Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

,)1 о к а з а т е л ь с ш в о. 1. При 6 = 1 утверждение следует из теоремы 2. Пусть 6 > 1. Выразим у"'(х) по формуле Тейлора: з (х) = у (хо) + †(х — хо) + + (х — хо) + У"(хо) У (хо) та-3 ]) (26 — 3)! У)та - 1) (с) + (26 — 2)) (х — хо) Отсюда о) (с) ~(*)- (26 2)(( Определение 1.

Функция Дх) называется выпуклой вверх на интервале (а,6), если график функцяи лежит под касательной для любой точки данного интервала. Это значит, что если хо — произвольная фиксированная точка из (а,6) и ~,(х) = У(хо) + У'(хо)(х — х,), ~1(х) > Дх) Ух Е (а,3). то Поясним, что график линейной функции у1(х) является касательной к графику ~(х) в точке хо 146 Так как у1оа) (хо) < О, то у1м 1)(х) убывает и, следовательно, у(о" ')(х) меняет знак + на — при переходе через точку хо, а значит, и у'(х) мейяет знак + на —. Поэтому хо — точка локального максимума. Случай 2 рассматривается аналогично.

Теорема доказана. Определение 2. Функция Дх) называется выпуклой вниз на (а,6), если графяк ее лежит над касательной, г.е. ~1(х) < Дх) Ух б (а,6). Т е о р е м а 4. 1. Если ~Я(х) < О на (а,6), то у(х) выпукла вверх на (а,6). 2. Если уа(х) > О на (а,6), то Дх) выпукла вниз яа (а,6). Д о к а з а т е л ь с т е о. 1. Из формулы Тейлора имеем ~(х)'= Дхо) + У (хо)(х — хо) + †(х — хо), уя(с) 2 где с б (а,6). Так как )'"(с) < О, то ~(х) < ~1(х) Чх б (а,6), что и требовалось доказать. Случай 2 доказывается аналогично. Т е о р е м а 4а.

Если )о(хо) < О и ~л(х) непрерывна в хо, то Л 6-окрестность точки хо, в которой у(х) выпукла вверх. ,П о к а з а т е л ь с я1 е о. Поскольку у"(х) непрерывна в точке хо и у"(хо) < О, существует число д~ ) О такое, что у"(х) < О в 6покрестности точки хо, и в ней по теореме 4 функция Дх) выпукла вверх, что и требовалось доказать. Замечание. Если в определениях 1 и 2 имеют место строгие неравенства, то функция у(х) называется. строго выпуклой. Строгие знаки неравенства в теоремах 4 и 4а влекут за собой строгую выпуклость функции Дх).

Т е о р е м а 5. Пусть функция Дх) имеет первую производную на интервале (а,6) я выпукла на этом интервале. Тогда производная у'(х) является непрерывной и монотонной функцией на этом яптерваае, причем строгая выпуялость у(х) влечет за собой строгую мояотонносгь )'(х). Выпуклость вверх лри этом соответствует убыванию, а вылуклость вниз — возрастанию производной ~'(х). Д о х а з а 1а е л ь с т е о.

Мы ограничимся рассмотрением только одного случая, а именно, когда функция выпукла вниз в нестрогом смысле. Выберем произвольным образом на интервале (а,6) две точки хо < хю Пусть й1 = у(х1) и уо —— у(хз). Точки (хпйо) и (хмйт) на координатной плоскости соединим хордой и ее угловой коэффициент ~э=~а обозначим через йо. Через точку (хмй~) проведем касательную прямую к графику функции у = у(х). Поскольку у(х) выпукла вниз, эта касательная лежит под графиком, следовательно, и под хордой, имея с ней общую точку (хмй1). Но зто возможно лишь в том случае, если угловой коэффициент касательной ~'(х1) не превосходит углового коэффициента хорды Ье, т.е. если у'(х1) < йе. Рассуждая подобным образом относительно точки (хг, уг), приходим к неравенству ье < ~'(хг), откуда имеем ~'(хг) < йе < 1'(хг) В силу произвольности выбора точек х1 < хг это означает, что ~'(х) не убывает на (а, Ь).

Теперь заметим, что по теореме Дарбу функция ~'(х) принимает все свои промежуточные значения, а это ввиду монотонности у(х) влечет за собой непрерывность функции ~'(х). Таким образом, рассматриваемый случай разобран полностью. Другие случаи рассматриваются совершенно аналогично, поэтому теорему 5 можно считать доказанной. Замечание.

Из определений 1 и 2 следует, что всякая хорда, соединяющая две различные точхи графика функции, выпуклой вверх, лежит под ее графиком, а для функцыи, выпуклой вниз, она лежит над графиком. Это свойство часто берется в качестве исходного определения выпуклости функциы (вверх или вниз соответственно). Рассмотрим его подробнее на примере функщии выпуклой вверх. Запишем свойство выпуклости вверх функции в аналитической форме с помощью неравенств. Значения координат точки (х,у), находящейся на хорде с концами в точках (хг, у1), у1 = У(хг) и (хг, уг), уг = 1(хг) при х1 и хг, принадлежащих интервалу (а,Ь), с условием х1 < хг можно записать в виде х = Л1хг+ Лгхг, у = Лгуг + Лгуг, где Л1 > О, Лг > 0 и Л1+Лг — — 1.

Поскольку величина у в этом случае не должна превосходить у(х), то условие выпуклости вверх будет выражено следующим соотношением У(Л1х1+ Лгхг) > у = Лгуг + Лгуг — — Л1У(х1) + Лгг(хг). В этом случае функция 7(х) непрерывыа на интервале (а, Ь) и имеет на нем правую и левую производную. Далее мы докажем непрерывность функции и ограничимся рассмотрением только правой производной. Сначала докажем непрерывность справа функции у(х) в любой точке хе интервала (а,Ь).

Прежде всего отметим следующий геометрический факт, состоящий в том, что всякая прямая пересекает графык функции ~(х) либо по некоторому отрезку, либо не более чем в двух точках. Действительно, если бы нашлись три такие точки А = (хг, у1), В = (хг, уг) и С = (хз, уз), хг < хг < хз, то на интервале (хг,хг) или на иытервале (хг,хз) существовала бы точка х4, для которой точка Р = (х4,у(х4)) не лежит на хорде с концами А и С. Но тогда при х Е (хг,хг) точка Р обязана лежать выше хорды АВ и 148 хорда ПС лежит выше точки В, что противоречит выпуклости вверх функции у(х). Если бы точка ха лежала на интервале (хюхз), то выше точки В проходила бы хорда Ао.

Отсюда следует, что если точка ха б (а, Ь) лежит левее точки хе, то часть графика функции у(х), отвечающая точкам х > хе, лежит, под продолжением хорды 11, соединяющей точки (ха,1'(ха)) и (хо У(хе)). Это значит, что если 61 — угловой коэффициент корды 11, то при всех х > хо имеем 1ь|(Хе) < 61Ьх, где Ьх = х — хе. Следовательно, при Ьх > О заключаем, что ЬУ(хе) = 0(1хх) -+ О при Ьх -+ О+, т.е. у(х) непрерывна справа в точке хе б (а,6).

Подобным же образом можно установить, что функция у(х) в точке хе непрерывна слева. Таким образом, во всех точках интервала (а, 6) эта функции является непрерывной. Переходя к доказательству существования правой производной функции 1(х) в точке х = хе, заметим, что для любых точек хе и хт с условием хе < хс < хт хорда, соединяю1цая точки (ха, 1(хо)) и (хю 1(х9)), лежит не ниже хорды, соединиющей точки (хе, Дхе)) и (хт,.1(хт)), поэтому для угловых коэффициентов 69 и 61 этих хорд справедливо неравенство 69 > йт, т.е. Таким образом, отношение ~,' не убывает при монотонном стремлении величины Ьх к нулю справа. С другой стороны, это отношение ограничено величиной 61, рассмотренной выше при доказательстве непрерывности справа функции 1(х) в точке х = хе.

Следовательно, согласно свойству монотонных функций существует предел отношения ЬУ(хо) а -~о+ Ьх который по определению и называется правой производной функции ,1(х) в точке хе. Случай левой производной аналогичен. Итак, мы доказали, что у выпуклой вверх функции правая и левая производные в любой внутренней точке отрезка (а, 6) существуют, хотя они и не обязаны быть равными. С другой стороны, мы установили, что правая производная функции У(х) в точке хе не превосходит углового коэффициента 61. Но предел величины 61 при хт -+ хс есть левая производная ~'(хе — ) функции 1(х) в точке * = хе, откуда следует, что в любой точке интервала правая производная не превосходит левой производной.

Если же рассмотреть две различные точки хе < хы то угловой коэффициент й хорды, соединяющей точки (хо, у(хе)) и (хы Дх~)), "разделяет" значения правой производной 1(хе+) в точке хо и левой производной у'(х) — ) в тачке хы т.е. ! (хе+) > й > ~'(х~ — ) > / (х~+). Отсюда следует, что у'(х+) не возрастает на (а, Ь). То же справедливо и для левой производной. Поскольку обе зти функции монотонны, каждая из них имеет не более чем счетное множество точек разрыва первого рода. Все остальные точки интервала (а, Ь) являются точками непрерывности обеих функций. Но в этом случае в силу последнего неравенства их значения совпадают, и тогда функция у(х) имеет обычную производную У'(хо) = У'(хо+) = У'(хо — ), которая к тому же будет непрерывной и невозрастающей функцией в этой точке.

Кроме того, по свойству точки разрыва первого рода в ней существуют правые и левые пределы для у'(х+) 'и у'(х-) и они одновременно совпадают соответственно с правой и левой производными в этой точке. Дело в том, что у функции выпуклой вверх правая производная в каждой точке непрерывна справа, а левая производная — непрерывна слева.

Снова будем рассматривать только правую производную функции у(х) в точке хо. По определению она равна предельному значению чисел Ь, являющихся угловыми коэффициентами хорды, соединяющей точки (хщ 1(хе)) и (х,Д(х)), когда х стремится к справа. Отметим, что при уменьшении х величина Ь не убывает. Если хс < х~ < х, то угловой коэффициент Ь, хорды, проходящей через точки (х~,Дх~)) н (х,1(х)), не превосходит ~'(х~+).

Характеристики

Список файлов лекций