Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Теорема 1 доказана полностью. С л е д с т в и е. Для иятегряруемоств ограннчеяяой функция на отрезке необходимо я достаточно, стобы выполнялось одно из следующих эквивалентных условий; 4) йпт (߄— в„) = О, ю-+сю 5) 1п!(߄— в„) = О. Условия 4) и 5) дополняют условия 1),2) и 3) теоремы 2 14.
Д о к а з а т е л ь с т е о. Очевидно, имеем цепочку заключений 5) хв 3) е 1) юь 4) юь 5). Следствие доказано. Пример. Рассмотрим последовательность (х„), О < х„< 1. Пусть а и Р— любые числа с условием О < б < ф < 1. Обозначим через 5!о количество членов последовательности (хв), 1 < й < Я, попадающих на отрезок (о, р], т.е. а < хв < р, 1 < Й < Я. Будем говорить, что последовательность (х„) равиомерио распределеиа по модулю единица (р.р. (псос$1)), если выполняется соотношение 1пп — = 1У вЂ” о. 5!О о-+оо св Докажем следующий критеряй равномерной распределевиостя, принадлежащий Г.Вейлю.
Т е о р е м а 2. (Критерий Г.Вейля). Для того чтобы последовательность (х„) была равномерно распределена по модулю единица,' необходимо н достаточно, чтобы для любой интегрируемой по Риману функции Ях) имело место равенство Д о к о в о 1в е л ь с е1 е о. Дссюашочмосюь. Периодическая функция т(х) с периодом 1, 1 , если а<я<0, у(х) = 1в(х) = 0 в противном случае, интегрируема на отрезке (О, Ц. Кроме того, имеем Я 1 Ф0 = ~ ~у(х<), / 1в(х) Их = )1 — а. ~ы1 о Следовательно, 1пп — = )7 — а, Фд 0~вв Я т.е, последовательность (х„1 равномерно распределена по модулю единица. Достаточность доказана. Необходимосгпь. Пусть у(х) — произвольная интегрируемая по Римапу функция на отрезке (0,1].
Тогда в силу критерия интегрируемости для любого в ) 0 существует разбиеняе Т, такое, что й(Т) = Б(Т) — в(Т) < —, в(Т) = ~~, пцЬх;, Я(Т) = ~ ьч;Ьхо 3' 1ж1 ~е1 Очевидно, справедливо неравенство в(Т) < у(х) Их < Я(Т). о Положим ) 1, если хбЬ;, 1 О, если х фЬ;, 198 е е у(х) = у' !у!(х) Ф(х) =ЕМУ!(*). сю! в=! Заметим, что если равенство (1) выполняется для некоторых функций у!(х),~т(х),...,~„(х), то оно справедляво и для функции д(х) = с!у!(х) + с!Як) + ° + с,у„(х).
Поэтому, исходя из определения равномерной распределенности, получим: <у ! п — ~'~[„! = 1 ~ь! г* =.[о, !1-н Ч ~ — -! о !1 1цп — ~ ~Ф(х„) = / Ф(х) Ых = Я(Т). е=! о э(Т) — — Х~' !".(х~) < —, ~Я(Т) — — К~' Ф(х„) < —, Далее, поскольку имеет место неравенство у(х) < у(х) < Ф(х), е э(Т) — — < — ~~',10(хе) < — ~~!,У(х~) < —,~ Ф(хг) < Я(Т)+— 3-~),, "-д,, '-Д,, "- 2 ! Следовательно, как ! ~ у(х,), так и значение интеграла ) у(х) Их гы! О принадлежат отрезку (э(Т) — у, Б(Т) + -']. Поэтому имеем с! - у; !!*,! -/ле е < 0(Т) + — < е. 2е 3 Теорема 2 доказана полностью.
Следовательно, для всякого с > О существует Яе — — Яе(с) такое, что для всех Я > Яо имеем з 6. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ Метод интегральыых сумм основан на следующей лемме. Л е м м а. Пусть функция !(х) яхтегрируема иа отрезке [а,Ь), и пусть (У,) — любая последовательность размеченных разбиений с условием, что последовательность диаметров разбиений (бьг„) -+ 0 пря п -+ оо.
Тогда лря и -ь оо имеем: а)Я„= Я(Т(У„)) -ь 1; б)в« = в(Т(У«)) -ь 1; в)а« = х(У«) -ь 1. Д о к а з а яь е л ь с яь е о. По определеыию интеграла н по критерию ивтегрируемости функции по Риману для всякого числа в > 0 существует число б = Ю(в) > 0 такое, что если Ау. = 1Ьт~г„~ < б, то имеем в с [ૠ— 1[ < —, [б„— 1[ « — е, [⫠— 1[ « — е. Но так как последовательность (Ьг„) стремятся к нулю при и -+ оо, то вые соответствующей Ю-окрестности нуля лежит не более конечного числа ле(Ю) значений ь»г„.
Позтому вне в-окрестности числа 1 тоже лежит ые более, чем пе(Ю) значений величин а«, Я«, в«. Следовательно, 1= 1пп а« = 1пп Я« = 1пп в«. «-+с««-+со «-««« Лемма доказана ь Примеры. 1. Имеем ) е«ь1х = еь — е'. Ф Поскольку функция е«ыепрерывна на отрезке [а,Ь), она интегрируема на нем. Для того чтобы найти значение интеграла, остается только выбрать последовательность (У«) и вычислить предел 1пп х«.
«-ню Положим при Ь = О,..., и Ь вЂ” а Ь вЂ” а х» = о+ й —, б» = х» ь Ьх» = — = Ь, х» = а+ ЙЬ. я п Отсюда имеем «-1 в« = ~~~ е +~а. ь» = Ье«(1+ха+ ° ° +е1«ца) = = сье — = ° (в — е«). «Ь ! — еа еа — 1 Так как при о -+ оо справедливо равенство 1пп —,4~-; = 1„то в-Ссо с ь 1пп хв = еь — ев = е ь!х.
в сос в ь 3. Пусть О < а < 6. Тогда имеем 1,2 = 1 — у~. а Возьмем произвольное разбнедие отрезка !а, Ц: а = хе « х„= 6 и положим с» = ссх» '1х», х = 1,...,п. Тогда для соответствующей интегральной суммы сг„будем иметь х„= ~~с — сьх» - -~ Х»-1Х»» Х»-1Х» ~,Х» 1 Х») О 6' Следовательно, Ь ГЫх 1 1 !!П2 Хв = / — = — — —, в-с ",/ Х2 а !С' 3. Найти предел 1пп (++,-ф «-...+ — ') -! („„ Очевидно, змеем 1 ч 1 1 Г с!х !св 1пп 2 - „„„2 1+ „- / 1+,.
»в1 в о Отсюда по формуле Ньютона — Лейбница, которая будет доказана чуть позже, получим ! = 1п2. В частности, используя зто, найдем сумму ряда со ~ ц» 1 !с 2в ~ ~» — = 1ш1 ~~1 — = !пп ~1 — — + — — — — ) = »в1 3 вкусо ~ 3 ) вкусо 1, 2 3 "' 2п) »в1 ( 1 1 1 = !пп — + — + ° + — = !п2, в-с 1,и+! п+2 о+и/ 4. Справедливо следующее равенство: 2 ! 2х!и!121, если !сс~ > 1, )~( 1п(! — 2асозх+аз) Ых = « ~1 О, если !а~ < 1. о Положим х» = — '„», (» = а» Ь = 1,...,». Тогда имеем ььх» = а. Сле донат ельио, а и ы„1 Ее аа,'» 1П(1 — 2аСОЯХ»+ а )- = Я~1»](а-Е1а')(Π— Е 1*")]- = » » »а1 »=1 =.1 П](--"*)(-- --)]-'= 1] '"-1]-'.
» п »ж1 ПерюЬодя к пределу при » ~ оо, получим искомое зиачеиие ивтеграла. 5. Пусть У(г) ие убывает и ограничеиа на отрезке (а,Ь]. Тогда для величины Ь Ь-а " 1' Ь вЂ” е'( ). = — й;1(.+а — ) - (1)*) г* » » йи1 имеют место неравеиства 0<8 < У(6) У( ) Очевидно, имеем «(Ь- а) Ь 0 < 6„= ~~~ ! ~У(о+ -(Ь вЂ” а)) — У(х)~) Нх < » — "„' (Ь-а) «(Ь-а! Г / Ь Ь вЂ” 1 < ~~~ / ~У(а+ -(Ь вЂ” а)) — У(е+ — (6 — а))~) )(х < » » 6 — о " / 6 6 — 1 = — Е(1) +-Ь-9)) — 1) + — ))-'))) = » ~ п и »ю1 — (У(6) — У( И А это и доказывает требуемое неравенство.
6. Пусть функция У(х) имеет на отрезке (а,Ь] ограниченную и интегрируемую производиую, и пусть символ б„обозначает то же, что и в примере Ь. Тогда (6 — а) (У(6) — У(а) ) а-ааа 2 В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях на каждом отрезке <аь = (хо м хь], Й = 1,..., и, для любой точки х Е (1<э существует точка бо, принадлежашая интервалу (хо мхи), такая, что у(а+ -(Ь вЂ” а)) — у(х) = У'(йь)(-(Ь вЂ” а) — х). Ь Ь и и Пустыиь, М» — соответственно нижняя и верхняя грани производной ~'(х) на отрезке (аю Тогда рпь < ~'(бо) < Мю Из определения 6„имеем Отсюда следуют неравенства — ~,~<<„<-( — ) 1 и,. ока К=1 Домножая,обе части неравенства на п и переходя к пределу, получаем требуемое предельное соотношение.
Отсюда, в частности, для последовательности примера 3, имеем (1 1 1 ( 1 1пп и — + — + + — — (п2 ( = — —. о- 1 п+1 и+2 и+и / 4 Т. Пусть р(х) непрерывна и положительна на отрезке (О, 1). Тогда справедливы неравенства 1 (ир(<(ии / < еа < 1 р(х) Их. ~Ф о о Положим хь = „-, Ь = О,...,п. Тогда для соответствуюших нитей гральных сумм в силу неравенств между средними гармоническим, геометрическим и арифметическим имеем <,.е'" ( )= /( 7 ь )<и*')< '<и") р( 1 + ' ' ' + р(р 7 Переходя в этих неравенствах к пределу при и -э оо, получаем искомое неравенство., Лекции 4 ( 7. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА КАК ПРЕДЕЛА ПО БАЗЕ Напомням данное в конце $1 определение интеграла Римана как предела по некоторой базе. Пусть А — совокупность всех размеченных разбиений отрезка [а, 6].
Множество А будет основным множеством базы В. Прн всякоы б > О окончаниями Ь = 61 б А этой базы В являются множества, состошцне нзо всех размеченных разбиений У б А с диаметром разбиении 16«, меньшим б. Другими словами, окончание Ьа задаегся так: Ьа =(УЕА]б»г <б). Пусть, как и раньше, «(У) — интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению У = ( хо, х1, ° - ., хе ~ 411 ° . ~ 4и ) ю 'г е.
ь .(У) = ~. Х(ЫАх». »ю1 Тогда число 1 называется интегралом Римана от функции 1(х) на отрезке (а, Ь], если ! = 1пп«(У). В Другами словами, число ! — интеграл от функции 1(х) на отрезке (а,Ь], если для всякого е > О существует число б = б(е) > О такое, что для любого размеченного разбиения У отрезка (а,Ь] с условием 16«< б имеем ]1 — «(У)] < е. Пусть теперь А' — совокупность неразмечекных разбиений отрезка (а,Ь]. Это множество А' является основным множеством базы В', Р состоящей из оцончаний Ьа, причем Ьа состоит изо всех неразмеченных разбиений Т с диаметром !Ьт < б. Дедам определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу.
Пусть Я(Т) н а(Т) — соответственно верхняя я нижняя суммы Дарбу, отвечаю1цяе неразмеченному разбиению Т н П(Т) = В(Т)-а(Т). Тогда число !* = 1п1 3(Т) называется верхним интегралом Дврбу, а число 1, = аир а(Т) ТЕЛ' — нвокннм ннтегралом Дврбу от фуакпяв У(е) яа отрезке [о,6]. Возьмем любое фиксароваваое ыеразмечевиое разбиение То. Обозначим через а(То) миожество всех тех размечеивых раэбиевай У, которым соответствуег одно и то же аеразмечеввое раэбаевае То, т.е.
множество всех его раэметок. Тогда, всходя вз леммы 2 63, определеыае верхнего и аажвего интегралов Дарбу можво запасать и так: 1' = 1п1 опр,а(У),1, = опр 1п1 о(У). тел аеа(т) . Тел мео(т1 Отметим несколько свойств ввелевыых выше поаятай. Л е м м а 1. Пусть размеченное разбиение У есть разметка разбавляя То, те. У Е о(То). Тогда, если У б Ьо, то: Ц о(То) С Ьг; 2) 0 а(То) = 0 а(То) = Ьо.
то,ага<о тоеоо Действительно, имеем Ьт, = Ьг. Следовательно, для любого размечевыого раэбиевия Уо е о(То) получим Ьг, = Ьу < д, поэтому а(То) С Ьг. Свойство 2) проверяется авалогачио. Лемма 1 докаэааа. Отметим теперь несколько свойств базы В. Кроме указанных ранее двух свойств: 1) любое окоачавае базы — вепустое множество; 2) для любых окончаний Ьо а Ьз существует оковчааае 6з с условием Ьэ С 6~ 0 Ьэ, выполааются следующие тра свойства: 3) Для любых окоачавий 6о а Ьэ выполвается одно вз условий: либо Ь~ С Ьэ, либо Ьэ С Ьь 4) Наломвам определеаие фувдамевтальвой а мовотоваой последовательыоста по базе мвожеств (см. лекцию 30, ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
