Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 39
Текст из файла (страница 39)
( Если бы оказалось, что сумма длин указанных отрезков [я» ми»] была бы меньше, чем ею то,покрывая точка х» б Р конечным числом интервалов так, чтобы общая сумма длин всех интервалов, покрывающих Р, оказалась меньше, чем еа, получнм систему интервалов, покрывающих Р н имеющих общую длину, мевыпую, чем ею что невозможно.) Таким образом, для любого разбиения Т отрезка [а,Ь] имеем Й(Т) > Следователыю, )вХЙ(Т) > аее > О, а это в силу критерия ннтегриру-. емости функцип по Римаву означает, что функция Дя) не является интегрируемой.
Протшюречве. Необходимость доказана. Досвиивочносщь. Для любого е > О построим разбиение Т такое, что Й(Т) С е. ПУсть М = шах ]1(Я)]. Положим б = 42у, а = ~Ь-'-~. *е)»,») Так как множество Р имеет лебегову меру нуль, то его можно покрыть системой интервалов 1, ямеюших сумму длин меньшую, чем 6. В каждой точке яс множества К = [а, Ь]~1 колебанве функции 1(я) равно О, поэтому существуег интервал, покрывающий зту точку эш на котором колебание функции будет меньше, чем а. Итак, получим систему интервалов 1, покрывающих множество К.
Из системы интервалов 1О Ю, покрывакяцих отрезок [а, Ь], можно выделить конечное покрытие [а,Ь]. В качестве точек я» разбиения Т концы интервалов мого конечного покрытия. Сумму Й(Т) представим в виде Й(Т) = Й1 + Й2, где Й1 и Й2 представлшот собой суммы слагаемых ввда и»2Ь*», причем в первой сумме Й2 переменная суммированвя Ь пробегает значения, удовлегворяющве условию (х» м х») С 1, а все оставшиеся значения Ь входят во вторую сумму Й2 Тогда для Й(Т) получвм оценку вида Й(Т) = Й1 + Й2 ( 2МЬ+ а(Ь вЂ” а) = — + — = е. е е 2 2 Отсюда в силу того, что )п1Й(Т) = О, следует ннтегрируемость т функции 1(х).
Теорема доказана полностью. 244 При исцользоваиив критерия Лебега (в частвости, для доказательства ~еввтегрируемости функции по Рвмаву) иногда бывает полезна другая его формулировка в виде приведенной виже теоремы, Докажем сначала одно вспомогательиое утверждение — лемму 2.
Пусть Р(а) обозначает множество точек отрезка [а, о], для которых выполнено иеравеяство м(х) > а, Л е м и и 2. Множество точек Р(а) является замкнутым. Д о к о з е т е л ь с н1 е о. Пусть хо является пределыюй точкой множества Р(а). Тогда существует последовательность (х„), сходящаяся к хо при в -+ оо, причем колебаиие функции /(х) в точках х„не меньше, чем а, т.е. м/(х„) > а.
Заметим, что каково ни было число б > О, найдется член ~оследовательвости х„Е (о(хо). Положим 61 = ппп(х„— хо+о,хо+6 — х„), т.е. величина Ю1 равна расстоянию от точки х„до граявц интервала Л(хо). Тогда получим, что (о,(х„) С (о(хо). Отсюда имеем Мо(хо) — /по(хо) > Мо, (х„) — пц,(х„) > м/(х„) > а. Так как пря произвольном числе О > О имеем неравенство Мо(хо)— /но(хо) > а, то 1п((М6(хо) — гпб(хо)) = и/(хо) > а. о>о Следовательно, всякая предельная точка множества Р(а) принадле- жит ему самому, т.е.
Р(а) — замкнуто. Лемма доказана. Т е о р е и а. Для того ятобы ограниченная на отрезке [о,б) функция была иятегряруема по Ряману, необходимо я достаточно, чтобы для любого а > О множество Р(а) имело лебегову меру нулоь ,о' о. к а з о ш е л ь с /а е о. Необходи/лесть. Поскольку функция /(х) ивтегрируема по Римаяу, по доказанному выше критерию Лебега мера множества точек разрыва ее равна нулю, р(Р) = О.
Но для любого а > О имеет место следующее включение Р(а) С Р. Следовательно, р(Р(а)) = О. Необходимость доказана. Лоси~о/аочиосщь. Очевидно, Р = 0 Р(1/и). По условию теоремы ож1 для любого натурального числа и имеем //(Р(1/'п)) = О. Следовательно, р(Р) = О, и по критерию Лебега функция /(х) ивтегрируема. Теорема доказана. Глава 1Х НЕСОВСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция 10 з 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Наша дальнейшая цель состоит в распространении понятия интегрируемости функции по Риману на новые классы функций, а именно: 1) на функции, заданные на бесконечном промежутке; 2) на неограниченные функции.
Понятве предела, которым мы владеем, позволяет достичь этой цели без особого труда, а обобщение понятия интеграла Римана прн этом называется несобственным интегралом. Для первого случая интегралы тапа у(х) ех, у(х) ех, у(х) ех называются несобственными интегралами первого рода, во втором случае, когда функция у(х) является неограниченной на конечном ь отрезке (а, Ь), интеграл ) у(х) ох называется несобственным инте- а тралом второго рода.
Случай, когда и промежуток интегрнрования, и сама функция не ограничены, не вносит ничего нового в эту проблематику, так как его можно свестн к случаю несобственных янтегралов первого и второго родов простым разбиением промежутка интегрирования на части, и потому отдельно мы его рассматривать не будем. Разберем более подробно понятие несобственного интеграла первого рода, при этом остановимся только на случае интегралов вида / т(х) ех.
Ф Определение. Пусть а — вещественное числа я пусть для любого А ) а функция т(х) яятегрируема по Рямаяу на отрезке [а, А) н г(А) = / У(х) ех. а Отсюда следует, что этот интеграл сходится при а > 1 и равен †',а1 , н расходятся пра а < 1. 2. При натуральном числе в интегрированием по частям получим 1ье-4 (4 / о $2. КРИТЕРИЙ КОШИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ у(х) Ах 1 < е Символически зто условие Коши можно запасать так: Дн), ах 1 'й > ОЭВ = В(е) > О: ЧАы Аг > В =~ Т е о р е м а 2 (общий признак сравнения).
Пусть для всех х б (а,+со) справедливо неравенство (у(х)~ < у(х) и пусть интеграл зОО +со )' у(х) Нх сходится. Тогда будет сходиться интеграл 1' у(х) с(х. а а ,О о к а з а щ е л ь с и е о. Докажем, что выполнено условие Коши для сходимости несобственного интеграла от функции у(х). В силу сходимости интеграла от функции у(х) имеем, что для любого е > О существует В = В(е) > О такое, что при любых АыАю А1 > Аз > В лр справедливо неравенство ) д(х) ох < в. Но поскольку А1 у(х) Их < ~Дх)~ Ах < у(х) Их'< в, Из критерия Коши существования предела функциа при А -+ оо непосредственно получается следующая теорема.
Т е о р е м а 1 (Критерий 'сходимости несобственного интеграла первого рода). Для сходимостя интеграла )' у(х) ах необходимо и О достаточно, чтобы выполнялось условяе Коши, т.е. чтобы для всякого в > О существовало число В = В(е) > О такое, что для всех чисел Аы Аз, больших В, выполнялось иеравеиство условие Коши выполняется и для интеграла от функции 1(х) с тем ясе самым В = В(е). Теорема 2 доказана. Пример. Пусть при некотором о > 1 и при х -+ со выполняется неравенство )~(х)( (( —, 1 т.е.
пусть существуют с > О и хе = хе(с) > О такие, что (1(х) ( < сх +оо при х > хе. Тогда интеграл ) у(х) Ых сходится. а Действительно, имеем +оо а'о +оо У(х) о(х = ~(х) Йх+ Дх) Их. 3 3. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И ДИРИХЛЕ Сначала дадим определения понятий абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
+оо Определение 1. Несобственный интеграл ) т(х) Ых называется а +оо абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ) (~(х) ~ Ых. а +оо Определение 2. Несобственный яятеграл ) Дх) о(х называется а +оо условно сходящимся, есля интеграл ) /(х) Ых сходится, а интеграл а ) Щх) ) о(х расходится. а Из общего признака сравнения непосредственно следует, что абсолютная сходимость интеграла влечет за собой его условную сходимость. Обратное неверно.
Как и ранее, будем считать, что функция 1(х) интегрируема на отрезке [а, А] при любом А > о. Первый из интегралов суммы является +оо грал ) 1(х) Их сходится по признаку ао сходится при а > 1. собственным, а второй инте+ оо сравненкя, поскольку / м аа Т е о р е м и 1 (признак Дирнхле). Пусть при любом числе а х Е (а, +со) функция г'(х) = ) у(и) ььи ограничена и пусть фуякцяя а у(х) яеотрицательла я, не возрастая, стремится к нулю пря х -+ +оо. Тогда интеграл +оо ! = у(х)у(х) Нх а сходится.
~7 о х е з о ьа е л ь с ьа е о. Поскольку функцвя у(х) на плюс бесконечности не возрастает и стремится к нулю, для всякого е1 > О существует В = В(е1) > а такое, что для всех х > В имеем неравецство О < у(х) < с1. Пусть, далее, М = вар)г'(х)~. Тогда по а>а второй теореме о среднем для любых АыАз, Аз > А1 > В найдется такое число Аз, Аь < Аз < Аз, что Ль л, у(А1) у(х) ь(х л,. у(х)у(х) ьЬ 1 у(х) ьЬ 1 Ль л, у(х) ьЬ вЂ” у(х) ь(х а а < 2е1М. Если теперь мы зададимся произвольным е > О, то, взяв еь —— тат, получим, что для любых АыАз, Аз > А1 > В(~~у) выполнено неравенство у(х)у(х) ох 1 <с, т.е. выполняется условие Коши, позтому явтеграл 1 сходится.
Тео- рема 1 доказана. +оо — /(х)у(х) Их а 250 Т е о р е м а 2 (прязнак Абеля). Пусть интеграл ( Дх) ььх схоа дятся и пусть фуякция у(х) яеотрицательяа, монотонна и ограничена сверху иа промежутке (а, +оо). Тогда интеграл СХОДЯТСЯ +со Д о к а з а са е л ь с са е о. Поскольку ) 1(х) ах сходится, в силу О критерия Коши имеем: для всякого в1 > О сушествует В = В(в1), такое, что для всех А1,АТ, Аз > А1 > В справедливо неравенство лс 1(х) ах 1 < В1 1(х)у(х) ух = у(А1) ~(х) ух+ у(АТ) ~(х) Их, 1 Положим М = зиру(х).
Но так как о>о < В1 1(х) ах 1(х) ах 1 < В1, Яс 1(х)у(х) ах 1 то получим < 2Мв1, ПОЗтОМу, ВЗЯВ В1 — — Зст, будЕМ ЯМЕтЬ, Чта дЛя ЛЮОЫХ ЧИСЕЛ А1, Аз, Аз > А1 > В (1~у) справедливо неравенство у(х)у(х) ах Следовательно, по критерию Коши ннтеграл 1 сходится, Теорема 2 доказана.
Примеры. 1. По призйпку Днрнхле при а > О сходятся ннтеграл +со я 1 +Ух, так как для любого А > 1 функцня Р(х) = 1'в1пх ах 1 1 ограничена, а при а > О и прн х -+ +ос функция х о, монотонно убывая, стремится к нулю. Далее, по второй теореме о среднем сушествует число Аз, А1 < Аз < Аз такое, что 2. Пусть у(х) — многочлен степени большей, чем 1. Тогда +оо сходится интеграл ( вш у(х) Их. о Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент многочлена у(х) положителен. Тогда, начиная с некоторого А > О, производная его ~'(х) будет положительна и монотонно возрастать к плюс бесконечности. Достаточно доказать, что сходится интеграл +со и 1' апу(х) ох.
Для любого В ) А в интеграле )'ашу(х) Нх сделаем л л замену переменной интегрирования у = у(х), х = у '(у). Получим интеграл г ПЯ1 По втоРой теоРеме о сРеднем он огРавичен величиной ут0=~т(2)( и пРЯ А -~+ос будет стремиться к нулю. А это и доказывает скодимость исходного интеграла. Лекции 11 1 4.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА Определение 1. Пусть 1) функция у(х) задана на промежутке [а,6) и це ограничена яа яем; 2) для любого а, а < о < 6, функция Дх) ограничена я яятегрируема на отрезке [а, а]; а 8) сушествует предел 1 = 1пп ),1(х) йх. ачь- Ф Тогда этот предел 1 называется несобственным интегралом второго рода от функции У(х) на отрезке [а, 6]. Пря этом для предела 1 используется обозначение ь 1 м'/,г(х) ььх. ч ь с ь у(х) 4х у(х) 4х+ у(х) ах, Пример. Справедливы равенства: /.*= ) *.= -"' х'* е-ьо+У х'" 11ьп ( — 1па), о Ь а-+О+ если о~1, если а = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
