Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 36
Текст из файла (страница 36)
АР(х) а*-+о Ах Теорема 2 доказапа. 6 2. ТЕОРЕМА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА, ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА И АВЕЛЯ Формулу Ньютона — Лейбввца взвывают основной теоремой иитегральвого исчисления, поскольку ова связывает понятия определеввого и веопределеввого интегралов. Т е о р е м а 1 (Формула Ньютова — Лейбивца). Пусть фувкпия У(х) ограличева ва отрезке ]а,Ь] в имеет ве более ковечного числа точек разрыва. Тогда фуикпяя Р(х) = ] Ди) Ыв является первообраза вой для фувкпви Дх) ва отрезке ]а, Ь] и для любой первообразвой Ф(х) справедлива формула у(о) аи = Ф(6) — Ф(а).
а , Д о к а з а ю е л ь с н е о. Из теорем 1 и 2 предыдущего параграфа о следует, что функция г'(х) = ) у(и) Ии является непрерывкой ва о отрезке (а, 6] и во всех точках вепрерыввости фувкцвв у(х) существует производная от Р(х) и ова равна у(х). Следовательно, фупкпия Р(х) является первообразной для функции т(х), кроме того, имеет место формула ь О / '= /(и)'((и = г (6) =- г (6) — г (а), Е(а) = Ди) ((и = О. О О Пусть Ф(х) — любая другая первообразная функция для у(х). Тогда по свойству первообразной функции сувтествует такое число с, что Ф(х) = г'(х) + с. Следовательно, имеет место равенство Ф(6) — Ф(а) = Р(6) — Р(а) = ~ т(и) ()и.
Теорема 1 доказана. В качестве приложення формулы Ньютона — Лейбница выведем формулы суммирования Зйлера и Абеля. Т е о р е м а 2 (Формула суммирования Зйлера). Пусть функция у(х) ямеет непрерывную производную па отрезке [а,6), р(х) = (х). Тогда прн любом х, принадлежащем отрезку [а,6), справедлива формула К Х(") — О(*) (*)=((( )Π— ('О()(( )Π— О()(().
О<О<О Д о к а э а и) е л ь с т в о. Обозначим левую часть последнего равенства через С(х). Легко впдеть, что функция С(х) непрерывна на отрезке [а,6). Действительно, еслн число х — нецелое, то она будет даже дифференцируема, а если число х = п — целое, то сумма в выраженнн для С(х) возрастает на величину у(п), а фую(ция р(х)у(х) убывает ровно на у(п) при переходе через точку х = и, так что скачок суммы гасвтся скачком функции р(хЩх). Следовательно, можно пряменнть формулу Ньютона — Лейбница.
Но тогда при нецелом х имеем С(х) = С(а) + С'(и) ((и = -р(а)у(а) + ( — р(и)у(и))' (6и = О О = —.()(()+) У() ~ — 1 О()У() О . О О 221 Теорема 2 доказана. Ценность втой формулы состонт в том, что она позволяет приблияьеиио заменить сумму на интеграл. Заметим, что часто удобно в качестве пределов суммирования брать полуцелые чнсла. Пример. (У«рощЫнмая формула Сяьврлиига .~ При «> 2 справедливы неравенства «!еп — « — 5. 5 «"+ь Действительно, нз формулы суммирования Эйлера получнм +о,ь «+о,ь ~ нм+ "н = 'С ~ = ! а~а-1' — а= г '.
р(!) о,ь<мб«+о,ь о,ь о,ь = («+ 0,5) !в(«+0,5) — « — 0,5 — 0,51«0,5+0,5 — г(«). с Оценим величину г(«). Полагая а"(!) = ! р(и) ои, )и(!)! < -', будем о иметь о,ь о,ь о,ь Следовательно, справедлива оценка 1 1 (г(«)( < 2 2 ° — = —. 8 2 Таким образом, находим 1п«! = («+ 0,5) 1⫠— «+ («+ 0,5) 1в(1+ — ) +0,51п2- г(«), 1 2« (1п«1 — («+0,5)1п«+«( < («+0,5)1в(1+ — )+0,51в2+ (г(«)(< 1 2« < 0,51п2+ — < !п5.
9 Потенцируя зто неравенство, получвм сформулированную оценку. Заметим, что в случае, когда пределы суммирования в теореме 2 — целые числа, то его можно переписать в несколько иной форме. Т е о р е м а 3. Пусть а и 6 — целые числа и функция Г(х) имеет непрерывную проызводыую иа отрезке (а,6]. Тогда справедлива следующая формула: ь ь ь Ел ) =л )+~лл ~*+/ьл1л * лва Ф О Д о к а з а га е л ь с зв е о. Так как а и Ь вЂ” целые числа, то Р(а) = Р(6) = ту.
Кроме того, ымеем Р(х)Г'(х) «1х = -Г(6) — -Г(а) — ~ (х)Г'(х) лх, / 1 1 2 2 в Ю Подставляя полученные выражения в формулу теоремы 2, приходим к утверждению теоремы 3. Пример. При целом Ф ) 1 имеет место соотношение ,~" 1 Г 1'1 ~"' и — = 1пп+7+ — + — +01 — 1. 261 1261з 1 гааз( ' В салу теоремы 3 получим Ф и 'и ч 1 ГИх Г(х) оп = ~ — — 1+( — — ( — ах= / хз лв1 х х 1 и Обозыачнм через 7 следующее выражение 7 = 1 — / Ц.4т. Будем 1 яметь Г р(.) 1 Г Йг(х) бя = 1П У+7+ — ) — — / — ах = 1ПФ+7+ — — / 2/ хз / хз ИЧ,Г' аз где р(х) = з — (х), а(х) = ] р(1) й. о Интегрируя последний иытеграл по частям, получим аи = 1п К+7+ — — — + 2/ — ах.
1 а(Ф) Г а'(х) 231 31з й И паковец, положим оа(х) = а(х) — —,', а) (х) = ) оа(1) (й. Очевидно, о и имеем а((()() = / оа(1) (й = О. Иптегрируем в последпей формуле для еи интеграл по частям, ваходим ОР (Ю 1 1 Г(Ь Г(Ь(Щ ви - -1п Ф + 1 + — + - )) — + 2 ( —. 2У 6,) хз / Р и и Отсюда имеем требуемую формулу для зи. Докажем теперь формулу суммировании Абели. Т е о р е м а 4. Пусть Фувкпвя У(х) имеет непрермвяую производвую яа отрезке (а,б] и пусть А(х) = Я а,„.
Тогда пря а<а(<е любом х.Е (а,6) имеем ) — А(*Щ*) = — /А(Й)/Щ й. 4<В<5 ,Ы о к а з а )а е л ь с )а е о. Обозначим через С(х) левую часть последнего равенства. Аиалогачво доказательству теоремы 2 функция С(х) имеет певрерывпую производную в пецелых точках, а при целых звачеяпях опа являетса вепрерыввой фувкцией. Заметим также, что при вецелых зпачеапях х имеет место рааевство А'(х) = О. Следовательпо, продиффереицировав с'(х) при вецелых х, получим 0'(х) = -А(х)У((х).
Но в производвая правой части рассматриваемого равевства равна той же фувкцав. Тогда аз формулы Ныотова— Лейбница имеем вскомое равевство. Теорема 4 доказана. Лекцня 7 3 3. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Важную роль прв вычисления интегралов играют формулы замены переменной в ннтегрировання по частям. Они являются следствием формулы Ньютона — Лейбница. Имеет'место следующее утвержденне. Т е о р е м а 1 (о замене переменной). Пусть функция у(х) непрерывна ва некотором отрезке [хо,хь]. Пусть также точки о,6 б [хь,хь] о к. 6, р(а) = о, ьь(В) = 6 я множество. значений функция ~р(Г) при а < 1 ( )3 является подмножеством отрезка [хь,хь]. Пусть, кроме того, проязводная р'(Г) яеорерывяа яа отрезке [а, р].
Тогда справедлива. формула ь кк / дх) кьх = / /(ть(к))эь'(г) кй. Д о к о з о оь е л ь с пь е о. Так как функция у(х) непрерывна на отрезке [о,6], то по теореме Ньютона — Лейбница существует ее ь первообразная Р(а) н Р'(х) = 1(х), ] у(х) ккх = Р(6) — Р(о).
ь Прн всех 8 б [а, ф] по условию теоремы определена функцня С(г) = Р(р(ь))„которая на этом отрезке имеет производную, причем А это значит, что функция 0(Ь) является первообразной функции у(р(Г)) р'(Г). Следовательно, имеет место равенство !(уЯ)у'(1) кй = Р(Ьь(Д)) — Р(р(а)) = Р(Ь) — Р(о) = /(х) к(х. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (Формула ннтегрнрования по частям).
Пусть на отрезке [о,6] заданы гладкие функция /(х) и й(х). Тогда имеем ь у(х)й'(х) ох = ~(х)й(х)] — у'(х)й(х) ккх, к Зккккк кк «каккоекккоку ккоккк где символ Ь(х))~ означает разность Ь(6) — Ь(а). ,У о к а э а аь е л ь с щ е о. Пусть Ь(х) = Ц(х)у(х). Тогда имеем Ь'(х) = )'(и) у(х) + У(х)д'(х). Следовательно, ь ь ь Ь'(х) ух = э'(х)д(х) ах+ у(х)д'(х) ух По теореме Ньютона — Лейбница получим Ь'(х) ах = Ь(Ь) — Ь(а) = у(х)у(х))ь .
а Подставляя последнюю формулу в предыдущую, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана. т 4. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ИНТЕГРАЛА Т е о р е м в 1 (первая теорема о среднем эначениии). Пусть функции у(х) и у(х) интегряруемы иа отрезке [а,6). Пусть также на этом отрезке функция у(х) иеотрицательиа, а для функции Г(х) при некоторых вещественных чяслах т и М имеют место неравенства пь < у(х) < М. Тогда иайдется вещественное число р с условием га < р < М такое, что ь ь )(х)д(х) ах = ц у(х)ах.
а О ,ц о к а э а аь е л ь с т е о. Поскольку справедлнвы неравенства ньу(х) < у(х)д(х) < Му(х), янтегрируя нх, получим ь ь ь пь у(х) ах< у(х)д(х) Их< М у(х) ах. ь Заметим, что ) д(х) ах > О, так как у(х) > О. ь Тогда если ) д(х) ах = О, то из неравенства (1) имеем Ф ь ь У(х)у(х) ах = О = у(х) ах а а к число р можно положить равным пь. ь Если ) у(х) йх > О, то получим а ь ) у(х)у(х) ах оь < ) у(х) ах а Положим отношение интегралов Равным р. Тогда будем иметь 1(х)у( ) «* = р д(х) дх, где пь < д < М. Теорема 1 доказана. С л е д с т в ж е 1. Пусть фувкцви у(х) и у(х) яятегрируемы за отрезке (а, Ц.
Пусть также ва атом отрезке функция д(х) неположительна, а дл» функции у(х) пря некоторых зепьествевных оь в М имеют место неравенства оь < /(х) < М. Тогда найдется вепьествеввое число р с условием ьа < р < М такое, что ь ь / 1(х)у(х) 4 = д / д(х) й . ~7 о к а з а зь е л ь с т е о. Положим дь(х) = -у(х). Тогда функции У(х) в 'уь(х) удовлетворяют условиям теоремы 1 и мы имеем Равенство ь ь Ях)уь(х) ох = ьь уь(, ) ох, / где оь<р<М. Подставляя в вто равенство уь(х) = -у(х), получим утверждение следствия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
