Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 38
Текст из файла (страница 38)
справедливо равенство Интегрируя его в пределах от 0 до х, получим Г Ф"- Ым Й= В (х) = па„(1+х) / о Таким образом, мы доказали, что имеет место формула а(а — 1)... (а — и + 2) (1+ х)" = 1+ ах+ .. + (и — 1)! х" +г, а(а — 1)... (а — и+ 1) „1" и" ~Ии о 6. Арксииус. Пусть у(х) = атопп*. Тогда имеем у (х) = (1-х ) г 2 -1/т Отсюда по формуле бинома полу тим ум( ) ! х ( т)( )'''( 2 ) то-т+ 2 (и — 1)! 1 ( ')( ' 1) - ( ' "+1)(! о)'-цо о /' (и — 1)! ,/ (1 — хти) +' о Далее, имеем (--') (-1 — 1)... (--' — 1+1) . „(2й — 1))! „(2й — 1)!! И ( 1) 2о!т! ( 1) (2!т)!! Следовательно, 1 1 (2п — 1)!! хо" (' и" тНи — 2 (2» — 2) !! с/Г- хт ./ ~Я вЂ” и о Используя формулу понижения, получим 1 1 и" ~Фи г о „т (2п — 2)!! =2 (1-го)"-тй =2 ~1 — и (2и-1 !! о о Отсюда имеем ои (г) < , , Теперь проинтегрируем формулу для ~'(х).
Тогда при некотором 0 = о(х), !В! < 1 получим (2х — 1)!! хт»+! агсе!и х = х + ~) — + вВ, (2й)!! 2х+ 1 где о Заметим, что предел последовательности (В„) при и -+ оо резей О, если !х! < 1. Следовательно, при !х! < 1 ряд Тейлора (2» 1)п ~га+~ (2х)!! 2х+ 1 сходится к функгени агсз!пх. 7. Иншегра»ьнмд синус. Пусть функция Дх) = ) +й. Тогда из о примера 2 вмеем е!вх (-1)» 'хт», т У'() = — =~,,' +г, (2х — 1)! где 1 г = г„(х) = ~ (1 — и) "+ сов(их) Ии.
(2п+ 1)!,/ о Интегрируя равенство для у'(х) в пределак от О до х, получим Г е!пФ (-1)" 'ха» / ! ~Х-' (2й — 1) (2х — 1)! а »х1 где х туз+1 ( (2п+1)!(2п+ Ц(2п+ 2) о Отсюда следует, что для любого х Е !й выражение Я стремится к нулю при п -+ оо. Следовательно, для любого х Е !й имеет место . разложение в ряд Тейлора е!п! ( — 1)" 'хт» Ф «~~-,' (2й — 1)(2й — 1)! ' з 6. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ Т е о р е м а 1(неравенство Гельдера).
Пусть р, Я > О, р+ Я = 1 н пусть Г(х), Я(х) яятегряруемы на отрезке [а,ь]. Тогда справеплнво неравенство ь ь ь //ч / ,/(х)я( ) пх < [у(х)[ пх ]я( Ич пх а 4 ч Д о к а з а вь е л ь с вь .в о. Функции [Г(х)[г, ]Я(х)[ч янтегрируемы на отрезке [а,Ц по теореме об интегрвруемости сложной функции (теорема т9 гл. ЧП), Рассмотрим разбиение Т„: а = хь « ° х„= 6 отрезка [а,ь] на в равных частей. Тогда. искомое неравенство получается предельным переходом в неравенстве для их интегральных сумм /ч Г „ , ь/ч у(хь)Я(хь) — < ~~д ]у(х)[~ — ~ Ц~ [Я(х)]ч — ) ь=ь ь=1 ды или эквивалентном неравенстве ~~ ьlг / дд ~ 1/ч 'Е, 1(хь)я(хь) < Е ]у(хи' Е [я(хнч ь=ь ьж1 ьм1 Последнее же неравенство есть неравенство Гельдера для сумм (т8 гл.
Ч). Теорема 1 доказана. Прв р = я = 2 приведенное выше неравенство называется неравенством Коши — Буняковского. Т е о р е м а 2(неравенство Минковского — обобщенное неравенство треугольника). Пусть р > 1, я пусть /(х), Я(х) ннтегряруемы на отрезке [а, ь]. Тогда справедливо неравенство ь ь/ч ь д/ь ь 1/г ~~ледд(*чд* < (~д(*ь д д ~~д(ц дд ч 4 ч Д о к а з а вь е л ь с яь е о. Случай р = 1 — очевиден. Возьмем, как и в предыдущей теореме 1, разбиение Т„отрезка [а, 6] на и равных частей. Тогда достаточно доказать неравенство для соотвествующих интегральных сумм < о ь/ч [у(хь) + Я(хь)[~ — < ьдм /Р / и ~ 1/Р < ~~~ [/(х)[Р— ~ + ~~~ ]д(х)]Р— 1 Ьи1 Ки1 или 1 1/и / „ ~1/Р / „~1/Р [/(хь) + д(хь) [Р < ~~~ [/(х) [Р + ~~1 ]д(хами Ьи1 Ьи1 /си1 Последнее же неравенство есть неравенство Минковского для сумм (Ь8 гл.
Ч). Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть функции /1(х),..., / (х) янтегрнруемы на отрезке [а, Ь]. Тогда справедливо неравенство ,// о х а з а т е л ь с п1 е о. Разделим отрезок [а, Ь] на и равных частей и положим хь = а+ ~=„~Ь, /с = О, 1,..., и. Для соответствующих интегральных сумм должно яметь место неравенство < и г /' и 1 Ь вЂ” а1 1 Ь вЂ” а1 Л(хь) — /) + . + ~~~',У (хь) — „~ < Ьи1 Ьи1 Действительно, оно выводится из следующей цепочки соотношений Е Еи*.) =Е Ел(",) Еи*.) = и и /ти = Е Е(Еи*.,Ю*..)) 1 К,и1 Ь,и1 Заметим, что неравенство в этой денечке соотношений следует иэ неравенства Коши. Теорема 3 доказана.
< ~. ~: Ь1и1 Ьии1 <й и и ю УИ /1(ха, ) ~~ /11 (хь, ) Р=1 1=1 1-.) и т = Е Еп(*) Ьи1 Ри1 Лекция 9 2 7. КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ Ранее мы доказали и уже неоднократно использовали критерий интегрируемости функциы на отрезке, принадлежащий Риману. Этот критерий имеет вкд: ограниченная на отрезке функция интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место одно ыз эквивалентных соотношений: а) 1пп П(Т) = О ыли б)!п1П(Т) = О, ьт -~а т где понятие омега-суммы определено ранее (лемма 6 23 главы ЧП). Как видим, этот крытерий непосредственно ничего не говорит о том, какие именно функции интегрируемы по Риману, а какие — нет.
На данный вопрос и отвечает критерий Лебега. Для его формулировки определим понятие множества, имеющего нулевую меру Лебега. Определение. Мыожество А точек на числовой прямой имеет лебегову меру нуль, если для всякого числа г ) О существует конечное или счетное покрытие А ивтерваламя с общей длияой, не превосходящей г. Другими словамя, для всякого г ) О найдутся интервалы 11,..., 1„,... с длинами их соответственно 61,...,6«,... таках, что А С 0 1„и для любого натурального и имеет место ««1 неравенство з = 61+ - +«г«( е Это обозначают так: ?2(А) = О. Утверждение 1. Любое не более чем счетное множество точек (я«) на числовой прямой имеет лебегову меру нуль.
Действительно, можно взять интервалы с центрами в этих точках и длыыамы «1 — — г/2,...,д„= г/2",.... Тогда имеем Е г / 1 8«= — + + — =е 1 — — Сг. 2 2" (, 2" ) Утверждение 2. Пусть В С А я ?2(А) = О. Тогда и ?2(В) = О. ,1? о к а з а щ е л ь с га в о. Утверждение следует из того, что всякое покрытие множества А интерваламы является ы покрытыем для множества В. Теперь сформулируем критерий Лебега. 241 Т е о р е м а 1. Для того чтобы ограниченная иа отрезке [а, Ь] фуякция у(х) была иитегрируема ва яем, необходимо я достаточво, чтобы миожество А — точек разрыва этой фувкцяв имело лебегову меру нуль, т.е. д(А) = О. Прежде чем доказывать этот критерий, дадим его применения. Т е о р е м а 2.
Пусть фуякция у(х) ивтегряруема ва отрезке [а, Ь] в т = 1вХ й(х), М = эпр у(х), я пусть функция у(1) непрерывна еч1е,ь] ее(ад) ва отрезке [гл, М]. Тогда фуякция у(у(х)) ватегрируема ва «а, Ь]. ,Ы е к а э а:т е л ь с ю е е. Пусть хэ — точка непрерывности функции й(х), тогда по теореме о непрерывности сложной функции Л(х) = у(у(х)) является непрерывной функцвей в точке хэ. Следовательно, точками разрыва фувкдив Л(х) могут быть только точки разрыва функции у(х). Пусть А — множество точек разрыва у(х), а  — множество точек разрыва Л(х).
Тогда имеем В С А. Поскольку функция у(х) интегрвруема на отрезке [а, Ь], по критерию Лебега получим, что р(А) = О. Отсюда в салу утверждеявя 2 имеем р(В) = О. Такам образом, по тому же критерию Лебега функция Л(х) = у(у(х)) является интегрируемой ва отрезке [а,Ь]. Теорема 2 доказана. Т е о р е м и 3.
Пусть функция у(х) мовотовва ва отрезке [а,Ь]. Тогда ова ввтегрируема ва отрезке [а, Ь]. ,В о к а з а ю е л ь с ю е е. Покажем, что множество точек разрыва функции у(х) является счетным. В главе 1Ч 13 (теорема 1) доказано, что у(х) 'имеет разрывы только первого рода. Пусть хэ — точка разрыва, тогда в этой точке существуют левосторонний и правосторонвий пределы: 1пп у(х) = 1~, 1пп у(х) = 1з, причем е-+ае- ~-+4'о+ 1~ ~!ю На интервале с концами в точках 1~ в 1т можно выбрать рациональное число г, и это рацвональное число поставим в соответствие данной точке ха.
Множество всех выбранных такам образом ракдовальных чвсел г, как подмножество всех рациональных чисел, является не более чем счетным. По утверждению 1 не более чем счетное множество имеет лебегову меру, равную нулю. Следовательно, согласно критерию Лебега монотонная на отрезке функция будет интегрируемой на этом отрезке. Теорема 3 доказана.
з 8. ДОКАЗАТЕЛЪСТВО КРИТЕРИЯ ЛЕБЕГА Пусть функция у(х) ограничена на отрезке [а,Ь]. Обозначим через у = 6(6,хэ) промежуток (ха — 6,хе+6) О [а,Ь], если ха — внутренняя точка отрезка [а, Ь), и соответственно, промежуток [а, а+1) или (Ь вЂ” 6, Ь), если хв = а илв хо = Ь. Определение.
Колебаииеы функции /(х) в точке хв назовем величину ы(хе) =ы1(хв) = )п1 вар (/(х) — /(у)), б>в «оегйй другимм словамв, велм'ппга ы(хо) определяется равенством ы(хв) = 1п1(Мб(хв) — тб(хО)), б>0 где Мб(хо) = в"Р У(х) тб(хо) = )п1 У(х) «ег(б) «ег(б) Имеет место следующий критерий непрерывности функции в точке. Л е и ы о 1. Функция /(х) непрерывна в точке хь тогда и только тогда, когда колебанме ыу(хв) фумкпмв /(х) в точке хс равно О, /1 о к а з а т е я ь с т е о.
Необходимость. Предположим противное, т.е., что имеет место равенство ы1(хд) = о > О. Рассмотрим последовательность Ь„т 1/и, о = 1,2,.... Пусть 1 = 1(1/н). В силу определения инфимума имеем вар (/(х) — /(у)) = М,/.(хв) — габ,„(хе) > . «оиг Далее, в силу определения супремума получим, что существуют точки х„, у«Е 1(1/и), такие, что /(х„) — /(у„) > т > О. Но так как длина промежутка 1(1/о) стремится к нулю при и, стремяшемся к бесконечности, то имеем 1пп х„= 1пп у„= хо «кю «~с« Переходя в последнем неравенстве к пределу, используя непрерывность функции /(х) в точке хв, получим О > в > О.
Имеет место противоречие. Следовательно, ыу(хе) = О. ,б)остаточмость. Нам дано, что ыу(хв) = О. Но тогда для всякого с > О существуег 6 = б(е) > О такое, что для любых х,у Е 1(6) имеем [/(х) -/(у) [ ( б. Положвм здесь у = хв. Тогда получим условве непрерывности функцви /(х) в точке хв. Лемма доказана полностью. Д о к а з а т е л ь с т е о крнтерия Лебега. Необходимость. Нам дано, что функция /(х) ивтегрируема на отрезке [а, Ь). Надо доказать, что множество Р точек разрыва функции /(х) имеет лебегову меру нуль. Предположвм противное, т.е. что множество Р ве является множество нуле)бой меры. Тогда существует число гв > О такое, что для любого множества внтервалов, покрывающих множество Р, Р С О 1„, ««1 найдется натуральное число ве с условием Ь1+ +А,» > еа Отметим, что число пе зависит от последовательности интервалов (1„). Рассмотрим теперь любое разбиение Т отрезка [а,Ь].
Среди отрезков '[я» ья»] разбиения Т выделим те, внутри которых содержится хотя бы одна точка множества Р. На каждом таком отрезке [я» ь в»] колебание функцян 1(я) не меньше, чем а. Сумма длин этих отрезков будет не меньше, чем еш поскольку множество Р содержится в них, за исключением, быть может, конечного числа точек, попадающих в точки я» разбиения Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
