Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда функции у(х) и у(х) непрерывны в точке а слева. Поскольку ~~ф -+ 1 при х -+ а —, для любого е > О существует бз — — бз(е) > О такое, что при всех х б 1(бз) = (а — бз,а) имеем — — 1 (с. ! у'(х) у'(х) Положим б = ппп(быбт,бз). Тогда для каждого х б (а — б, б), используя теорему Коши, получим где с б (х,а) С (а — б,а). Таким образом, по определению предела 1пп — = 1, У( ) -аа- у(Х) что и требовалось доказать. гте С л е д с т в и е 1.
В теореме 1 можно заменить условие х -+ а— и интервал (а — д, а) на условие х -+ а+ и интервал (а, а+ з). Для д о к а з а ш е л ь с гл в а этого факта достаточио сделать замену переменной у = 2а — х н применить теорему 1 к функциям !1(у) = З(х) и д1(у) = у(х). Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям теоремы, причем у = 2а — х -э а- прн х -+ а+.
С л е д с т в и е 2 (первое правило Лопиталя; неопределенность О вида — прн х -+ а). Пусть: О 1) Дх) и у(х) определены на некотором интервале (а — а, а+ а) а" днфференцируемы на нем, за исключением, быть может, точки х = а; 2) 1пп у'(х) = 1пп д(х) = О; 3) У'(х),у'(х) ф О при х б (а — Б, а+ а), х ф а; 4) существует конечный или бесконечный предел: 11п1з, ~уЫ. у(х) Тогда существует предел 1пп — и имеет место равенство з-~а у(х) 1пп — = !пн —, у(х), у'(х) з-~а у(Х) э-~а у (Х) ,Ы о к а з а ш е л ь с гл е о непосредственно вытекает из теоремы 1 и следствия 1.
Похожая теорема имеет место дли предела отношения 4М н в том случае, когда у(х) и д(х) стремятся к оо при х — 1 а (неопределенность энда — "'). Однако доказательство в этом случае усложняется по причине, которая будет ясна дальше. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 2 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида — при х -+ а-). Пусть: 1) у(х) и у(х) дифференцируемы в интервале вида (а — Ь, а), 6 > О; 2) у'(х), д'(х) ф О при всех х Е (а — 6, а); 3) Дх) -+ оо, д(х) -э оо при х — 1 а-; 4) существует конечный нлн бесконечный предел 1пп ~ф. з-+а- з ~*/ Тогда предел отношения функций также существует и имеет место равенство 1пп — = !пп —, У(х) . У'(х) *-~а- у(х) * — у'(х) ~7 о к а з а ш е л ь с ш е о.
Очевидно, что можно считать 1нп —, =! Е%, У'(х) з->а- у'(Х) 127 т.е. предел конечен. Действительно, если 1пп бтра = оо, то а'~~~ 1пп, = О. у'(х) о-~а- у'(х) И вместо того чтобы доказывать, что !пп ф = оо, достаточно . ,а о,*, показать, что 1пп ф = О. Одновременно это будет означать, что э-~а- ~~~/ 1пп ~~~-~ = оо. Как и при доказательстве теоремы 1, будем использовать формулу Коши. Но здесь ситуация сложнее, так как мы не можем сразу отношение ч-)~ заменить на т-(-)-.
Тем не менее это можно сделать ума оМ с малой погрешностью, которая, по существу, стремится к нулю. Будем считать, что в некоторой полуокрестности (а — Ьма) точки а выполняется неравенство у(х) ф О и у(х) ф О. Это возможно, поскольку /(х) — э оо, у(х) о оо при х + а —. Пусть ез — любое число, О < 81 < 1/2. Возьмем 41 = бг(81) > О так, чтобы неравенство ! — — ! < зм б1 < ппп(Ь,Ь1) у'(х) у'(х) выполнялось дли всех х из интервала (а — бз,а). Это возможно, так как !пп —, = ! Е 11 Г(х) -+ — у'(х) существует по условию.
Пусть хо — некоторая точка из этой окрестности. Поскольку 1пп, +, !'(х) = оо, то найдется бз — — бз(е1) > О такое, что ~~(х)! > — т х Е (а — бз,а). (у(хо)( 81 Аналогично найцется бз = бз(81) > О такое, что !у(х) ~ > — Ч х Е (а — бз, а). !у(хо)! зз Пусть бо = ппп(быбз,бз), )о = (х ) х Е (а — бо,а)), Тогда для любого х Е 1~ в силу теоремы Кошя имеем Ь~(хо) ) У(х) — 1(хо) ) У'(с) Ьу(хо) ) у(х) — у(хо) / у'(с) 128 где с Е (х, хо) С 1ю Отсюда получим — ! +! < с1+ )!) < 1+ (1~. Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств: ~(х) ~ Щ ЬУ(хо) Ь|(хо) у(х) ~ у(х) Лу(хо) Ьу(хо) У( ) !~У( )~ !~У(* ) у(х) Ьу(ха) ) Ьд(хо) уТ~7 Но так как — = 1 + а, где (а! < е1, у(хо) у(х) = 1 + !1, где ф! < г1, Ьд — =1— у Ь.г — =!в то 1 + а )о — ф 2е1 А= — 1 1+ф (1+ 8) О 5 < — = 4е1. Следовательно, получаем ! — — ! < Ц!(+ 1)4е1+ г1 — — г1(4)Ц+ б) = с., У(х) д(х) Положим о(е) =до 1пп — = !.
Пх) а-+а- д(х) Теорема 2 доказана. омоем оо меммчсеся анмое 129 Тогда дли любого е = (О, -'(4Щ+5)) найдено о = о(е) = Ео (ф+— ) такое, что для любого х Е (а — 6, а) выполняется неравенство ~-Я. — 1~ < е. Это значит, что С л е д с т в и е 1. Если в теореме 2 условия х — ~ а — и х б (а — !«,а) заменить на условия 'х -+ а+ и х Е (а,а+ !«), то утверждение теоремы остается в силе. Для д о к а з а «и е л ь с т е а достаточно применить теорему 2 к функциям Л(д) = у«(2а — х) = у(х), у«(у) = у«(2а — х) = у(х).
С л е д с т в и е 2 (второе правило Лопиталя; неопределенность со вида — при х -о а). Пусть: !) Дх), д(х) определены и лнфференцнруемы в проколотой Ь- окрестности точки а; 2) у«(х),д'(х) ф' О в той же окрестности точки а; 3) 1(х) -+ оо, д(х) -о оо при х -+ а; 4) существует предел отношения производных 1пп гф. Тогда предел отношенн» функций + существует н равен 1пп — = 1пп —, У(х) .
У'(х) о-«о у(х) о-«а у«(х) ,!! о к а з а ш е л ь с т в о етого утверждения непосредственно следует из утверждений теоремы 2 и следствия -1. Замечания. 1. В теоремах 1 и 2 условие х -+ а- можно заменить условием х -++со или х -+ -оо, а во вторых следствиях теорем 1 и 2 — на х -+ со.
Доказательство проводится посредством подходящей замены переменной. Например, в случае !пп 4-'-) надо положить х = — 1)!. о-«+со о«« Тогда Отсюда следует существование предела 1пп —, = 1,, Д (х) «-«о- у' (Ф) и затем по теореме 1 имеем 1пп — = ! = 1пп у«(х) , г(х) «-«о- у«(х) *-«+ у(х) 2. Применение теоремы Штольца о пределе отношения двух последовательностей позволяет существенно упростить довольно громоздкий вывод второго правила Лопиталя.
Далее мы приведем еще один ва- риант доказательства теоремы 2, основанный на указанной выше идее. /(х ), /(х„ег) — /(х») . /'(с») у(х») р(х»+г) — р(х») у'(с») ' если только последний предел существует. Но для чисел с» мы имеем здесь неравенства х» < с» < х»ег, откуда следует, что с» -+ а при о -) оо, поэтому последний предел суШествует и равен !.
Таким образом, теорема 2 доказана полностью. Примеры. 1. 1пп х* = 1. Но второму правилу Лопиталя имеем ».» О+ 1и х 1пх* = х1пх = —, 1/х — 1пп — = 1пп ( — х) = О, 1/х »->о+ — 1/хо»-»о+ ))~и»)»» 1пп е'"' =е '+ =е =1, »-»о+ 1п х 1пп— о+ 1/х 1пп х~ = »-~о+ 2. Используя первое правило Лопиталя, получим х — зшх . 1 — созх з(пх 1 !пп = 1пп = !пи — = —. *-»о хз *-+о Зхз -»о бх 6 5' /! о х а з а га е л ь с яг в о теоремы 2. В силу определения предела по Гейне мы имеем, что условие ф — ) ! при х -) а- означает выполнение условия -М -э ! для любой возрастающей У,»., последовательности (х»), сходяшейся к а, х„ф а. Но так как по условию теоремы у(х) -+ оо при х — ) а —, то и у(х„) -О оо при о -+ оо, а зто значит, что к отношению — ( — ).
можно применить теорему /!х ) о(;)' Н!тельца. Позтому, используя еше и теорему Коши, будем иметь Лекции 22 $11. ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В качестве приложения докажем формулу Тейлора с оси!аи!очным членом в форме Пеако иля, как ее еще называют, локальную формулу Тейлора. Мы видим, что дифференциал ау приближает приращение !з| с точностью до бесконечно малой порядка, большего 1.
Это означает также, что АУ(а) — 4(х))»е = о(Ах), т.е. имеем у'(х) — у(а) — у'(а)(х — а) = о()х — аО при х -э а, Правило Лопиталя позволяет обобщить это утверждение. Рассмотрим мпогочлем Тейлора степени и! д(х) = т»(а, х) = ~(а) + — !]!х+, (Ах) + +, (Ах)", у'(а) у»(а) у1") (а) где !лх = х — а. Т е о р е м а (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть у(х) днфференцнруема и- 1 раз в некоторой окрестности точки х = а н существует у1")(а).
Тогда т(х) = у(х) — у„(а,х) = о((!лх)") прн Ах -+ О, ,Ы о к а з а»! е л ь с и! в о. Применим первое правило Лопиталя и — 1 раз при х -+ а к отношению (х) = (х — а)» Получим г(х) . г'(х) 1пп „= 1пи » +а (х а)»» +а и(х а)» ! .1»-!)( ) 1 У1»-!]( ) (»-!)(х) 1пп = — )пп »-»» и](х — а) и!»-+» х — а )зг Далее имеем 1)(а-1)(х) у!и- )(а»+ Ра)(а)(х а) Отсюда 1(а-1)(х) а-+а а-+а ((Х вЂ” а)а)1а 1) !пп а(х) = !пп = — !пп ( —,)!")(а)( = — (1 " (а) — У" (а)) = О. уу!"-')( ) — у!"-')( ) „) ! 1„) И! а-аа х — а ( Другими словами, о(х) есть бесконечно малая функция при х -1 а. Следовательно, г(а) = (х —.а)"а(х), где а(х) — бесконечно малая, т.е. г(х) = о((х — а)").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
