Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Величяна же Ь~ стремится к 1с при х~ — ~ х. Поэтому предел 1 функции ~'(х~+) при х~ — ~ хе+ не меньше, чем х, т.е. ! > й, Отсюда следует, что 1> 1пп Ь = !'(х+), *чг0т но в силу того, что у'(х+) не возрастает, всегда имеем, что! < у'(х+), т.е.
1 = у'(х+), что и означает непрерывность справа функции ~'(х+) в точке хе. Лекпии 25 з 15. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Определение 1. Точку хц из интервала (а,Ь) будем называть точкой перегиба дифференцнруемой фупкцни Х(х) (или ее графика), если существует проколотая 6-окрестность точки хц такая, что и в правой, и в левой ее полуокрестностях функция Х(х) имеет выпуклый график, но направление выпуклости справа н слева разное. Л е м м а 1. Если хц — точка перегиба функции Х(х) я Х'(х) существует на (а, Ь), то в некоторой 6-окрестности точки хц разность г(х) = Х(х) — (Х(хц) + Х'(хц)(х — хц)) является неубывающей яли иевозрастающей функцией в точке хц (в зависимости от язменения направления выпуклости).
,О ц к а з а щ е л ь с ти в о. Возьмем проколотую 6-окрестность точки хц, в правой и левой частях которой Х(х) имеет разные направления выпуклости. Пусть для определенности прн хц — 6 < х < хц функция У(х) выпукла вверх, а прн хц < х < хц+ 6 — выпукла вниз. Надо доказать, что г(х) > О при всех х б (хц, хо+ 6) и г(х) < О при всех х б (хц — 6,хц). Рассмотрим сначала первый случай, Имеем г(х) = У(х) — (Х(хц) + Х'(хц)(х — хц)) = (У(х) — У(хц)) — У'(хц)(х — хц).
К разностя Х(х) — У(хц) применим теорему Лагранжа. Тогда при некотором х1 б (хц, хц + 6) будем иметь г(х) = Х'(х1)(х — хц) — У'(хц)(х — хц) = (Х'(х1) — Х'(хц))(х — хц). По теореме 5 на интервале (ац, хо+6) функция Х'(х) непрерывна н не убывает. Точно так же доказывается, что Х'(х) не убывает н непрерывна на (хц — 6,хц). Но так как производная не может иметь разрывов первого рода, а монотонная функция не может иметь разрывов второго рода, то Х'(х) непрерывна я в точке хц.
Далее, в силу того, что Х'(х) ие убывает в проколотой окрестности точки хц и на основании ее непрерывности в этой точке имеем, что н в точке хц она тоже не убывает. Но тогда Х'(х1) — Х'(хц) > О, откуда г(х) = (Х'(х1) — Х'(хц))(х — хц) > О. Случай х < хц разбирается совершенно аналогично.
Лемма 1 доказана. 151 Т е о р е м а 1 (необходимое условие перегиба). Если у(х) в точке х = ха имеет вторую производную и точка ха — точна перегиба, то уа( ) =О Д о и а з а т е л ь с т е а. (От прадаиенога). Допустим, что 1'а(ха) ф О. Легко видеть, что га(х) = 2'а(х). Поэтому га(хо) = ("(ха) ~ О. Но поскольку " (хо) = У (ха) — г (ха) = О, то по второму достаточному признаку экстремума функция г(х) имеет строгий локальный экстремум. Это противоречит утверждению леммы, по которому г(х) пе убывает или г(х) не возрастает. Отсюда следует, что (а(ха) = О.
Теорема 1 доказана. Далее будем говорить о точках перегиба только в строгом смысле, имея в виду, что в определении точки перегиба имеет место строгая выпуклость в обеих полуокрестностях. Т е о р е м а 2 (первое достаточное условие строгого перегиба). Пусть )(х) дважды дифференцяруема в проколотой окрестности точки х = хг и (а(х) имеет в ней разные знаки прн х < ха н х > ха. Тогда, если )"(ха) = О или )а(ха) не сугцествует, то ха — точка строгого перегиба графика функции У(х).
Д а к а з а га е л ь с т е а. Так как )а(х) сохраняет знак при х < ха и х > ха в некоторой проколотой б-окрестности, то у(х) имеет разные направления строгой выпуклости в этих частях б-окрестности. По определению это означает, что ха — точка строгого перегиба. Теорема 2 доказана. Эту теорему можно сформулировать так: если Уа(ха)ао О и )а(х) строга возрастает е точке ха, та ха — точка страгага перегиба (та же и е случае ~" (ха) = О, уа(х) строго убывает). Т е о р е м а 3 (второе достаточное условие строгого перегиба).
Пусть у(х) дважды дифференцируема на (а,6), 1'а(ха) = О и сугдествует ('"(ха) ф О, Тогда ха — точка строгого перегиба. Д а к а з а т е л ь с т е а. Так как 21з1(ха) ф О, то либо (РО(ха) > О, либо (1~1(ха) < О. В первом случае имеем (а(х) строго возрастает в точке ха, а во втором — уа(х) строго убывает в точке ха. Поэтому из теоремы 2 в обоих случаях следует, что ха — точка строгого перегиба. Теорема 3 доказана. 152 Т е о р е м а 4 (третье достаточное условие строгого перегиба). Пусть хо Е (а,Ь) и пусть у(х) диффереяцируема 2(с раз на [а, Ь].
Пусть существует у(~"+П(хе) ф О и (<21(хе) = /(~1(хс) = ... = ~(г"1(ха) = О. Тогда хю — точка строгого перегиба. Д о к а з а яс е л ь с яг е о. Заметим, что хэ в силу условия у(2~+11(хо) 5Ь О является точкой возрастания или убывания для ((г" 1(х). Рассмотрим проколотукг 5-окрестность 1( точки х~, в которой ~(г"1(х) меняет знак при переходе через хс и сохраняет знак внутри каждой из двух ее полуокрестностей. Далее можно считать, что Ь > 2, так как при /с = 1 теорема 4 следует из теоремы 3.
Пусть х Е 1(. По формуле Тейлора имеем сс(гь-11(х ) (1221(с1 у(21(х)=Г(21(хе)+...+ ' е (х — хе)2" г+ ' '(х-х )гь-г (2Й-3)! (2/с — 2)! У ( )(, )гс-2 (2/с — 2)! где с = с(х) Е 1( и (х — хс)с(х) > О. Но (х — хо)г~ 2 сохраняет знак при х Е У, а ((2~1(с) меняет знак. Поэтому и ~12((х) меняет знак, следовательно, по теореме 2 точка хс — точка строгого перегиба. Теорема 4 доказана. Примеры. 1. у = хг: точка 0 — точка перегиба (строгого).
2. у = хг"+': точка Π— точка перегиба (строгого). Определенме 2. Прямая х = а на плоскости хОу называется вертикальной аснмптотой функции у(х), если один из пределов 1пп у(х) или 1пп у(х) равен кос. Пример. у = 1('х. Здесь прямая х = Π— это вертикальная асимптота. Определение 3. Прямая у = (сх+Ь называется наклонной аснмптотой функции ((х) (или, точнее, графика функции у = ((х)) при х -1 +со, если а(х) = у(х) — Iсх — Ь -г О при х -г +со.
Аналогично определяется асимптота при х -+ -со. 153 Т е о р е м а 5. Для существования наклонной асимптоты у = Ьх+ Ь при х -+ +ос у функции у(х) необходимо я достаточно, чтобы цря х -~ +со (одновременно) выполнялись два условия: !) !ип ~~~-" =6, 6 ЕЖ, О~+<» 2) !ип (!(х) — Ьх) = Ь, 6 б6!. О-++О» Д о к в з а та е л ь с т в о. Необходимость. Пусть у = Ьх+6— асимптота, тогда а(х) = у(х) — Ьх — 6 — ~ О при х -~+со.
Следовательно, у'(х) — Ьх — 6 -+ 0 прн х -> +со, х откуда 1ип — = й. У(х) Далее, 1ип (У(х) — Ьх) = 1ип (()'(х) — Ьх — 6) + 6) = 6. Тем самым первая часть теоремы доказала. Доппаювчность. Так как !ипе >О (Дх) — Ьх) = 6, то 1ип а(х) = 1ип (у(х) — Ьх — Ь) = 1ип (Щх) — Ьх) — 6) = 6 — Ь = О. О-++»О О-++»О О "ООО Теорема доказана полностью. Если для функции у(х) выполнено условие 1 теоремы 5, то мы будем говорить, что прямая у = Ьх задаег асимптотическое направление. Пример нахождения наклонных асимптот в случае функции, заданной неявно.
Рассмотрим уравнение кривой хз+ уз — Заху = 0 Зададим ее параметризацию, полагая у = !х. Тогда получим хз(1+ 1~) — Зцх~! = О За! Зв! 1+!з — — = О, х = —. !.ь!З' Отсюда имеем: и = ! = !(х) — ограниченная величина прн х — ~ оо и !(х) -+ -1. Следовательно, ! = -1, т.е. прямая у = — х задает асимптотическое направление.
Найдем теперь значение параметра 6 е уравнении касательной у = -х+ Ь. Имеем у = -я+6+ о(1), х + (-х + 6) — Зах( — х + Ь) = о(х~), откуда Зх~(Ь + а) + Зх(аЬ вЂ” Ьз) + Ьз = о(хт), оЬ вЂ” Ьг Ьз Ь+ е+ + — = о(Ц. Зх' Переходя в последнем равенстве к пределу при х -+ со для постоянного 6, получим равенство 6+ е = О, откуда Ь = — а, и, следовательно, искомое уравнение асимптоты при х — + оо имеет внд у = — х — а.
Краевой экстремум. Пусть у(х) задана на отрезке [а,Ь). Определение 4. Точка а называется точкой краевого локального максимума (мнннмума), если существует интервал (а,а+ е) Е (а,6), для всех точек х которого справедливо неравенство у(а) > У(х) (соответственно У(х) > У(а)). При г(а) > у(х) имеет место несобственный (локальный) максимум; при Да) < Дх) — несобственный (локальный) минимум. То же самое можно определить и для точки 6, только интервал (а,а+6) надо заменить на интервал (6 — Ь,Ь).
Краевые максимум и минимум называются краевыми экстремумами. Л е м м а 2. Для существования (собственного) краевого экстремума в точке а (или 6) достаточно, чтобы в этой точке существовала отличная от нуля одвостороявяя производная функции Дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
