Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Покажем, что любой частичный предел функции у(х) по базе В не превосходит Л. Из определения величины Л имеем, что для любого б > О существует окончание 6 с условием впрб(х) < Л+б. «еь Пусть (х„) — произвольная монотонная последовательность по базе В, для которой существует 1ип б(х„).
В силу фундаментальности «-б«о последовательности (х„) только конечное число ее членов не принадлежат 6, т.е. существует номер пв такой, что для всех номеров п, больших пв, имеем Дх«) < Л+ в. Переходя к пределу при а -+ оо, получим !ип Дх„) < Л+в. «-+о« Ввиду произвольности в > О имеем !ип„~„Дх„) < Л. Теорема дока- зана. Пусть 11 и 1г, как и прежде, верхнее и няжнее предельные числа соответственно.
Мы назовем число 1г - 11 > О колебанием функции у(х) ио базе В и обозначим овсгг(х) = 1г — 1и в Критерий Коши в этих обозначениях формулируется следующим образом, Для существования предела функции б(х) по базе В необходимо и достаточно, чтобы овсу(х) = О. в Отметим, что из теоремы 3, в частности, следует, что: 1) 1ип Дх) = !п1 впр Дх); + т>о >т 2) )йп Дх) = !п1 впр Дх); «~со т>0! ~>т 3) 1ип б(х) = !п1 впр у(*). г~«о б>0 ОС!«-«0!<б Замечания. 1. Теорема 1 даже в простейших случаях несколько сильнее, чем классическая теорема, утверждающая эквивалентность поточечной сходимости по Коши и Гейне, поскольку требуются только монотонные последовательности.
Это, в свою очередь, иногда удобно в приложенияя. С другой стороны, можно рассматривать базы, для которых каждая фундаментальная последовательность не является монотонной. В этом случае, конечно, Нгп-сходимость не определена, тем не менее, теорема 2, утверждающая эквивалентность Н- и С-сходимости, остается справедливой, так как ее доказателъство, по существу, тождественно с выводом теоремы 1 при очевидной подстановке просто фундаменталъной последовательности вместо монотонной. 2.
Необходимо подчеркнуть, что понятия Нпь-, Н-сходимости могут быть определены в том случае, если существует по крайней мере одна монотонная фундаменталъная последовательность'по базе. Кроме того, как показано в лемме 1, для такой базы всегда существует основная последовательность окончаний, которая сама является счетной базой, кофинальной к первоначальной. На языке теории фильтров это означает, что проблема обобщения теоремы Гейне об эквивалентности Н- и С-сходимости может рассматриваться только для фильтров со счетной базой.
3. Мы ограничиваемся рассмотрением понятия сходимости только для чясловых функций. Однако результат теоремы 2 без труда может быть распространен на общий случай отображений двух баз тогда и только тогда, когда они допускают существование монотонных или просто фундаментальных послецователъностей. 4. Условие 3, налагаемое на базу В, иногда 'оказывается невыполненным. Обычно в этих случаях можно вместо базы В рассматривать базу В, удовлетворяющую этому условию, заданную на том же основном множестве и эквивалентную базе В в том смысле, что сходимость любой функции по одной из этих баз влечет за собой ее сходимость и по другой базе к тому же самому значению. Примером эквивалентных баз являются база В и основная последовательность окончаний 16„1 из леммы 1.
ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Эта часть курса математического анапяза чятается во втором семестре и включает в себя основы интегрального исчисления функций одной переменной и дифференциального исчисления в пространстве нескольких измереняй. Обе темы объединяет появление в ннх геометрических понятий как главного объекта изучения.
Следует отметить, что источником основных понятий математического анализа во многом являются представления о простейших свойствах геометрическях объектов в реальном пространстве. В качестве примера можно указать на метод Вычисления площадей у Архимеда яля метод "ясчерпываиия" Евдокса. Чтобы быть ближе к сущности предмета устанавливается взаимосвязь понятия интегрируемости функции по Риману и вопроса о существовании площади криволинейной трапеции, т.
е. ее измеримости по Жордану. Второй источник понятий математического анализа — арифметика. Поэтому мы стремились к раскрытию арифметических аспектов математического анализа, понимая под этим, скорее, их обусловленность дискретными элементами, имеющимн арифметическую природу, связанную, в койечнрм счете, со свойствами натуральных чисел.
Сюда можно отнестя доказанные в курсе формулы суммирования Эйлера и Абеля, метод интегральных сумм, равномерные разбиения в теории интеграла Римана, критерий Г. Вейля для равномерного распределения последовательности по модулю единица, признак алгебраичности функций, данный Эйзенштейном. Упомянем также об упрощении в изложении вывода формулы длины дуги кривой. Необходимо сказать еще о том, что в этой части книги рассматривается ряд понятий, которые в дальнейшем более подробно изучаются в рамках других предметов.
Здесь дается о них первое и в то же время достаточно отчетливое представление с тем, чтобы облегчить усвоение соответствующего материала в будущем, и, может быть, что еще в большей степени обеспечит понимание специальных курсов естественнонаучного содержания.
182 Глава ЧП ОПРЕДЕЛЕННЬ1Й ИНТЕГРАЛ Лекция 1 ~ 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть функция у(х) определена на интервале (а,1?), содержащем отрезок [а,в). Определенным интегралом от функции у(х) на этом отрезке [а,6) называется число, равное пложади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключенной между прямыми х = а, х = 6, у = 0 н кривой у = у(х), причем площадь той части, которая лежит выше оси абсцисс берется со знаком +, и ниже ее — со знаком - Интеграл обозначается так: ь l у(х) Ых, х где число а называется ни'иним, а число 6 — верхним пределами интегрировании.
В связи с данным определением интеграла возникает ряд вопросов. Во-первых, что такое площадь'? Этот вопрос — принципиальный, и нм мы будем заниматься далее, и весьма продолжительное время. Более простыми являются следующие вопросы. 1) Почему эта площадь обозначается почти так же, как и неопределенный интеграл? 2) Какая связь существует между неопределенным н определенным интегралами? Забегая несколько вперед, дадим ответы на последние вопросы. Прежде всего, заметим, что на определенный интеграл можно смотреть как на функцию верхнего (или нижнего) предела интегрирования, считая другой предел интегрирования фиксированным, т.е., если зафиксируем, скажем, число а, то прн любом 6 б (о,~у) мы будем получать свои величины, равные значению интеграла на отрезке [а,б].
Тем самым, определяется некоторая функция г'(6), заданная на интервале (а,11). Оказывается, что есля у(х) непрерывна на (а,1?), то из теоремы Ньютона — Лейбница, о которой мы будем говорить далее, следует, что функция г'(х) является дифференцируемой, и, более того, оиа является первообразной для функцяи у(х), т.е. имеем г'(х) = у(х), и, кроме того, справедливо равенство Ь у(х) йх = р(Ь) — р(о).
l а Пусть Р1(х) — другая первообразиая для у(х). Тогда, поскольку г'1(х) = г"(х)+ с, где с — некоторая постоянная, то Р1(6) — Р1(а) = 3'(6) + с — Р(а) — с = Р(6) — Р(а) = ~ Дх) дх з Другими словами, это равенство имеет место для любой первообразиой из семейства, образующего иеопределеяпый интеграл, т.е, теорема 'Ньютона — Лейбница указывает яа то обстоятельство, что иеопределеыяый и определеыыый интегралы — это тесно связанные между собой понятия. И для того чтобы их далее изучать, надо разобраться, какой же смысл вкладывается в понятие "плошадь криволинейной трапеции". Заметим, что к этому вопросу можыо подходить по разному, и в зависимости от этого у одной и той же трапеции площадь может существовать или пе существовать. Но если в двух различных смыслах ояа существует, то всегда в обоих случаях ояа должна быть одной и той же величииой.
~ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА Мы уже говорили о том, что понятые "определенный интеграл" по существу сводится к определению понятия "площадь криволинейной ограпепиа", т.е. площадь фигуры, лежащей в полосе а < х < 6, и заключенной между графиком функции у = у(х) и осью абсцисс. Другими словами, эта фигура образоваяа множеством А точек вида ((х,у)) а < х < 60< у < у(х)), и множеством В ((х, у)) а < х < 6, у(х) < у < О). Площадь всякой плоской фигуры В будем обозначать через р(П).
Заметим, что площадь любой фигуры ыа плоскости —, это яеотрицательное число. Определенный интеграл отличается от,площади тем, что ои равен разности площадей фигур А ы В, т.е. у(х) дх = р(А) — р(В), а а яе их сумме, как можно было бы ожидать. Из школьного курса геометрии известны следующие простейшие свойства фигур, имеющих площадь: 1) Если Р~ С Рю то р(Р~) < р(Рз); 2) Если Р~ О Рз = Ш, то р(Р~ О Рз) = р(Р~) + р(Рз); 3) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних его сторон. Фигуры, составленные из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, будут иметь площадь.
Такие фигуры назовем простейшими. Теперь можно определить понятые площади криволинейной трапеции Р, а значит, и понятие определенного интеграла 1 от функции 1(х) на отрезке [о, 6] следующим образом. Здесь для простоты рассуждений рассмотрим только случай, когда функция 1(х) неотрицательна. Впишем в фигуру Р и опишем вокруг нее простейшие фигуры соответственно Ра и Рз. Для наглядности можно положить, что функция 1(х) является непрерывной.
Очевидно, имеем Ра С Р С Рз. Отметим также, что некоторые части границ фигур Р~ и Рз являются ступенчатыми функциями на отрезке [а,Ь]. Напомним, что функцяя Л(х) называется ступенчатой, если на каждом промежутке (х; а,х;), 1 = 0,1,...,п, а = хе < ха « х„= 6, она принимает постоянное значение Л;. Пусть фигуре Ра отвечает ступенчатая функция Л(х), а фигуре Рз — ступенчатая функция д(х). Тогда имеем Л(х) < 1(х) < д(х). Интегралом от ступенчатой функции Л(х) наэ зовем величину 1(Л) = 1 Л,Ьхь Справедливо неравенство 1(Л) < 1(д). оы Рассмотрим два числовых множества А = (1(Л)) и В = (1(д)).
В силу леммы об отделимости этих множеств найдется число 1, их разделяющее. Если оно едиыственно, то мы назовем его интегралом от функции 1(х) на отрезке [а, 6], а саму функцию — интегрируемой на этом отрезке. Известно, что если числа (пГ 1(д) и апр 1(Л) совпадают, то их п,зп п,сп общее значение и равно 1. Поэтому справедлив следующий критерий пнтегрируемости ограниченной функции 1(х) иа отрезке [а,6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
