Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда квадрат К и фигура Рз разобьются на отдельные стандартные прямоугольники. Пусть это будут прямоугольники 6ы,6 (каждый из них будем раассматривать без границы). Тогда прямоугольники 6,, з = 1,..., пц либо целиком принадлежат Рз, либо 6. О Рз = го. 265 Покажем, что если прямоугольник Ь, не является подмножеством Рз, но имеет хотя бы одну обшую точку с фигурой Р, то Ь, С Р. Действительно, если в этом прямоугольнике я~ Е Р, хэ ф Р, то некоторые точки отрезка!, соединяющего эти точки (а он тоже целиком принадлежит прямоугольнику Ь,), принадлежат Р,а некоторые точки ие принадлежат Р. По лемме отрезок 1 содержит точку яо 6 дР, т.е. точка хо Е И„ яо Е дР С Рз, а это значит, что Ь~ С Рз, что противоречит условию, что.прямоугольник Ь, не является подмножеством Рз.
Таким образом, если Ь, О Р ф ю', то прямоугольник И, целиком лежит в Р. Объединим все такие прямоугольяики Ь, во множество Рш Очевидно, что Рз С Р. Рассмотрим еще простейшее множество Р~ — Рт 0 Рз. Докажем, что Р С Ры Действительно, фигура Р, как и всякая фигура, состоит из внутренних точек, образующих множество Р~ дР, и некоторого подмножества Г С дР, — множества своих граничных точек.
Достаточно показать, что дР С Ры Р ~ дР С Р~. Включение ОР С Р~ следует из того, что дР С Рз С Р,. А всякая внутренняя точка множества Р по построению принадлежит; 1) либо Рз, 2) либо некоторому открытому прямоугольннку И,; 3) либо его границе дИ,. Но тогда в первом случае точка х Е Рз С Р~, и, следовательно, она принадлежит Р~, во втором случае .х Е И„х Е Р, а это значит, что И, С Рэ (по способу построения множества Рэ), т.е. я Е И, С Рэ С Р~, в третьем случае имеем, что внутренняя точка множества Р лежит на границе открытого прямоугольника Ь,.
Но тогда некоторая г - окрестность этой точки целиком состоит из точек множества Р и в то же время в ней содержатся точки из прямоугольника Ь„тогда И, С Рм откуда дИ, С Рю а потому я б дЬ, С Рт С Р. Отсюда имеем: Р С Рь Далее, имеем Рэ О Рз — — И, кроме того, РыРэ и Рз — простейшие фигуры. Поэтому «(11) «(Рэ) ~ «(Рз) < «(! 2) + г. Следовательно, «(Рт) < «. (Р) < «'(Р) < «(Р ) < «(Рх) + е Таким образом, получим О < «'(Р) — «,(Р) < «(Рз) + е — «(Рэ) = е.
Но так как е ) 0 — произвольно, то, следовательно, «'(Р) = «,(Р), т.е. фигура Р— измерима по Жордану. Теорема доказана полностью. ЛекпуэЯ 14 ~ 3. СВОЙСТВА МЕРЫ ЖОРДАНА Проверим, что неотрицательная функция р(Р), опреде,пенная нами для измеримых фигур на плоскости, обладает-свойствами монотонности, иввариантности относительно движениИ, плоскости и аддитивности, имеющих место для простейшвх фигур. Во-первых, покажем, что множество измеримых фигур замкнуто относительно теоретико-множественных операций: объединения, пересечения и разности множеств. Другими словами, если фигуры Р2 и Р2 — измеримы, то измеримыми по Жордану являются фягуры Р, О Р2, Р, О Р2, Р, ~ Р2. Докажем сначала измеримость объединения двух множеств.
В силу критерия измеримостя множества по Жордану достаточно показать, что д(д(Р> О Р2)) = О. Докажем, что д(Р> О Р2) С дР> О дР2. Возьмем любое х б д(Р2 0 Р2). Предположим, что х ф дРм х ф дР2. Тогда точка х является лабо внутренней точкой Рд, либо внутренней точкой Р2, либо внешней точкой и Ры и Р2. Отсюда следует, что точка х по отношению ко множеству Р> 0Р2 является либо внутренней, лабо внешней точкой.
Но это противоречит тому факту, что точка х принадлежит границе множества Р2 О Р2. Следовательно, граница объединения двух множеств является подмножеством объединения границ этих множеств. Поместим измеримые множества Р> и Р2 в стандартный квадрат К. Тогда множества К ~ Р2 и К ~ Р2 являются измеримыми по Жордану, так как их граница содержится в объединении границ множеств К, Р> и Р2. Отсюда следует измеримость множеств Р2 '> Р2> Р1 » Р2 = К ~ (К ~ Р1) О (К ~ Р2). Перейдем теперь к свойству монотонноств функции д(Р), Если Р> ~ Р2, то всякая простейшая фигура, описанная вокруг Р2, содержит и Рм а потому д'(Р2) < д'(Р2).
Но так как фигуры Р2 в Р2 вэмеримы, то д(Р2) = д'(Р2) < и'(Р2) = д(Р2) Это и означает, что функция д(Р) является монотонной. Инвариантность меры Жордана относительно параллельных переносов следует вз того, что при параллельном переносе плошадь простейшей фигуры не меняется, позтому при сдвигах плоскости не меняется значение величин р'(Р) и р*(Р).
Далее, как известно, по теореме Шаля все движения плоскости сводятся либо к сдвигам, либо к поворотам плоскости относительно некоторой неподвижной точки. Так что для завершения доказательства инвариантности меры Жордана относительно движений плоскости нам достаточно показать, что она инвариантна относительно поворотов плоскости вокруг некоторой неподвижной точкя. Заметим,. что при повороте плоскости площадь простейшей фигуры не меняется, но, к сожалению, она уже перестает быть простейшей. Итак, пусть задана измеримая по Жордану фигура Р. Тогда существуют простейшие фигуры Ры Рг такие, что Р1 С Р С Рг, причем р(Рг) < р(Р) < р(Рг) + е, р(Рг) — е < р(Р) < р(Рг), и Рм Рг представляются в виде объединения конечного числа стандартных прямоугольников.
При повороте плоскости вокруг неподвижной точки фигуры Р, Р| и Рг перейдут соответственно в нзмеримые фигуры 9, Яг и Ог, причем Яг С Ю с Чг. Очевидно, достаточно показать, что если стандартный прямоугольник при повороте, переходит в прямоугольник П, то его можно заключить в открытую простейшую фигуру П1 и впясать в него замкнутую простейшую фигуру Пг, такие, что Пг С П С Пг и разность р(Пг) — р(Пг) может быть сделана сколь угодно малой. Для етого обрамляем прямоугольник П прямоугольнихом Пе со сторонамя, параллельными сторонам П и находящихся от них на достаточно малом расстоянии.
Затем вписываем в Пв простейшую фигуру, которая содержит П. Она и будет искомой. Докажем теперь свойство аддитивности меры Жордана. Заметим сначала, что для простейших фигур справедливо неравенство р(А О В) < р(А) + р(В). Далее, пусть фигуры Рг и Рг измеримы по Жордану и пусть Р = Рг 0 Рг,Рг П Рг — — И. Тогда по критеряю измеримости множества фигура Р измерима, поскольку граница объединения двух множеств содержится в,объединении границ самих множеств. Докажем, что имеет место равенство р(Р) п(Р1 ) + р(Рг). В силу измеримости фигур Рг и Рг для всякого в > О найдутся простейшие фигуры Яг и Яг, В1 и Вг такие, что р(91) < р(Р1) < рю1) + е и(дг) е < 14(Р1) < р(аг) гвв р(Вг) < р(рг) < р(Вг) + е~ р(Вг) е < р(~ г) < р(Вг) Кроме того, для простейших фигур Яг и В1 с условием Я1 й Вг — — И имеем р(чгОВг) = р(ег)+р(Вг), а также р(ч)гОВг) < р(ег)+р(Вг).
Поэтому, учитывая теоретико-множественные включения Яг О Вг С Р1 О Рг — Р С Яг 0 Вг, получим р(а ) + р(В ) = р(а О В1) < р(Р) < р(аг 0 В,) < < р(Яг) + р(Вг) < р(9г ) + р(Вг) + 2е. Очевидно также имеем р(Ог) + р(Вг) < р(Рг) + р(Рг) < р(Яг) + р(Вг) + 2е. Из последних неравенств найдем )р(Р) — р(Рг) — р(Рг)] < 2е В силу же произвольности выбора е ) 0 будем иметь р(Р) = р(Рг)+ р(Р ).
Это и доказывает свойство аддитивности меры Жордана. г 4. ИЗМЕРИМОСТЬ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ Цель этого параграфа показать, что если Т, — спрямляемая кривая, то ее плоская мера Жордана равна нулю. А значит, в силу критерия измернмости фигуры по Жордану будет измеримой фигура, ограниченная спрямляемой кривой. Для дальнейшего нам потребуется одна полезная лемма о спрямляемых кривых. Л е м м а, Пусть кривая Ь задается уравнениями вида х = р(8), у = Чг(г), г б [а, Ь] я является спрямляемой кривой.
Тогда длина з(г) части этой кривой, соответствующей отрезку [а, г], где г Е [а,б], является непрерывной и монотонно возрастающей функцией параметра г. ,.Т о к а з а ог е л ь с яг е о. Возрастание функции е(г) следует из свойства аддитивности длины дуги кривой. Действительно, при гг < гг имеем е(1г) = е(И) + ять где яо — длина дуги кривой, находящейся г69 между точками А» = (~о(!»),~6(!»)) и Ат — — (р(6о),ф(гт)), т.е. величина оо — положительна. Отсюда имеем: о(йо) > о(!»). Докажем, что функция о(!) не имеет разрывов. В самом деле, пусть в точке го функция о(!) имеет разрыв.
Тогда в силу монотонности о(!) точка !о является точкой разрыва первого рода со скачком Ь > О. Значит, для любого отрезка [!и!т], содержащего эту точку $о, длина дуги крявой, отвечающей этому отрезку [!иго], превосходит Ь. Далее, исходная кривая Ь является спрямляемой, поэтому для всякого числа е > О существует впясаиная ломаная ! такая, что О < о(Ь) — о(!) < е. Эта ломаная порождает неразмеченное разбиение Т: а = го < г1 « го = 6, отрезка [а,6], и каждая точка А» —— (~р(!»), ф(!»)) отвечает некоторому узлу ломаной !. Очевидно, для любого наперед заданного положительного числа Б можно считать, что ЬТ < Б. Ясно, что длина !» звена ломаной с номером 6 удовлетворяет условию !» < б(!») — о(!» 1). Пусть точка го принадлежит некоторому интервалу (!» д,!»+»). В силу равномерной непрерывности функций р(!) и ~6(!) на отрезке [а,6] существует положительное число Б такое, что для всех !',!" с условием ]!' — !о] < 6 выполняются неравенства ] р(!') — р(!")] < —, [6(!') — 6(юа)] < —.
8' 8 Следовательно, имеем !» = (р(!') — р(га))'+ (6(!') — 6(!")) < —,(,+, < —. 4' 4 Отсюда и из условия спрямляемостя кривой получим Ь Ь вЂ” = Ь вЂ” 2 — < о(!».~.») — о(!») — (!» + !»+~) < о(ь) — о(!) < о. 2. 4 Последнее неравенство справедливо при любом г > О, но при е = -" > О оно противоречиво. Следовательно, предположение о рээрывности функции о(!) не имеет места. Лемма доказана.
Т е о р е м а. Пусть Ь вЂ” спрямляемая кривая. Тогда ояа имеет плоскую меру Жордаяа„равную нулю. Д о к а з а и» е л ь с ги в о. Разделим кривую Ь на и дуг, длина каждой из которых равна а = — „. Это возможно, поскольку функция *!»1 о(!) является монотонной и непрерывной. Тогда Ь-я дуга кривой Ь при Й = 1,...,и целиком лежит внутри квадрата со сторонами, параллельными осям коордянат и равными 2а, и центром в 6-й точке деления кривой Ь. Объединение всех квадратов образует простейшую фигуру Р, целиком покрывающую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
