Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Тогда имеем !!( = (Ьос(!с) — Ьос(!с 1))'+" + (фпъ(!с) — Ьсез(!с-1))' = Далее, в силу неравенства (см. гл. ЧП1, тб, теорема 3) ь получим Таким образом мы доказали, что А — верхняя грань длин всех ломаных 1, вписанных в кривую ?., т.е. кривая б является спрямляемой. Покажем, что А есть саочмая верхняя грань длин таких ломаных, т.е.
длина кривой ?, равна А. Поскольку функции !гь(!), Ь = 1,, т, непрерывны на отрезке [а, 6), по теореме Гейне — Кантора они являются равномерно непрерывными на зтом отрезке. Следовательно, прн всех 6 = 1,..., и! для всякого е > 0 существует число Ю = б(е) > 0 такое, что для всех 1', !» Е [а, Ь): [1' — !а[ < б выполняется неравенство Возьмем любое разбиение Т отрезка [а, 6] с диаметром Ьг < Ь, Т: а = 1е < 8!: < 1„= Ь, и пусть ломаная 1 соответствует атому разбиению Т. Оценим теперь сверху разность А — Я > О. Имеем где 1хря(1.-!) = ча(1.) — уь(1.-!), Ы*-! =1* — !.-!.
Далее применим неравенство треугольника в следующем виде. Пусть заданы вершины 0(0,..., 0), А(а!,..., а,„), В(6!,..., 6„,) треугольника ОАВ. Тогда имеет место неравенство треугольника (неравенство Минковского при р = 2): Е4- т (аь — Ьь)з Следовательно, получим =ф)' !(! < где пь, — некоторая точка отрезка [1, !,1,). Теорема доказана. гео С л е д с т в и е. Пусть в = в(и) — длина дуги кривой А, задаваемой уравневиямк хг —— хг(!),...,ха~ = хм(!), 'а < ! < и. Тогда для дифференциала длины дуги кривой ~Ь справедлива формула ( гв) = (ахг) + + (ах~д) Д о к а в а ог е л ь с эг в о.
Из теоремы имеем и 6(а) = / а Дифференцируя это выражение, найдем 6~а, нли (Ь = (ахг) + + (йхт) ав(и) = Следствяе доказано. Отсюда имеем, что квадрат дифференциала длины дуги плоской кривой (гл = 2) в полярных координатах (т,го) равен ,! г,!тг + тгл, г где координаты т и !о определяются по формулам: х = гсов р, у = т в)п !о, т > О, 0 < !о < 2к. Действительно, ах = сов ~р Ит — т в(п ~р фр, Ыу = в!и гг а' + т сов ~рсур.
Следовательно, получим ~Ь~ = Их + Ыу = Йт~ + т й!о~. В частности, если уравнение эллипса задано в параметрической форме т = т(р) = (асов !о, Ьвнг <р), а > Ь > О, и угол 'р между осью Ох и радиус -вектором т изменяется от нуля до 2х, то для дифференциала длины дуги эллипса имеем дуги кривой (циклоиды) Я(! — в(п !). у = В(! — сов!), й г = ! г+ )уг 6вг = 4йгв(пг Ь(!!)г, йв где 0 < ! < В < 2к. Имеем 2!! в(п -'М. Следовательно, в = в(о) = 4В(! — сов-). д 2 Заметим, что эта кривая задает траекторию движения точки на ободе катягцегося колеса радиуса й. Г аХ1 МЕРА ЖОРДАНА Лекция 13 2 1. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОБЪЕМ ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА О площади плоской фвгуры мы уже говорили, когда вводили понятие определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.
Причем, давая. точное определение этого понятия, мы исходили из основных свойств площади фигуры, справедливых для площадей простейших фигур, например, таких, которые являются объединением конечного числа прямоугольников и треугольников. Сформулируем эти свойства. Обозначим через «(Р) площадь фигуры Р. 16. Для каждой фигуры Р, имеющей площадь, функдня «(Р) меошрицашельма и одмозмачмо определена. 26. Площадь квадрата.со стороной, равной единице, также равна единице. 36.
Функция «(Р) является адди1аиемой, т.е., если фигура Р разбита ва две непересекающиеся фигуры Р1 Н Р2, Р = Р1 О Р2, Р1 О Р2 — — И, то «(Р) = «(Р1) + «(Р2) 46. Функция «(Р) является имвариамтмоп относительно всех движений плоскости. Другими словами, если фигуры Р, и Р2 можно наложить одну на другую так, чтобы все их точки совпали, т.е. Р2 и Р2 можно совместить при помощи поворота плоскости вокруг некоторой неподвижной точки или параллельного переноса плоскости, то «(Р1) = «(Р2). 5~. Функция «(Р) является монохромной, т.е., если Р1 С Р2, то «(Р1) ( «(Р2). Заметим, что эти свойства имеют место не только для плошадей простых фигур, во и для объемов простых тел, а также для суммарных длвв простейших множеств на прямой, т.е.
множеств, составленных из конечного числа промежутков и отдельных точек. В дальнейшем простейшей будем называть фигуру, являющуюся объедивенвем конечного числа прямоугольняков, стороны которых параллельны осям координат. Такие прямоугольники мы будем называть стандартными прямоугольниками. Заметим, что стандартный прямоугольник может включать в себя любое подмножество точек, лежащих на его сторонах. Как известно, 262 каждый стандартный прямоугольник имеет площадь, равную произведению длин его смежных сторон. При определении плошади фигуры в общем случае, как и в случае криволинейной трапеции, мы можем действовать по аналогии с критерием Римана существования определенного интеграла.
Для этого естественно для плоской ограниченной фигуры Р ввести понятие верхней плошади фигуры (по аналогии с верхней суммой Дарбу) как точную нижнюю грань площадей д(Р1) всех открытых простейших плосквх фигур Рм описанных вокруг Р, т.е. Р С Р1, а также нижнюю площадь этой фигуры как верхнюю грань площадей д(Рт) всех замкнутых простейших фигур Рю вписанных в Р, т.е. Рз С Р. Введенная таким образом верхняя площадь обозначается через р'(Р), а нижняя — через д,(Р).
Заметим, что для простейшей фягуры Р имеем Если для фигуры Р справедливо равенство д'(Р) = р,(Р), то эта величина называется площадью фигуры Р 'н обозначается через р(Р). Точно так же обстоит дело и с объемом трехмерных фигур, т.е. аналогично определяются верхний и нижний объемы трехмерной фвгуры. Для нвх вспользуются те же самые обозначения: р,(Р),д'(Р),д(Р), где, по определению, для измеримой фигуры Р полагают п(Р) = п,(Р) = и'(Р). Введенное понятие площади фигуры называется мерой Жордана, а сама фигуры, которым с помощью этого определения приписывается значение площади (илн объема в трехмерном пространстве)— квадрируемыми (вли кубнруемыми в случае объема) или измеримыми по Жордаиу. Для таких фигур вычисление площади (или объема) сводится к вычясленню определенного интеграла Римана.
Примеры. 1. Плоская мера Жордана отрезка 1, параллельного одной из осей координат, равна нулю. Этот отрезок содержится внутри прямоугольняка, одна из сторон которого имеет длину, равную нулю. 2. Любой отрезок ( имеет нулевую меру Жордава, так как этот отрезок можно поместить в простейшую фигуру сколь угодно малой площади. 3. Пусть Р— простейшая фигура. Тогда мера Жордана ее границы ОР равна нулю. Границей Р служат стороны прямоугольников, составляющих фигуру Р. Их конечное число, и каждый из них можно поместить в прямоугольних с одной стороной, имеющей длину, равную нулю.
4, Объединение, пересечение и разность простейших фигур является простейшей фигурой. 263 Действительно, пересечение двух стандартных прямоугольников будет стандартным прямоугольником. Поэтому для фигур А = ОРо о и В = Цоб(, йостоящих из стандартных прямоугольников Рюф, их ( пересечение А О В = А = 0(Рь й (Е() является простейшей фигурой. ц( Разяость двух стандартных прямоугольяиков является простейшей фигурой. Покажем, что разность А~ В двух простейших множеств А и В является простейшим множеством. Пусть Р— прямоугольник, содержащий А (.( В, тогда А ~ В = А О (Р ~ В).
$2. КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ МНОЖЕСТВА ПО ЖОРДАНУ Как и в случае интеграла Римана, можно сформулировать критерий квадрируемости фигуры, аналогичный критерию Римана с омега- суммами (по форме он напоминает критерий Лебега). Для этого введем повятие границы дР фигуры Р, которое, в свою очередь, использует следующие понятия. 1. Пусть 6 > О. Тогда 6-окрестностью точки хо ва плоскости яазовем множество точек х, лежащих внутри круга радиуса 6 с центром в точке хо. 2. Точка хо называется внутренней точкой мяожества Р, если найдется 6-окрестность Е(хо,б) точки хо целиком принадлежащая Р, т.е. Е(хо, 6) С Р. 3.
Точка х( называется внешней точкой множества Р, если существует окрестность Е(х(,6) такая, что Е(х(,6) ОР = к(. 4. Если точка х не является ни внутреипей, ни внешней точкой множества Р, то оиа называется граничной точкой множества Р. 5. Множество всех граничных точек фигуры Р называется его границей и обозначается через дР.
Т е о р е ы а (Критерий квадрируемости фигуры). Фигура Р— квадрвруема тогда и только тогда, когда мера ее границы равна нулю, т.е. д(дР) = О. ,П о к а з а т е л ь с т е о. Необходимость. Нам надо доказать, что если Р— квадрируемая фигура, то д(дР) = О. Для этого достаточио при любом е > О указать простейшую фигуру Н такую, что дР С Н и д(Н) < е. Поскольку фигура Р— квадрируема, существует величина д(Р) = р. (Р) = Р'(Р).
Следовательно, для всякого е( > О найдутся открытая простейшая фвгура Р( в замкнутая простейшая фигура Ро такие,'что Ро С Р С Р( и, кроме того, справедливы иеравенства '(((Р) = ((' (Р) < (((Р() < (((Р) + е(, р(Р) — 51 < р(Рг) < р(Р) = р,(Р). Рассмотрим фигуру Рз = Р1 ~ Рг.
Она является простейшей. Пусть Н = Рз. Тогда вне этой фигуры Н содержатся только внешние или внутренние точки фигуры Р. Поэтому дР С Н. Далее, имеем Р, = Ргшрз, Рг П Рз = и, следовательно, р(Р1) =,и(Рг) + р(Рз), откуда р1Рз) = р(Рг) —,и(Рг) < р(Р) + 51 — р(Р) + 51 — — 2еы Заметим, что р(Рз) = р(Рз), так как граница простейшей фигуры имеет нулевую меру. Возьмем 52 = е/2, получим, что р(Н) < е, дР С Н, следовательно, р(дР) = О.
Необходимость доказана. Достаагочносягь. Нам дано, что граница дР фигуры Р имеет нулевую меру. Надо доказать, что фигура Р измерима по Жордану, г.е. имеет место равенство р"(Р) = р,(Р). Для этого потребуется одна лемма, полезная н сама по себе. Л е м и а (О связности отрезка па плоскости). Пусть на плоскости .заданы отрезок Ь с концами А~ н Аг и некоторое множество М, причем А1 Е М, Аг ф М. Тогда существует точка Ао Е 1 такая, что Ао Е дМ. ,/7 о к а з а га е л ь с га о о леммы. Для каждой точки а Е 1 рассмотрим функцию р(о), равную расстоянию от нее до точки Аь Очевидно, что для любой точки о Е 1 справедливо неравенство р(о) < Я.
Пусть В = 1О М. Тогда множество В непусто, так как точка Аг принадлежит и отрезку 1, и множеству М. Пусть, далее, ро = зир р(А), Рассмотрим точку оо, лежащую на расстоянии ро от лев точки Аь Любая точка о, удаленная от точки Ас на расстояние р(о) > ро, не принадлежит как В, так и М, поэтому оо не может быть внутренней точкой множества М. С другой стороны, в любой окрестности точки оо на отрезке 1 найдется точка, принадлежащая В С М. Поэтому точка оо не является внешней точкой множества М.
следовательно, ао Е дМ. Лемма доказана. Итак, пусть 12(дР) = О. Это значит, что для любого г > О существует открытая простейшая фигура Рз такая, что дР С Рз, р(Рз) < 5 Граница ее дРз состоит из конечного числа отрезков, параллельных осям координат. Заключим эти фигуры Р и Рз в квадрат К со сторонами, параллельными осям координат. Далее, продолжим отрезки границы дРзс параллельные оси От., до пересечения со сторонами квадрата К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
