ч(сьх) определены в некоторых окрестностях точек Ы = 0 и Ах = 0 соответственно и стремятся к нулю при Ы вЂ” э 0 и при Ьх -+ О. Возьмем во втором равенстве величину Ьх равной сто(~). Тогда получим ЬУ(х) = Улр(1) + Ар(1)У,(лр(г)) = = раЫ + Ы(аД(Ар(г)) + а1(Ы)р1(Ьр(1))). Кроме того, имеем, что Ау(х) = Ау(~), т.е. Ьд(с) = 9аЫ+Ьг-у(Аг), где т(Ы) = аЯ (Ар(С)) + а1(Ьг)р1(А рЯ). Но Ау(~) -э 0 как функция Ы при Ы -+ О, поскольку функция р(8) дифференцируема в точке 1 = о. Отсюда по теореме о пределе сложной функции имеем, что Д(Ьр(1)) и а1(Ы) есть бесконечно малые при А~ -+ О, Следовательно, функция т(Ы) — тоже бесконечно малая при Ы -+ О.
А это означает, что )1аА~ — дифференциал функции 9(~) в точке 1 = а, т.е. 49(8) = ~дав| = Дай, — = Уа. оу(8) и'1 ~оз Теорема 1 доказана. Замечание. Область определения функпий а1(Ь1) и д1(Ьх) Ьу = аЬ1+ а1(ЬС)Ь1, ЬУ = дух + д1 (Ьх)Ьх, целиком содержит некоторые окрестности точек Ь1 = 0 и Ьх = О, поскольку при определении дифференциала мы доопределили эти функции в нуле по непрерывности, положив а1(0) = д1(0) = О. Если этого не сделать, то наши рассуждения при доказательстве теоремы о дифференцируемости сложной функции будут ошибочны, так как о1(Ь1) может принимать значение, равное О, даже тогда, когда Ь1 ф 0 для некоторых Ы, принадлежащих той окрестности точки О, в которой была определена функция.
Заметим также, что мы говорим о производной функции у(х) в точке х = а только в том случае, когда эта точка — внутренняя точка области определения /(х). Если же говорится только о правой производной у'(а+), то область определения у(х) должна содержать промежуток (а,а+ б), а если о левой — то ( — б+ а,а). Дифференциал аг(х) функции 1'(х) в любой точке х = хо отрезка (а,6] является линейной функцией сЬт от аргумента Ьх. Здесь для каждого значения производная ~'(хо) = с имеет евое собственное значение. Таким образом, процедура взятия дифференциала порождает отобралсение отрезка [а, 6) в множество линейных функций. Это отображение не является числовой функцией, так как его образ состоит не из чисел, а из функций. За такими отображениями утвердилось название "оператор", в данном случае — дифференциальный оператор. А сама процедура отыскания дифференциала или производной функции в точке, как уже говорилось, называется операциеп дифференцирования или просто дифференцированием, Напомним также, что функция, для которой существует производная в точке хо, называется диффереицируемой в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
