Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Д о к а з а т е л ь с т е о. В качестве 61 выберем произвольное окончание из В. Существует только конечное число членов последовательности, которые не принадлежат 6ь Пусть х„, б Ьм тогда для любого Ь > 0 имеем х„,+» б Ь| (по свойству монотонности (х„)). В качестве Ьз выберем некоторое окончание, которому не принадлежит х„,. Такое Ьз существует, поскольку Ня = П» н Ь = И.
Действительно, если х„, Е Ь для любого окончания 6, то х», Е Нв. По тогда Нв не будет пустым множеством. В качестве х„, выберем член последовательности с минимальным нндексом, начиная с которого все последующие члены последовательности принадлежат 6гч и т.д. Таким образом, мы получаем две последовательности: элементов у, = х„, и окончаний (6,), 6, Е В таких, что х„. б Ь„ х„, ф 6,+1 и Ьк~ы С 6, для каждого з > 1. Лемма 1 доказана, Заметим, что последовательность (у,), очевидно, является монотонной по базе В. Последовательность (6„) назовем основной последовательностью окончаний. Л е м м а 2. Пусть (6„) — основная последовательяость окончаний. Тогда для каждого окончания 6 Е В существует окончание Ь» Е В такое, что Ь„С 6.
Д о к а з а т е л ь с т е о. Предположим противное. Пусть Ь' такое окончание, что для всех п имеем 6„1~ 6'. Тогда в соответствии со свойством 3 базы В выполняется следующее условие: Ь„З 6' для всякого и > 1, т.е. Ь' С Д„6 = Р. Из леммы 1 имеем, что у„ф 6„+1. Следовательно, у„ф П„6„= В, т.е. бесконечно 1тз много, даже все члены последовательности (у„) не принадлежат В. Далее, так как 6* С О, то окончанию Ь'не принадлежит бесконечно много членов последовательности (у„). Это противоречит тому, что последовательность является фундаментальной.
Лемма 2 доказана. 3. Пусть Дх) — вещественная функция, определенная на А. Мы называем число ! С-пределом функции у(х) по базе В, если для всякого е > О существует окончание Ь = 6(е) такое, что для всех х б Ь имеем (Дх) — !( < е. Обозначение: ! = С-1нпу(х) или просто ! =!1ш~(х). в в Это соответствует определению предела функции по Коши. Дадим теперь аналогичное определение предела.по Гейне. Число 1 будем называть Нт-пределом функции г"(х) по базе В, если для каждой монотонной последовательности (х„) по базе В имеем, что 1пп,!(х„) = 1.
Обозначение: ! = Нт-11шу(х). в Т е о р е м а 1. Для того чтобы существовал С-11шу(х), не- в обходямо и достаточно, чтобы существовал Нгп-1ппу(х); более того, в имеем Нт-1(га)(х) = С-11шЩ. в в Другими словами, понятия Нт-предела и С-предела функции по базе В являются эквивалентными. Д о к а з а т е л ь с т.е о. Необходимость.
Пусть С-предел существует, т.е, С вЂ” 11ш!(х) =1. в Тогда по определению для любого е > О существует Ь = 6(е) такое, что при всех х Е 6 справедливо неравенство ~~(х) — 1~ ( е. Рассмотрим произвольную последовательность (х„), монотонную по базе В. Из условия монотонности следует, что существует ое такое, что для всех и > пе имеет место соотношение х„ Е Ь.
Следовательно, Щх„) — !)(е ч п>по, т. е. 1цп Дх„) =1. Достаточность. Предположим протявное. Пусть Нт-1пп ! (х) = 1, в но С-предел не существует или не равен 1. Это означает, что 176 существует е > О такое, что для каждого окончания 6 б В найдется х б Ь, для которого ~Дх) — 1~ > е. Рассмотрим основную последовательность окончаний )6„). Пусть х1 б 61 и ~Дхг) — 11 > е. Так как Нв = !)ген 6 = и, то существует окончание ЬОО б В такое, что х1 !с Ь<'1, В силу леммы 2 при некотором п1 имеем 6„, С 6<'!.
Следовательно, х1 ф 6„,. Далее, существует точка хх б 6со такая, что Щхх) — 1~ > г. Как и выше, мы находим окончание Ь„„удовлетворяющее условию хх !г 6„,. Затем выбираем хз б 6„, такое, что Щхз) — 1! > е, н т.д. Таким образом, мы.получаем последовательность (х„), которая удовлетворяет условиям хх б Ь„„„хь ф 6„„, и последовательность окончаний Ь, = Ь„, 3 Ь„, Э Ь„, З ... Покажем, что последовательность (хз) является фундаментальной и монотонной по базе В.
Фувдамевтальвосвгь. Возьмем любое окончание 6' б В. По лемме 2 существует окончание 6» такое, что Ьг С 6*. Если и, > 6, то 6„, С Ьх С 6'. Окончанию Ь„, не принадлежат только злемеиты хш ,,х, последовательности 1х„), и для любого и > х имеем х„ б 6„, С 6*. Значит, последовательность'(х„) является фундаментальной. Моновгокносюь. (Овг прооговного). Предположим, что существует окончание 6' б В такое, что для некоторого номера Ь имеем хх б Ь, ха+! ф6".
Из построения последовательности (х„) получим, что хг+~ б 6,. Следовательно, Ь„, 3 6" (по свойству 3 базы). Так как хг б 6', то хь б 6„„. Однако зто противоречит тому факту, что по построению последовательности (хь) справедливо условие хь к 6„,. Таким образом, последовательность (хх) является монотонной. Далее, из того, что Нпг-!пнях) =1, в имеем !пп Дх„') = 1. оооо Следовательно, мы можем перейти к пределу в неравенстве Щх„) — 1! > х > О. Получим О > х > О, что невозможно. Теорема доказана. Будем говорить, что число 1 называется Н-пределом функции г'!х) по базе В, если для любой фундаментальной последовательности !х ) по базе В выполнено условие !пп у!х„) =1.
Обозначение: ! = Н-!пнях). в 1гг Т е о р е м а х. Следующие три понятия предела эквивалентны: 1) 1ппу(х) = 1; В 2) Н-11ш~(х) = 1; в 3) Нт-1ппу(х) =1. в Д о к о з а оь е л ь с и» е о. Имеет место следующая цепочка утверждений: 1 ~ 2 =Ь 3 ~ 1. Первые два из них очевидны, а третье следует из теоремы 1. 4. Теперь докажем несколько свойств верхнего и нижнего предела по базе.
Пусть (х„) — монотонная последовательность по базе В и пусть существует 1пп у(х„) =1. Тогда! называется частичным пределом по базе В. Наибольший из частичных пределов (если он существуег) называется верхним пределом функции у(х) по базе В н обозначается !!шит(х); нов добныы образом наименьший частичный предел называется нижним пределом по базе В и обозначается 11шу'(х). В Число 1» называется верхним предельным числом, если !ь — — ш1 впр у(х), ЬЕВ»ЕЬ а число !т — нижним предельным числом, если 1г — — впр 1п1 у(х). ЬЕВ»ЕЬ Т е о р е м а 3.
Пусть у(х) фияально ограничена. Тогда верхний и нижний пределы у(х) по базе В существуют и !пп)(х) — ш! Епр у(х), В ЬЕВ,ЕЬ 1ппу(х) = впрпКу(х). В ЬЕВ»ЕЬ ,!У о к а з а о» е з ь с я» в'о. Для любых двух окончаний 6п 6з базы В имеем ш! )(х) < впр !(х). »ЕЬ»»ЕЬ» Действительно, если 6з — окончание базы В и 6в С 6ь Г1 6з, то ш1 у(х) < пК у(х) < впр у(х) < впр 7(х). »ЕЬ»»ЕЬ»»ЕЬ»»ЕЬ» гтв Следовательно, в силу финальной ограниченности у(х) по базе В существует такое число Л, что Л = Ы вору(х). ЬВВ,вь Докажем, что !ппУ(х) = Л. В Шаг 1. Мы можем найти окончание Ь' б В, для которого у(х) < Л+1 для любых х б 6*.
Из леммы 2 следует, что существует окончание 6„, Е В с условием 6„, С Ь'. Покажем, что можно найти элемент х1 б 6„, с условием Л + 1 > у(х1) > Л вЂ” 1. Достаточно показать, что вцр у(х) > ((х1) > Л вЂ” 1. хвЬ„ Если бы такого элемента х1 не было, то в. х б 6, выполнялось неравенство у(х) < Л вЂ” 1. Следовательно, вцр 1(х) < Л вЂ” 1, хВЬ откуда имеем Л = 1в1 впр у(х) < Л вЂ” 1. ЬВВ хВЬ Имеет место противоречие. Далее мы можем найти окончание Ьв такое, что х1 ф 6в .
(Такое (1) (1) окончание сУществУет, посколькУ НВ = Пьвв 6 = Я.) Шаг У. Выберем окончание 6(в) б В, подчиненное условию у(х) < Л+ — Ч х б 6(~). 2 Рассмотрим окончание 61 С 61~) П Ьв . Окончанию Ь, б В не (в) принадлежит х1. Далее, как и в шаге 1, существует окончание 6„, С Ь(, которое содержит точку хв вЬ х1 такую, что (в) 1 1 Л вЂ” — < У(хв) < Л+ —, 2 2' н т.д, Наконец мы получаем последовательность (х,), которая удо- влетворяет условиям 1 1 хв б Ьх„хв (6 Ьх,, Л вЂ” — < у(хх) < Л+ —. в в 179 Как и при доказательстве теоремы 1, устанавливаем, что (х„)— монотонная последовательность по базе В. Кроме того, прн и -б оо справедливо равенство !ип„.„у(х„) = Л, те. Л вЂ” частичный предел по базе В. Шаг 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
