Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Л е м м а 1. Для любого размеченного разбиения У имеем в(Т(У)) < н(У) < Я(Т(У)). Л е м м а 2. Пусть Те — любое фиксированное разбиение н а(Т») — множество разметок этого разбяенвя. Тогда в(Те) = )п( н(У), Я(Те) = впр н(У). Гео(то) [/ ва)то) Л е м м а 3. Для любых неразмечевиых разбиений Т1 в Т2 имеем в(Т1) < Б(Тз). Л е м м а 4.
Для ограяичеявой фувкпяя верхний и вюяяий явтегралы' 1' я 1, существуют, причем для любого разбяеяяя Т справедливы иеравеяства. а(Т) < 1, < !' < Б(Т). Л е м м а 5. Диаметры размечевяого разбяеввя Ъ' и отвечающего ему яеразмечеявого разбяеияя Т = Т() !) совпадают, поэтому если )! Е Ьт, то Т((!) Е Ью Здесь Ьз — оковчаяие базы размечеяяых разбиеияй и Ьт — окоичавяе базы неразмеченных разбяевяй, отвечающие числу б. Л е м м а б.
Для любого разбиения Т имеем 1' — 1, < Б(Т) — а(Т) = й(Т). Д о к а з а ш е л ь с ш в о этих утверждений ие представляет большого труда. Поэтому докажем только леммы 3, 4 и 6. Начнем с леммы 3. Отметим, что при измельчении разбиепяя Т вижвяя сумма Дарбу з(Т) может разве что возрасти, а верхяяя сумма Б(Т) разве что уменьшиться, а потому возьмем разбиение Тз — — Т1 ОТ1 и получим, что з(Т1) < а(Тз) < Б(Тз) < Б(Т1). Лемма 3 доказана. Доказательство леммы 4 по существу вытекает из леммы 3. Коли мы образуем числовое множество М1 всех значений величин з(Т) и множество Мз всех зиачеиий Б(Т), то утверждение леммы 3 означает, что любой элемент а Е Мз есть верхяяя грань для множества М1.
Но тогда наименьшая верхняя грань множества М1, т.е. величина 1„, не превосходит а. А это озиачает, что 1, — иижяяя'грань мвожества Мт, а по своему определеиию 1" есть точная пижпяя грань множества Мг, поэтому имеем з(Т) < 1, < 1' < Б(Т). Лемма 4 доказана. Утверждеяяе леммы 6 следует яз цепочки неравенств Б(Т) — (Т) > 1' — з(Т) > 1' — 1,. Утверждение остальвых трех лемм вепосредствеяво следуют из определений.
191 Теперь можно перейти к доказательству критерия интегрируемости функции по Риману. ,П о к а з а т е л ь с ю в о теоремы 1. Необходимость. Пусть 1пп о(к') = 1. Это значит, что для любого числа е~ > О найдется а,, о число.д~ = б~(е~) > О такое, что для любого размеченного разбиения 'г' с диаметром Ь~ < б~ имеем )а(\/) — 1~ < еы т.е. 1 — е~ <.а(г') < 1+в~ Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение Т с условием Ьт < Бп Имеем з(Т) =' (п1 о(Ъ'), Я(Т) = зпр о(к'). Уеа1т) кеа1т) Тогда из (1) вытекает, что 1 — су < о(Т) < 1+ем 1 — с~ < Я(Т) < 1+оп Следовательно, числа о(Т) и 5'(Т) лежат на одном отрезке (Т вЂ” сы 1+с~) длины 2еп т.е. ф(Т) — о(Т)! < 2еп Если мы возьмем е~ = е13 и Б = Б~(е/3), то получим, что для всякого е > О существует д = 6(е) > О, такое, что для всякого разбиения Т с условием Ьт < д(е) имеем неравенство )о(Т) — о(Т)( < е, те.
!пп (5(Т) — о(Т)) = О. Необходимость утверждения доказана. Достаюочносщь. Докажем, что из условия (пп (Я(Т) — о(Т)) = О ат-+о следует существование предела 1пп а(1'). ! Ь| -~0 Сначала убедимся, что верхний н нижний интегралы 1' и 1. равны между собой. В силу леммы б имеем О < 1' — 1. < Я(Т) — о(Т). Следовательно, при Ьт -+ О получим Ь = 1 — 1, -+ О, т.с. Ь = О и Осталось доказать, что 1пп о(1') = 1. Зададимся произвольным ь| ->о с > О. Тогда существует д = д(е) > О такое, что для любого разбиения Т с условием Ьт < о выполняется неравенство Но тогда для любого размеченного разбиения !г с условием Ьг < Б имеем :з(Т($~)) — в(Т(1")) < г, и, кроме того, в(Т(!Г)) < н(!г) < з(Т(г')) в(Т(1г)) < г < с(Т(1г)) т.г.
обе точки н(1') и 1 лежат на отрезке [в(Т()Г)), с(Т(1г))] которого меньше е, но это значит, что расстояние между любыми точками его меньше, чем е. Другими словами, для любого разбиения 1~' с условием !)~ < Б справедливо неравенство [н(Ь') — !] < е, те. имеем !пп н(г') = 1. Теорема ! доказана полностью. а; -+о Замечание. При доказательстве достаточности в критерии интегрируемости установлена справедливость следуюшего утверждения.
Пусть для ограниченной функции выполвяется условие 1пп (з(Т) — в(Т)) = О. ат-~е Тогда имеет место равенство 1* = 1,. Примеры. 1. Функция Дирикле 1, если х — рациональное число, О(х) = О, если х — иррациональное число, не является интегрируемой по Риману на отрезке [а,Ь]. Действительно, возьмем любое разбиение Т этого отрезка. На любом промежутке !)!! разбиения Т содержатся как рациональные точки, так и иррациональные, поэтому колебание ы! функции на этом промежутке равно 1. Следовательно, э п ()(Т) = о(Т) — в(Т) = ~~~ ь!.Ьх! = ~' Ьх! = Ь вЂ” а. Но по критерию интегрируемости функции по Риману должно выполняться условие !пп (з(Т) — в(Т)) = О. от~о Значит, функция Дирикле 0(х) неинтегрируема по Риману. 2.
Функция Римана П( ) ь' если х = ш, (и!,и) = 1, ь' О, если * — иррациональное число, интегрируема по Риману на отрезке [0,1]. ! Ш!км па махматичскан! малы! шз Зададимся произвольным числом е > О. Положим число Ю, равным величине и=Я и возьмем число б из условии О < б < —,'„,. Возьмем теперь любое разбиение Т с условием йт < е. Колебание ы; функции 11(я) на любом промежутке Ь; удовлетворяет условию О < ы; < 1. Представим сумму й(Т) = Б(Т) — а(Т) в виде суммы двух слагаемых й~ и йт в соответствии с тем, 'что выполняется неравенство О < ш; < ф и ф < кч < 1. В сумму йт входят промежутки Ь;, содержащие рациональные точки со знаменателем, меньшим, чем М.
Количество таках точек не превосходит Фт. Поэтому получим й(Т) = й~+йт < — ~~~ 'Ья<+~ ~"Ья, < — +БФт < — + — = е, Ф ' ' Ф 2 2 где штрих и два штриха в знаке суммы означают, что промежутки Ь, входят соответственно в суммы Й~ и Йю Следовательно, функция Римана й(х) интегрируема. Лекпия 3 з 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТРЕХ УСЛОВИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ Докажем критерий интегрируемости функции по Риману в трех эквивалентных формах. Т е о р е ы а 1.
Для ивтегрируемости огравичеивой яа отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из трех эквивалентных условяй: 1) 1пп (5'(Т) — а(Т)) '= О, 2) 1' = 1„, 3) 1п1(б(т) †.(тЦ = О. т Д о к а в а ю е л ь с ев е о, Мы докажем, что имеет место следующая цепочка заключений: 1) =ь 2) =ь 3) =з 1), откуда и следует искомая эквивалентность.
В силу замечания к теореме 1 93 получим, что из 1) =ь 2). Докажем, что из 2) ~ 3). Справедливо следующее соотношение: 1п1(У(т) —.(тц = ь = 1" — 1.. т а) Сначала покажем, что Ь является нижней гранью множества Я(Т) — а(Т). Имеем 1* < Я(т), — 1, < -в(Т). Следовательно, Я(т) — а(Т) > 1' — 1..
б) Докажем теперь, что величина Ь является точной нижней гранью множества Я(Т) — в(Т), т.е., что для любого а > О число Ь+в ке является нижней гранью. Из определения верхнего и нижнего интегралов следует, что найдутся разбиения Т1 и Тз такие, что в в б(т) <1 + —, а(т ) >1 — —. 2' 2 Отсюда для разбиения Тв = Т1 0 Тз имеем Я(тз) < Я(Т1) < 1' + —, а(Тз) > в(Та) > 1 2' 2 Следовательно, б(тз)-в(тв) <1" — 1.+в=Ь+в, 19$ т.е.
И+с действительно не является нижней гранью множества значений Я(Т) — в(Т). Так как утверждение 2) состоит в том, что Ь = О, то из доказанного выше имеем )п1(Я(Т) — з(Т)) = О. Таким образом, из утверждения 2) т ' мы вывели утверждение 3). Докажем теперь, что из 3) ~ 1). В силу условия 3) имеем, что для любого е > 0 существует разбиение Т~ такое, что Я(Т~) — з(Т~) < у. Обозначим через и число точек разбиения Ть В силу ограниченности на отрезке функции у(я) существует число М > 0 такое, что для всех точек и из этого отРезка имеем ]У(Я)] < М.
Положим б = 3='эу. Далее возьмем любое разбиение Т с условием Ат < б. Тогда для разбиения Тг = ТОТ, имеем Я(Тз)- з(Т,) < Я(Т,)-е(Т,) < —, 2' или, что то же самое, П(Тт) < й(Т~) < '-. Аналогично, имеем.й(Тт) < П(Т). Оценим сверху величину П(Т). Поскольку а(Т) = а(Т,) + (и(Т) — а(Т,)), достаточно оценить П(Т)-П(Тт). Разбиение Тз является иэмельчением разбиения Т и получается из него так, что на некоторые промежутки разбиения Т добавляются точки разбиения Т~. Количество таких промежутков не превосходит и, длина каждого из них меньше б, а колебание функции 7(я) на этих промежутках пе превосходит 2М.
Следовательно, П(Т) — П(Тз) < 2Ма6. Таким образом, получим П(Т) < -+2Мпб = г. 2 А зто означает, что для любого е > 0 существует б = 33~~ такое, что для любого разбиения Т с условием бт < 6 выполняется неравенство П(Т) < г, т.е. 1пп (5(Т) — а(Т)) = О.
агр о Теорема 1 доказана полностью. 1 5. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ Верхнюю (соответственно нижюою) сумму Дарбу функции у(я) на отрезке [а,б], отвечающую рыбнению Т„отрезка (а,б] на и равных частей, обозначим через Я„(соответственно ь„), Докажем следующий специальный критерий интегрируемости функции по Римаиу. Т е о р е м а 1. Дл» ннтегрвруемоста ограниченной функция !(х) на отрезке [а;6] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1пп (Я„ — в„) = О. вчсю Д а к а з а т е л ь с т е о. Необходимость следует из критерия Римана (теорема 1 54).
Достаточность. Пусть Г = (п! Я(Т), ! = впр в(Т). т т Тогда для любого разбиения Т будем яметь в(Т) <1, <Г<5(Т), Следовательно, в„ < 1, < Г < Я„. Отсюда получим Яю — в„>à — 1, >О. Но поскольку !пп (߄— в„) = О, то !' = 1, = 1, я в силу теоремы 2 ю Фсю 14 (условие 2) функция у(х) интегрируема ва отрезке [а,6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
